Pendientes de líneas a partir de dos puntos

Aquí aprenderá cómo encontrar la pendiente de una línea a partir de dos puntos en la línea.

¿Puede determinar la pendiente de la línea con una intersección con $x$ en 4 y una intersección con $y$ en –3?

Mire este video

James Sousa: Ej. Determine la pendiente de una línea dados dos puntos de la línea

Para obtener más información, haga clic en la imagen anterior. (requiere conexión a internet)

Guía

La pendiente de una línea es el ángulo de inclinación, la inclinación o el gradiente de una línea. La pendiente se define como $\frac{\text{rise}}{\text{run}}$ (elevación sobre traslación) o $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ (cambio en $y$ sobre cambio en $x$ ). Sin importar la definición de pendiente que se utilice, todas significan lo mismo. La pendiente de una línea se representa con la letra “ $m$ ” y su valor es un número real.

Puede calcular la pendiente de una línea utilizando las coordenadas de dos puntos de la línea. Considere una línea que pasa a través de los puntos $A (-6, -4)$ y $B (3, -8)$ . La pendiente de esta línea se puede determinar si se encuentra el cambio en $y$ sobre el cambio en $x$ .

La fórmula que se utiliza es $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ donde “ $m$ ” es la pendiente, $(x_1,y_1)$ son las coordenadas del primer punto y $(x_2,y_2)$ son las coordenadas del segundo punto. La elección del primer y segundo puntos no afectará el resultado.

$& A \begin{pmatrix} x_1, & y_1 \\\ -6, & -4 \end{pmatrix} \quad B \begin{pmatrix} x_2, & y_2 \\\ 3, & -8 \end{pmatrix}&& \text{Label the points to indicate the first and second points.}\\\& m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} && \text{Substitute the values into the formula.}\\\& m=\frac{-8--4}{3--6} && \text{Simplify the values (if possible)}\\\& m=\frac{-8+4}{3+6} && \text{Evaluate the numerator and the denominator}\\\& m=\frac{-4}{9} && \text{Reduce the fraction (if possible)}$

Ejemplo A

Determine la pendiente de la línea que pasa a través del par de puntos (–3, –8) y (5, 8).

Solución: Para determinar la pendiente de una línea a partir de dos puntos dados, se puede utilizar la fórmula $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ . No se olvide de elegir su primer y segundo puntos. Designar los puntos reducirá el riesgo de ingresar los valores en la ubicación equivocada de la fórmula.

$& \begin{pmatrix} x_1, & y_1 \\\ -3, & -8 \end{pmatrix} \quad \begin{pmatrix} x_2, & y_2 \\\ 5, & 8 \end{pmatrix}\\\& \text{Substitute the values into the formula} && m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\\& && m=\frac{8--8}{5--3}\\\& \text{Simplify} && m=\frac{8+8}{5+3}\\\& \text{Calculate} && m=\frac{16}{8}\\\& \text{Simplify} && m=2$

Ejemplo B

Determine la pendiente de la línea que pasa a través del par de puntos $(9, 5)$ y $(-1, 6)$ .

Solución:

$& \begin{pmatrix} x_1, & y_1 \\\ 9, & 5 \end{pmatrix} \quad \begin{pmatrix} x_2, & y_2 \\\ -1, & 6 \end{pmatrix}\\\& m =\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\\& m =\frac{6-5}{-1-9}\\\& m =-\frac{1}{10}$

Ejemplo C

Determine la pendiente de la línea que pasa a través del par de puntos $(-2, 7)$ y $(-3, -1)$ .

Solución:

$& \begin{pmatrix} x_1, & y_1 \\\ -2, & 7 \end{pmatrix} \quad \begin{pmatrix} x_2, & y_2 \\\ -3, & -1 \end{pmatrix}\\\& m =\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\\& m =\frac{-1-7}{-3--2}\\\& m =\frac{-1-7}{-3+2}\\\& m =\frac{-8}{-1}\\\& m =8$

Revisión del problema de concepto

Determine la pendiente de la línea con una intersección con $x$ en 4 y una intersección con $y$ en –3.

$& \begin{pmatrix} x_1, & y_1 \\\ 4, & 0 \end{pmatrix} \quad \begin{pmatrix} x_2, & y_2 \\\ 0, & -3 \end{pmatrix} && \text{Express the} \ x- \text{and} \ y \text{-intercepts as coordinates of a point.}\\\& m =\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\\& m =\frac{-3-0}{0-4}\\\& m =\frac{-3}{-4}\\\& m =\frac{3}{4}$

Vocabulario

Pendiente: La pendiente de una línea es el ángulo de inclinación, la inclinación o el gradiente de una línea. La pendiente se define como $\frac{\text{rise}}{\text{run}}$ (elevación sobre traslación) o $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ (cambio en $y$ sobre cambio en $x$ ).

