Pendientes de las líneas a partir de gráficos

Aquí aprenderá qué se entiende por “pendiente” de una línea. Aprenderá cómo encontrar la pendiente de una línea a partir de su gráfico.

Joseph condujo desde su casa de verano hasta su lugar de trabajo. Para evitar la construcción de la carretera, Joseph decidió viajar por camino de grava. Luego de conducir durante 20 minutos, estaba a 62 millas de su trabajo y luego de conducir durante 40 minutos estaba a 52 millas. Esta situación se muestra en la siguiente representación. Determine la pendiente de la línea y diga qué significa en esta situación.

Mire este video

Khan Academy Slope and Rate of Change (Pendiente y tasa de cambio) *Este video solo está disponible en inglés

Para obtener más información, haga clic en la imagen anterior. (requiere conexión a internet)

Guía

La pendiente de una línea es el ángulo de inclinación, la inclinación o el gradiente de una línea. Pendiente se suele definir como $\frac{\text{rise}}{\text{run}}$ (elevación sobre traslación). La pendiente de una línea se representa con la letra “ $m$ ” y su valor es un número real.

Puede determinar la pendiente de una línea a partir de un gráfico, contando. Elija dos puntos en la línea que sean puntos exactos en la cuadrícula cartesiana. Puntos exactos significa puntos ubicados en la esquina de un cuadro o puntos que tienen coordenadas que no deben ser estimadas. En el siguiente gráfico, se indican dos puntos exactos con puntos azules.

Empiece por el punto más a la izquierda y MUÉVASE hacia la derecha hasta que esté directamente debajo (en este caso) del segundo punto indicado. Cuente la cantidad de unidades que tuvo que moverse para estar debajo del segundo punto y coloque este valor en la posición de traslación en el denominador de la pendiente. Luego cuente la cantidad de unidades que se tiene que mover para alcanzar el segundo punto. En este caso, debe moverse hacia arriba, lo que indica un movimiento positivo. Este valor debe colocarse en la posición de elevación en el numerador de la pendiente.

En este caso, tuvo que moverse 5 unidades hacia la derecha, lo que indica moverse 5 unidades en dirección positiva. Ahora tiene $m=\frac{\text{rise}}{{\color{blue}5}}$ . Para alcanzar el punto que está directamente encima tuvo que moverse 6 unidades hacia arriba, en dirección positiva. Ahora tiene $m=\frac{{\color{magenta}6}}{{\color{blue}5}}$ . La pendiente de la línea anterior es $\frac{6}{5}$ .

En el gráfico que se muestra arriba, no hay dos puntos en la línea que sean puntos exactos en la cuadrícula cartesiana. Por lo tanto, la pendiente de la línea no se puede determinar contando. Las coordenadas de los puntos en esta línea solo podrían ser valores estimados. Cuando esto sucede, la tarea de calcular la pendiente de la línea se debe presentar de una forma diferente. La pendiente se deberá determinar a partir de dos puntos que estén en la línea y estos puntos deberán haber sido dados.

Ejemplo A

¿Cuál es la pendiente de la siguiente línea?

Solución: Se han indicado dos puntos. Estos puntos son valores exactos en el gráfico. Desde el punto a la izquierda, trasládese una unidad en dirección positiva y 2 unidades hacia arriba en dirección positiva.

$m &=\frac{\text{rise}}{\text{run}}\\\m &= \frac{2}{1}$

Ejemplo B

¿Cuál es la pendiente de la siguiente línea?

Solución: Se han indicado dos puntos. Estos puntos son valores exactos en el gráfico. Desde el punto a la izquierda, trasládese dos unidades en dirección positiva y 5 unidades hacia abajo en dirección negativa.

$m &=\frac{\text{rise}}{\text{run}}\\\m &= \frac{-5}{2}$

Ejemplo C

Encuentre la pendiente de cada una de las siguientes líneas:

(a)

(b)

Solución:

(a)

Dos puntos de esta línea son (–5, 5) y (4, 5). La elevación es 0 y la traslación es 9. La pendiente es $m=\frac{0}{9}=0$ .

