Transformaciones de funciones cuadráticas

Aquí aprenderá a transformar las funciones cuadráticas básicas ( $y=x^2$ y $y=-x^2$ ) para hacer funciones cuadráticas nuevas.

Observe la siguiente parábola. ¿Cuál es la diferencia entre esta parábola y $y=-x^2$ ? ¿Cuál cree que es la ecuación de esta parábola?

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Khan Academy Graphing a Quadratic Function (Representación de una función cuadrática) *Este video solo está disponible en inglés

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Guía

Ésta es la representación de $y=x^2$ :

Ésta es la representación de $y=x^2$ que ha sido transformada:

El vértice de la parábola roja es (3, 1). Los lados de la parábola se abren hacia arriba pero parecen más pronunciados y largos que los de la parábola azul.

Como se muestra arriba, puede aplicar cambios a la representación de $y=x^2$ para crear una parábola nueva (aún con forma de U) que ya no tiene su vértice en (0, 0) y ya no tiene los valores de $y$ 1, 4 y 9. Estos cambios se conocen como transformaciones.

El vértice (0, 0) cambiará si la parábola se traslada horizontal y/o verticalmente. Estas transformaciones hacen que la parábola se deslice a la izquierda o a la derecha y hacia arriba o hacia abajo.

Cuando la parábola experimenta una dilatación/contracción vertical, los valores de $y$ 1, 4 y 9 aumentan si la dilatación/contracción es un número natural. Esto producirá una parábola más estrecha que la representación gráfica base original. Cuando la dilatación/contracción vertical es una fracción menor de 1, los valores 1, 4 y 9 disminuyen. Esto producirá una parábola más ancha que la representación gráfica base original.

Finalmente, otra transformación de las parábolas es la reflexión vertical, que hará que se abra hacia abajo en lugar de abrirse hacia arriba. Por ejemplo, $y=-x^2$ es una reflexión vertical de $y=x^2$ .

Ejemplo A

Observe las dos parábolas siguientes. Describa la transformación que hubo de la parábola azul a la parábola roja. ¿Cuál es la coordenada del vértice de la parábola roja?

Solución:

Ejemplo B

Observe las dos parábolas siguientes. Describa la transformación que hubo de la parábola azul a la parábola roja. ¿Cuál es la coordenada del vértice de la parábola roja?

Solución:

La parábola azul es la representación gráfica de $y=x^2$ . Su vértice es (0, 0). La representación gráfica roja corresponde a $y=x^2$ que se ha desplazado cuatro unidades hacia la derecha y tres unidades hacia arriba. Cuando la representación se desliza cuatro unidades hacia la derecha, hace una traslación horizontal igual a +4. Cuando la representación se desliza tres unidades hacia arriba, hace una traslación vertical igual a +3. El vértice de la representación gráfica roja es (4, 3). Una traslación horizontal cambia la coordenada $x-$ del vértice de la representación de $y=x^2$ mientras que una traslación vertical cambia la coordenada $y-$ del vértice.

Ejemplo C

Observe la siguiente parábola. ¿Cuál es la diferencia entre esta parábola y $y=x^2$ ? ¿Cuál cree que es la ecuación de esta parábola?

Solución:

Ésta es la representación de $y=\frac{1}{2}x^2$ . Los puntos están ubicados a partir del vértice una unidad hacia la derecha y hacia la izquierda y media unidad hacia arriba, 2 unidades hacia la derecha y hacia la izquierda y dos hacia arriba, tres hacia la derecha y hacia la izquierda y cuatro y medio hacia arriba. Los valores originales de $y$ 1, 4 y 9 se dividieron por dos o se multiplicaron por un medio. Cuando los valores de $y$ se multiplican, los valores de $y$ aumentan o disminuyen. Esta transformación se conoce como dilatación (o contracción) vertical.

Revisión del problema de concepto

Ésta es la representación de $y=-\frac{1}{2}x^2$ . Los puntos están ubicados a partir del vértice una unidad hacia la derecha y hacia la izquierda y media unidad hacia abajo, 2 unidades hacia la derecha y hacia la izquierda y dos hacia abajo, tres hacia la derecha y hacia la izquierda y cuatro y medio hacia abajo. Los valores originales de $y$ 1, 4 y 9 se multiplicaron por un medio y luego se hicieron negativos porque la representación se abría hacia abajo. Cuando los valores de $y$ se tornan negativos, la dirección de la abertura cambia de ser hacia arriba a ser hacia abajo. Esta transformación se conoce como reflexión vertical. El gráfico se refleja a través del eje $x$ .

Vocabulario

Traslación horizontal: La traslación horizontal es el cambio en la representación gráfica base $y=x^2$ que desplaza la representación hacia la derecha o la izquierda. Cambia la coordenada $x-$ del vértice.

Transformación: Una transformación es cualquier cambio en la representación gráfica base $y=x^2$ . Las transformaciones que se aplican a las parábolas son traslación horizontal, traslación vertical, dilatación o contracción vertical y reflexión vertical.

