Vértice de una función cuadrática

Aquí aprenderá a escribir la ecuación de una parábola a la que se le han hecho transformaciones.

Dada la ecuación $y=3(x+4)^2+2$ , haga una lista de las transformaciones de $y=x^2.$

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James Sousa: Find the Equation of a Quadratic Function from a Graph (Hallar la ecuación de una función cuadrática a partir de un gráfico) *Este video está disponible solamente en inglés

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Guía

La ecuación de una parábola básica con un vértice en $(0,0)$ es $y=x^2$ . Puede aplicar transformaciones a la representación de $y=x^2$ para crear una representación nueva con una ecuación nueva correspondiente. Esta nueva ecuación se puede escribir en forma de vértice. La forma de vértice de una función cuadrática es $y=a(x-h)^2+k$ donde:

$|a|$ es un factor de dilatación/contracción vertical. Si $a$ es negativo, hay una reflexión vertical y la parábola se abrirá hacia abajo.
$k$ es la traslación vertical.
$h$ es la traslación horizontal.

Dada la ecuación de una parábola en forma de vértice, debe poder bosquejar esa representación haciendo transformaciones en la parábola básica. Este proceso se muestra en los ejemplos.

Ejemplo A

Dada la siguiente función en forma de vértice, identifique las transformaciones de $y=x^2$ .

$y=-\frac{1}{2}(x-2)^2-1$

Solución:

$a$ ¿Es $a$ negativo? SÍ. La parábola se abrirá hacia abajo.

$a$ ¿Hay un número delante de la parte que está elevada al cuadrado en la ecuación? SÍ. El factor de dilatación/contracción vertical es el valor absoluto de este número. Por lo tanto, la dilatación/contracción de esta función es $\frac{1}{2}$ .

$k$ ¿Hay un número después de la parte elevada al cuadrado de la ecuación? SÍ. El valor de este número es la traslación vertical. La traslación vertical es –1? ? .

$h$ ¿Hay un número después de la variable ‘ $x$ ’? SÍ. El valor de este número es el opuesto del signo que aparece en la ecuación. La traslación horizontal es +2? ? .

Ejemplo B

Dadas las siguientes transformaciones, determine la ecuación de la imagen de $y=x^2$ en forma de vértice.

Dilatación/contracción vertical por un factor de 3.
Traslación vertical 5 unidades hacia arriba
Traslación horizontal 4 unidades hacia la izquierda

Solución:

$a$ - La imagen no está reflejada en el eje $x$ . No se requiere un signo negativo.

$a$ - La dilatación/contracción vertical es 3, de modo que $a=3$ .

$k$ - La traslación vertical es 5 unidades hacia arriba, de modo que $k=5$ .

$h$ - La traslación horizontal es 4 unidades hacia la izquierda, de modo que $h=-4$ .

La ecuación de la imagen de $y=x^2$ es $y=3(x+4)^2+5$ .

Ejemplo C

Con $y=x^2$ como la función base, identifique las transformaciones que han ocurrido para producir la siguiente imagen gráfica. Use estas transformaciones para escribir la ecuación en forma de vértice.

Solución:

$a$ - La parábola no se abre hacia abajo, de modo que $a$ será positivo.

$a$ - Los valores de $y$ 1 y 4 ahora están 3 unidades hacia arriba y 12 unidades hacia arriba. $a = 3$ .

$k$ - La coordenada $y-$ del vértice es –5 de modo que $k=-5$ .

$h$ - La coordenada $x-$ del vértice es +3 de modo que $h=3$ .

La ecuación es $y=3(x-3)^2-5$ .

Ejemplo D

En general la regla de correspondencia que se usa para generar la imagen de una función es $(x,y) \rightarrow (x^\prime,y^\prime)$ donde $(x^\prime,y^\prime)$ son las coordenadas de la imagen gráfica. La regla de correspondencia resultante de $y=x^2$ a la imagen $y=a(x-h)^2+k$ es $(x,y) \rightarrow (x+h,ay+k)$ . La regla de correspondencia detalla las transformaciones que se aplicaron a las coordenadas de la función base $y=x^2$ .

Dada la siguiente ecuación cuadrática, $y=2(x+3)^2+5$ escriba la regla de correspondencia y cree una tabla de valores para la regla de correspondencia.

Solución:

La regla de correspondencia para esta función indicará exactamente qué cambios se aplicaron a las coordenadas de la función cuadrática base.

$y=2(x+3)^2+5: \quad (x,y) \rightarrow (x-3,2y+5)$

Estas nuevas coordenadas de la imagen gráfica se pueden ubicar para generar una representación gráfica.