Todas las líneas perpendiculares al eje Y (líneas horizontales) tendrán una pendiente de 0.

(b)

Dos puntos de esta línea son (–3, 5) y (–3, –10). La elevación es 15 y la traslación es 0. La pendiente es $m=\frac{15}{0}=undefined$ .

Todas las líneas perpendiculares al eje X (líneas verticales) tendrán una pendiente indefinida.

Tenga en cuenta que tener una pendiente de 0 es distinto de tener una pendiente indefinida.

Revisión del problema de concepto

Si la pendiente se calcula contando, se debe ser precavido a la hora de determinar los valores correctos para la elevación y la traslación. La escala en el eje $x$ y el eje $y$ es en incrementos de diez. Aunque estos puntos no son valores exactos en la representación, conocer las coordenadas hace que contar sea una forma aceptable de determinar la pendiente de la línea. El eje $x$ representa el tiempo en minutos que condujo. El eje $y$ representa la distancia en millas que condujo.

Se han indicado dos puntos. Estos puntos son valores exactos en el gráfico. Desde el punto de la izquierda, trasládese 20 unidades en dirección positiva y muévase hacia abajo 10 unidades.

$m &=\frac{\text{rise}}{\text{run}}\\\m &= \frac{-10}{20}=-\frac{1}{2}$

La pendiente significa que, por cada dos minutos que Joseph conduce, se acerca una milla a su trabajo.

Vocabulario

Pendiente: La pendiente de una línea es el ángulo de inclinación de la línea. Una fórmula para la pendiente es: $\frac{\text{rise}}{\text{run}}.$

Práctica guiada

1. Identifique la pendiente para el siguiente gráfico.

2. Identifique la pendiente para el siguiente gráfico.

3. ¿Cuál es la pendiente de la línea que pasa a través del punto (2, 4) y es perpendicular al eje $x$ ?

4. ¿Cuál es la pendiente de la línea que pasa a través del punto (–6, 8) y es perpendicular al eje $y$ ?

Respuestas:

Dos puntos exactos en el gráfico anterior son (0, 4) y (16, –2). Desde el punto a la izquierda, trasládese dieciséis unidades en dirección positiva y muévase hacia abajo seis unidades en dirección negativa.

$m&=\frac{\text{rise}}{\text{run}}\\\m&=\frac{-6}{16}\\\m&=\frac{-3}{8}$

Dos puntos exactos en el gráfico anterior son (–2, –2) y (8, 4). Desde el punto a la izquierda, trasládese diez unidades en dirección positiva y muévase hacia arriba seis unidades en dirección positiva.

$m&=\frac{\text{rise}}{\text{run}}\\\m&=\frac{6}{10}\\\m&=\frac{3}{5}$

3. A usted no le dan las coordenadas de dos puntos. Trace el gráfico conforme a la información dada.

Una línea que es perpendicular al eje $x$ es paralela al eje $y$ . La pendiente de una línea que es paralela al eje $y$ tiene una pendiente indefinida.

4. A usted no le dan las coordenadas de dos puntos. Trace el gráfico conforme a la información dada.

Una línea que es perpendicular al eje $y$ es paralela al eje $x$ . La pendiente de una línea que es paralela al eje $x$ tiene una pendiente que es cero.

Práctica

1. Explique cómo encontrar la pendiente de una línea a partir de su gráfico.

2. ¿Qué representa la pendiente de una línea?

3. De izquierda a derecha, una determinada línea apunta hacia arriba. ¿La pendiente de la línea es positiva o negativa?

4. ¿Cómo puede decir, solo con mirar el gráfico, si la pendiente es positiva o negativa?

5. ¿Cuál es la pendiente de una línea horizontal?

6. ¿Cuál es la pendiente de una línea vertical?

Encuentre la pendiente de cada una de las siguientes rectas.

Grafique los puntos y luego encuentre la pendiente de la línea que conecta los puntos. ¿Puede pensar en alguna manera de encontrar la pendiente sin recurrir a un gráfico?

$(2, 4)$ y $(-1, 3)$
$(-4, -2)$ y $(2, 7)$