Gráficos de funciones cuadráticas básicas

Observe el siguiente gráfico. ¿Representa el gráfico una función? ¿Sabe cómo se denomina esa representación gráfica? ¿Sabe qué hace especial al punto verde? ¿Observa simetría en el gráfico? ¿Puede determinar el dominio y el rango de la relación?

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Khan Academy Quadratic Functions 1 (Funciones cuadráticas 1) *Este video solo está disponible en inglés

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Guía

Hasta ahora ha estado trabajando con funciones lineales. El exponente más alto de la variable independiente ( ) ha sido uno y las representaciones han sido líneas rectas. Aquí aprenderá sobre funciones cuadráticas. Una función cuadrática tiene la forma donde y son números reales y . El exponente más alto de la variable independiente es dos. Al graficar una función cuadrática, se crea una parábola que se ve así: o así:

Puede crear su propia representación ubicando los puntos generados a partir de una tabla de valores. La función cuadrática más básica es . La manera más sencilla de hacer una tabla para esta función es usar el dominio para la tabla.

Una parábola tiene un punto de giro conocido como el vértice. El vértice es el valor mínimo de la parábola si se abre hacia arriba y es el valor máximo si la parábola se abre hacia abajo. Cuando la parábola se abre hacia abajo, los valores de en la tabla base cambian a valores negativos. La función cuadrática básica que se abre hacia abajo tiene la ecuación .

Todas las parábolas tienen un eje de simetría. El eje de simetría es la línea vertical que pasa por el vértice de la parábola. La ecuación para el eje de simetría siempre es , donde es la coordenada del vértice.

Ejemplo A

Para la función cuadrática básica , complete una tabla tal que .

Solución:

Para completar la tabla de valores, reemplace los valores dados de en la función . Si usa una calculadora, inserte todos los números, especialmente los números negativos, entre paréntesis antes de elevarlos al cuadrado. La operación que se debe hacer es NO .

Ejemplo B

En un plano cartesiano, ubique los puntos de la tabla para .

Solución:

Los puntos ubicados no se pueden unir para formar una curva continua. Para unir los puntos, comience con el punto (–3, 9) o el punto (3, 9) y sin levantar el lápiz, trace una curva suave. La imagen debería parecerse a la siguiente.

Las flechas indican la dirección del lápiz al unir los puntos. Si no quita el lápiz del papel, disminuirá la tentación de unir los puntos con una serie de líneas rectas. Los puntos se deben unir con una curva suave que no pase debajo del punto más bajo de la representación. En la representación anterior, la curva no puede pasar debajo del punto (0, 0).

Ejemplo C

¿Cuáles son algunas características únicas de la representación de ?

Solución:

1. El punto verde está ubicado en el punto más bajo de la imagen. La curva no pasa debajo de este punto.
2. Cada punto rojo en el lado izquierdo de la imagen tiene un punto azul correspondiente en el lado derecho de la imagen.
3. Si la imagen se abatiera de izquierda a derecha a lo largo del eje que pasa por el punto verde, cada punto rojo tocaría el punto azul correspondiente.
4. Los lados de la imagen se extienden hacia arriba.
5. Los puntos rojos y azules están ubicados a la derecha y a la izquierda del punto verde. Los puntos están ubicados una unidad a la izquierda y a la derecha y hacia arriba; dos unidades a la izquierda y a la derecha y cuatro hacia arriba; 3 a la izquierda y a la derecha y nueve hacia arriba.

Revisión del problema de concepto

El punto verde es el punto más bajo de la curva. La curva suave se denomina parábola y es la imagen que se genera cuando la función cuadrática básica se ubica en una cuadrícula cartesiana. El punto verde se conoce como el vértice de la parábola. El vértice es el punto de giro de la representación gráfica.

En la representación de , el vértice es (0, 0) y la parábola tiene un valor mínimo de cero que está indicado por el valor del vértice. La parábola se abre hacia arriba porque los valores de de la tabla de valores son 0, 1, 4 y 9. El eje de esta representación es en realidad el eje de simetría. El eje de simetría es la línea vertical que atraviesa el vértice de la parábola. La parábola es simétrica a ambos lados de esta línea. La ecuación para este eje de simetría es . Si la parábola se abriera hacia abajo, el vértice sería el punto más elevado de la representación. Por lo tanto, la imagen tendría un valor máximo de cero.

El dominio de todas las parábolas es . El rango de la parábola anterior es .

Vocabulario

Eje de simetría

El eje de simetría de una parábola es una línea vertical que atraviesa el vértice de la parábola. La parábola es simétrica a ambos lados de esta línea. El eje de simetría tiene la ecuación donde es la coordenada del vértice.

Parábola

Una parábola es una curva suave que es el resultado de la representación de una función cuadrática de la forma . La curva parece una forma en U.

Función cuadrática

Una función cuadrática es una función de la forma donde y son números reales y .

Vértice

El vértice de una parábola es el punto sobre el cual la parábola gira. El vértice es el punto máximo de la parábola que se abre hacia abajo y el punto mínimo de la parábola que se abre hacia arriba.

Práctica guiada

1. Si la representación gráfica de se abre hacia abajo, ¿qué cambios habría en la tabla de valores base?

2. Si la representación gráfica de se abre hacia arriba, ¿qué cambios habría en la función cuadrática básica?

3. Grafique la imagen de la función cuadrática básica que se abre hacia abajo. Establezca el dominio y el rango de esta parábola.

Respuestas:

1. Si la parábola se abre hacia abajo, los valores de no cambiarían. Los valores de se convertirían en valores negativos. Los puntos se ubicarían a partir del vértice así: una unidad a la derecha y a la izquierda y una unidad hacia abajo; dos unidades a la derecha y a la izquierda y cuatro unidades hacia abajo; tres unidades a la derecha y a la izquierda y nueve hacia abajo. La tabla de valores sería

2. Para coincidir con la tabla de valores, la función cuadrática básica debía escribirse como

3.

El dominio es . El rango de esta parábola es .

Práctica

Complete las siguientes afirmaciones en el espacio proporcionado.

1. El nombre que recibe la representación gráfica de es ____________________.
2. El dominio de la representación gráfica de es ____________________.
3. Si el vértice de una parábola fuera (–3, 5), la ecuación del eje de simetría sería ____________________.
4. Una parábola tiene un valor máximo cuando se abre hacia ____________________.
5. El punto (–2, 4) en la representación gráfica de tiene un punto correspondiente en ____________________.
6. El rango de la representación gráfica de es ____________________.
7. Si la tabla de valores de la función cuadrática básica incluyera 4 y –4 como valores de , el valor (o los valores) de sería(n) ____________________.
8. La línea vertical que atraviesa el vértice de una parábola se denomina ____________________.
9. Existe un valor mínimo cuando la parábola se abre hacia ____________________.
10. El punto de giro de la representación gráfica de se denomina ____________________.

11. Bosqueje la función haciendo primero una tabla y luego ubicando los puntos. ¿Cuál es el vértice de esta parábola?
12. Bosqueje la función haciendo primero una tabla y luego ubicando los puntos. ¿Cuál es el vértice de esta parábola?
13. Bosqueje la función haciendo primero una tabla y luego ubicando los puntos. ¿Cuál es el vértice de esta parábola?
14. Bosqueje la función haciendo primero una tabla y luego ubicando los puntos. ¿Cuál es el vértice de esta parábola?
15. Bosqueje la función haciendo primero una tabla y luego ubicando los puntos. ¿Cuál es el vértice de esta parábola?