Revisión del problema de concepto

Dada la ecuación $y=3(x+4)^2+2$ , haga una lista de las transformaciones de $y=x^2$ .

$a=3$ de modo que la dilatación/contracción vertical es 3? ? . $k=2$ de modo que la traslación vertical es hacia arriba, 2? ? . $h=-4$ de modo que la traslación horizontal es hacia la izquierda, 4? ? .

Vocabulario

Traslación horizontal: La traslación horizontal es el cambio en la representación gráfica base $y=x^2$ que desplaza la representación hacia la derecha o la izquierda. Cambia la coordenada $x-$ del vértice.

Regla de correspondencia: La regla de correspondencia define las transformaciones que han ocurrido en una función. La regla de correspondencia es $(x,y) \rightarrow (x^\prime,y^\prime)$ donde $(x^\prime,y^\prime)$ son las coordenadas de la imagen gráfica.

Transformación: Una transformación es cualquier cambio en la representación gráfica base $y=x^2$ . Las transformaciones que se aplican a las parábolas son traslación horizontal, traslación vertical, dilatación o contracción vertical y reflexión vertical.

Forma de vértice de $y = x^2$: La forma de vértice de $y = x^2$ es la forma de la función cuadrática base $y=x^2$ que muestra las transformaciones de la imagen gráfica. La forma de vértice de la ecuación es $y=a(x-h)^2+k$ .

Reflexión vertical: La reflexión vertical es la reflexión de la representación gráfica en el eje $x$ . La representación gráfica se abre hacia abajo y los valores de $y$ son valores negativos.

Dilatación o contracción vertical: La dilatación o contracción vertical es el cambio que se hace en la función base $y=x^2$ dilatando (o contrayendo) la representación gráfica verticalmente. La dilatación o contracción vertical produce una imagen gráfica que es más ancha o más estrecha que la representación gráfica base de $y=x^2$ .

Traslación vertical: La traslación vertical es el cambio en la representación gráfica base $y=x^2$ que la desplaza hacia arriba o hacia abajo. Cambia la coordenada $y-$ del vértice.

Práctica guiada

1. Identifique las transformaciones de $y=x^2$ para la función cuadrática $-2(y+3)=(x-4)^2$

2. Haga una lista de las transformaciones de $y=x^2$ y grafique la función $=-(x+5)^2+4$

3. Grafique la función $y=2(x-2)^2+3$ usando el método de la regla de correspondencia.

Respuestas:

1. Vuelva a escribir la ecuación en forma de vértice. $a$ – $a$ es negativo de modo que la parábola se abre hacia abajo.

$a$ - La dilatación/contracción de esta función es $\frac{1}{2}$ .

$k$ - La traslación vertical es -3? ? .

$h$ - La traslación horizontal es +4? ? .

$a & \rightarrow negative\\\a & \rightarrow 1\\\k & \rightarrow +4\\\h & \rightarrow -5$

3. Regla de correspondencia $(x,y) \rightarrow (x+2,2y+3)$

Haga una tabla de valores:

$x \rightarrow$	$x+2$	$y \rightarrow$	$2y+3$
–3	–1	9	21
–2	0	4	11
–1	1	1	5
0	2	0	3
1	3	1	5
2	4	4	11
3	5	9	21

Dibuje la representación gráfica:

Práctica

Identifique las transformaciones de $y=x^2$ en cada una de las funciones dadas:

$y=4(x-2)^2-9$
$y=-\frac{1}{6}x^2+7$
$y=-3(x-1)^2-6$
$y=\frac{1}{5}(x+4)^2+3$
$y=5(x+2)^2$

Grafique las siguientes funciones cuadráticas.

$y=2(x-4)^2-5$
$y=-\frac{1}{3}(x-2)^2+6$
$y=-2(x+3)^2+7$
$y=-\frac{1}{2}(x+6)^2+9$
$y=\frac{1}{3}(x-4)^2$

Aplicando las siguientes reglas de correspondencia, escriba la ecuación, en forma de vértice, que representa la imagen de $y = x^2$ .

$(x,y) \rightarrow \left(x+1, -\frac{1}{2}y\right)$
$(x,y) \rightarrow (x+6,2y-3)$
$(x,y) \rightarrow \left(x-1, \frac{2}{3}y+2\right)$
$(x,y) \rightarrow (x+3,3y+1)$
$(x,y) \rightarrow \left(x-5,-\frac{1}{3}y-7\right)$

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