Práctica guiada

Calcule la pendiente de la línea que pasa a través de los siguientes pares de puntos:

1. (5, –7) y (16, 3)

2. (–6, –7) y (–1, –4)

3. (5, –12) y (0, –6)

4. El restaurant Wine and Dine tiene un salón privado que permite atender banquetes hasta para 200 invitados. Cuando la gerente presupuesta un precio para un banquete, incluye el costo de alquiler del salón en el precio de la comida. El precio de un banquete para 80 personas es $900 mientras que uno para 120 personas es $1300.

i) Trace una representación del costo versus la cantidad de personas.

ii) ¿Cuál es la pendiente de la línea y qué significado tiene en esta situación?

Respuestas:

1. La pendiente es $\frac{10}{11}$ .

$& \begin{pmatrix} x_1, & y_1 \\\ 5, & -7 \end{pmatrix} \quad \begin{pmatrix} x_2, & y_2 \\\ 16, & 3 \end{pmatrix} && \text{Designate the points as to the first point and the second point.}\\\& m =\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\\& m =\frac{3--7}{16-5} && \text{Fill in the values}\\\& m =\frac{3+7}{16-5} && \text{Simplify the numerator and denominator (if possible)}\\\& m =\frac{10}{11} && \text{Calculate the value of the numerator and the denominator}$

2. La pendiente es $\frac{3}{5}$ .

$& \begin{pmatrix} x_1, & y_1 \\\ -6, & -7 \end{pmatrix} \quad \begin{pmatrix} x_2, & y_2 \\\ -1, & -4 \end{pmatrix} && \text{Designate the points as to the first point and the second point.}\\\& m =\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\\& m =\frac{-4--7}{-1--6} && \text{Fill in the values}\\\& m =\frac{-4+7}{-1+6} && \text{Simplify the numerator and denominator (if possible)}\\\& m =\frac{3}{5} && \text{Calculate the value of the numerator and the denominator}$

3. La pendiente es $-\frac{6}{5}$ .

$& \begin{pmatrix} x_1, & y_1 \\\ 5, & -12 \end{pmatrix} \quad \begin{pmatrix} x_2, & y_2 \\\ 0, & -6 \end{pmatrix} && \text{Designate the points as to the first point and the second point.}\\\& m =\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\\& m =\frac{-6--12}{0-5} && \text{Fill in the values}\\\& m =\frac{-6+12}{0-5} && \text{Simplify the numerator and denominator (if possible)}\\\& m =\frac{6}{-5} && \text{Calculate the value of the numerator and the denominator}\\\& m =-\frac{6}{5}$

El dominio para esta situación es $N$ . Sin embargo, para demostrar la pendiente y su significado, es más conveniente dibujar la representación como $x \ \varepsilon \ R$ en lugar de solo mostrar los puntos en la cuadrícula cartesiana. El eje $x$ tiene una escala de 10 y el eje $y$ tiene una escala de 100. La pendiente se puede calcular contando para determinar $\frac{\text{rise}}{\text{run}}$ .

Desde el punto a la izquierda, trasládese cuatro espacios (40) en dirección positiva y muévase hacia arriba cuatro espacios (400) en dirección positiva.

$m&=\frac{\text{rise}}{\text{run}}\\\m&=\frac{400}{{\color{blue}40}}\\\m &= \frac{10}{{\color{blue}1}}\\\m &= \frac{10 \ dollars}{{\color{blue}1 \ person}}$

La pendiente representa el costo de la comida para cada persona. La comida costará $10 por persona.

Práctica

Calcule la pendiente de la línea que pasa a través de los siguientes pares de puntos:

(3, 1) y (–3, 5)
(–5, –57) y (5, –5)
(–3, 2) y (7, –1)
(–4, 2) y (4, 4)
(–1, 5) y (4, 3)
(0, 2) y (4, 1)
(12, 15) y (17, 3)
(2, –43) y (2, –14)
(–16, 21) y (7, 2)

El costo de operación de un automóvil durante un mes depende de la cantidad de millas que conduzca. De acuerdo con una encuesta reciente que completaron conductores de automóviles medianos, conducir 320 millas/mes cuesta $124/mes y conducir 600 millas/mes cuesta $164/mes.

Trace una representación de la distancia/mes versus el costo/mes.
¿Cuál es la pendiente de la línea y qué representa?

Un desarrollador de Glace Bay ha producido una nueva computadora portátil llamada Blueberry . Vendió 10 computadoras en un lugar por $1950 y 15 en otro por $2850. La cantidad de computadoras y el costo forman una relación lineal.

Trace una representación de la cantidad de computadoras vendidas versus su costo.
¿Cuál es la pendiente de la línea y qué representa?

La tienda Rite vende cajas de un cuarto de leche a $1.65 y de dos cuartos a $2.95. Asuma que hay una relación lineal entre el volumen de leche y el precio.

Trace un gráfico del volumen de leche vendido versus su costo.
¿Cuál es la pendiente de la línea y qué representa?

Algunos estudiantes universitarios, que planean convertirse en profesores de matemáticas, decidieron establecer un servicio de tutorías en matemáticas para estudiantes de la escuela secundaria. A un estudiante se le cobró $25 por 3 horas de tutoría. A otro estudiante se le cobró $55 por 7 horas de tutoría. La relación entre el costo y el tiempo es lineal.

Trace un gráfico del tiempo empleado en las tutorías versus su costo.
¿Cuál es la pendiente de la línea y qué representa?

Prev Next