Reflexión vertical: La reflexión vertical es la reflexión de la representación gráfica en el eje $x$ . La representación gráfica se abre hacia abajo y los valores de $y$ son valores negativos.

Dilatación o contracción vertical: La dilatación o contracción vertical es el cambio que se hace en la función base $y=x^2$ dilatando (o contrayendo) la representación gráfica verticalmente. La dilatación o contracción vertical produce una imagen gráfica que es más ancha o más estrecha que la representación gráfica base de $y=x^2$ .

Traslación vertical: La traslación vertical es el cambio en la representación gráfica base $y=x^2$ que la desplaza hacia arriba o hacia abajo. Cambia la coordenada $y-$ del vértice.

Práctica guiada

1. Use las siguientes tablas de valores e identifique las transformaciones de la representación gráfica base $y=x^2$ .

$& X \qquad -3 \qquad -2 \qquad -1 \qquad 0 \qquad 1 \qquad 2 \qquad 3\\\& Y \qquad \quad 9 \qquad \quad \ 4 \qquad \quad \ 1 \qquad \ 0 \qquad 1 \qquad 4 \qquad 9$

$& X \qquad -4 \qquad -3 \qquad -2 \qquad -1 \qquad 0 \qquad 1 \qquad 2\\\& Y \qquad \ \ 15 \qquad \quad \ 5 \qquad -1 \qquad -3 \quad -1 \quad \ \ \ 5 \quad \ \ 15$

2. Identifique las transformaciones de la representación gráfica base $y=x^2$ .

3. Dibuje la imagen gráfica de $y=x^2$ que ha experimentado una reflexión vertical, una dilatación/contracción vertical por un factor de $\frac{1}{2}$ , una traslación vertical 2 unidades hacia arriba y una traslación horizontal 3 unidades hacia la izquierda.

Respuestas:

1. Para identificar las transformaciones de las tablas de valores, compare la tabla de valores de $y=x^2$ con la nueva imagen gráfica.

Los valores de $x$ se han desplazado un lugar hacia la izquierda. Esto significa que se ha hecho una traslación horizontal igual a –1 a la representación gráfica.
La coordenada $y-$ del vértice es –3. Esto significa que se hizo una traslación vertical igual a –3. Es sencillo reconocer al vértice en las tablas porque es el punto alrededor del cual aparecen los puntos correspondientes.
Los puntos, a partir del vértice, están ubicados una unidad a la izquierda y a la derecha y dos hacia arriba; dos unidades a la izquierda y a la derecha y ocho hacia arriba. Esto significa que se ha hecho una dilatación/contracción vertical igual a 2 a la representación gráfica base.
Los valores de $y$ se desplazan hacia arriba de modo que la parábola se abre hacia arriba. Por lo tanto la imagen no es una reflexión vertical.

2. El vértice es (1, 6). A la representación gráfica base se le ha hecho una traslación horizontal igual a +1 y una traslación vertical igual a +6. La parábola se abre hacia abajo, de modo que la representación gráfica es una reflexión vertical. Los puntos se han ubicado de modo tal que los valores de $y$ 1 y 4 ahora son 2 y 8. No es inusual que una parábola se diagrame con cinco puntos en lugar de siete. El motivo es que la dilatación/contracción vertical suele multiplicar los valores de $y$ de modo tal que son difíciles de representar en una cuadrícula cartesiana. Si se deben ubicar todos los puntos, es necesario usar una escala diferente para el eje $y$ .

3. El vértice dado por las traslaciones horizontales y verticales es (–3, 2). Los valores de $y$ 1, 4 y 9 se deben multiplicar por $\frac{1}{2}$ para crear valores de $\frac{1}{2}, 2$ y $4 \frac{1}{2}$ . La representación gráfica es una reflexión vertical, lo que significa que la parábola se abre hacia abajo y los valores de $y$ se convierten en negativos.

Práctica

La siguiente tabla representa transformaciones sobre la representación gráfica base $y=x^2$ . Dibuje una imagen gráfica para cada conjunto de transformaciones. VR = Reflexión vertical, VS = Dilatación o contracción vertical, VT = Traslación vertical, HT = Traslación horizontal (siglas en inglés).

Número	$VR$	$VS$	$VT$	$HT$
1.	NO	$3$	$-4$	$-8$
2.	SÍ	$2$	$5$	$6$
3.	SÍ	$\frac{1}{2}$	$3$	$-2$
4.	NO	$1$	$-2$	$4$
5.	NO	$\frac{1}{4}$	$1$	$-3$
6.	SÍ	$1$	$-4$	$0$
7.	NO	$2$	$3$	$1$
8.	SÍ	$\frac{1}{8}$	$0$	$2$

Para cada una de las siguientes representaciones, haga una lista con las transformaciones de $y=x^2$ .

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