Ecuaciones de líneas de dos puntos

Aquí aprenderá cómo encontrar la ecuación de una línea en la forma de intersección de la pendiente o forma estándar.

Escriba la ecuación de la línea que tiene la misma pendiente que $3x+2y-8=0$ y pasa a través del punto (–6, 7).

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Khan Academy Equation of a Line (Ecuación de una línea) *Este video solo está disponible en inglés

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Guía

Ecuaciones de la línea en la forma de intersección de la pendiente

Siempre puede encontrar la ecuación de una línea si conoce su pendiente ( $m$ ) y la intersección con $y$ . ? $b$ ? . Luego puede escribir la ecuación de la línea en la forma de intersección de la pendiente:

$y = mx + b$

Siempre recuerde que mientras conozca la pendiente y la intersección con Y, puede escribir la ecuación de la línea. Algunas veces deberá determinar la pendiente o la intersección con Y, tal como se mostrará en los siguientes ejemplos.

En la representación anterior, la línea atraviesa el eje $y$ en el punto (0, 2). Esta es la intersección de la línea con $y$ , por lo que $b=2$ . La pendiente es $m = \frac{\text{rise}}{\text{run}}=\frac{3}{1}=3$ . Ahora que conoce los valores de $m$ y $b$ , puede escribir la ecuación para la línea: $\boxed{y = 3x + 2.}$

Ecuaciones de líneas horizontales y verticales

Una línea que es paralela al eje $x$ (una línea horizontal) siempre tendrá la ecuación $y=a$ , donde $a$ es la coordenada $y-$ del punto a través del cual pasa la línea.

Una línea que es paralela al eje $y$ (una línea vertical) siempre tendrá la ecuación $x=c$ , donde $c$ es la coordenada $x-$ del punto a través del cual pasa la línea.

Ecuaciones de líneas con forma estándar

La ecuación de una línea también se puede escribir de otra forma que se conoce como forma estándar. La forma estándar es $Ax + By + C = 0$ . Puede reescribir la ecuación de una línea dada en forma estándar como una ecuación con la forma de intersección de la pendiente calculando $y$ . Esto le permitirá determinar la pendiente y la intersección con y de la línea. Por ejemplo, ¿puede reescribir la ecuación $3x+2y-8=0$ en la forma de intersección de la pendiente?

$3x + 2y - 8 & = 0\\\3x {\color{red}-3x} + 2y - 8 & = 0 {\color{red}-3x}\\\2y - 8 & = -3x\\\2y - 8 {\color{red}+8} & = -3x {\color{red}+8}\\\2y & = -3x + 8\\\\frac{2y}{{\color{red}2}} & = \frac{-3x}{{\color{red}2}} + \frac{8}{{\color{red}2}}\\\& \boxed{y = \frac{-3}{2}x + 4}$

La ecuación se resolvió para $y$ por lo que ahora tiene la forma $y=mx+b$ . Ahora puede ver que la pendiente de la línea es $m = -\frac{3}{2}$ .

Ocasionalmente, se le dará la ecuación de una línea en la forma de intersección de la pendiente y tendrá que reescribir esta ecuación en la forma estándar. Para hacer esto, multiplique todos los términos por los denominadores de cualquier fracción para deshacerse de las fracciones y luego mueva todas las variables y constantes a un lado de la ecuación, para poder igualar a 0.

Ejemplo A

Escriba la ecuación de la línea que pasa a través de los puntos $A (3, 4)$ y $B (8, 2)$ .

Solución: Recuerde que para encontrar la ecuación, necesita calcular la pendiente ( $m$ ) y la intersección con y ( $b$ ). Primero, determine la pendiente de la línea:

$\begin{pmatrix} x_1, & y_1 \\\ 3, & 4 \end{pmatrix} \qquad \begin{pmatrix} x_2, & y_2 \\\ 8, & 2 \end{pmatrix}$

$m & = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\\\m & = \frac{2 - 4}{8 - 3}\\\m & = -\frac{2}{5}$

Luego, determine la intersección de la línea con el eje $y$ . Esto se puede hacer utilizando la forma de intersección de la pendiente para la ecuación de la línea si se sustituye uno de los puntos dados para $x$ e $y$ (no importa qué punto utilice).

$y & = mx + b \\\({\color{red}4}) & = \left ( {\color{red}-\frac{2}{5}} \right )({\color{red}3}) + b && \text{Use one of the given points for } (x, y) \text{ and } \left( -\frac{2}{5} \right ) \text{ for } m.\\\4 & = -\frac{6}{5} + b && \text{Solve for } b.\\\4 + \frac{6}{5} & = - \frac{6}{5} + \frac{6}{5} + b\\\4 + \frac{6}{5} & = b && \text{To add these numbers, a common denominator is necessary.}\\\\left ( \frac{4}{1} \right ) \left ( \frac{5}{5} \right ) + \frac{6}{5} & = b\\\\frac{20}{5} + \frac{6}{5} & = b\\\\frac{26}{5} & = b && \text{The } y \text{-intercept is } \left ( 0, \frac{26}{5} \right )$

La ecuación para la línea es $\boxed{y = - \frac{2}{5} x + \frac{26}{5}}$

Ejemplo B

(a) Escriba la ecuación de la línea que pasa a través del punto (6, –4) y es paralela al eje $x$ .

(a) Escriba la ecuación de la línea que pasa a través del punto (3, –2) y es paralela al eje $y$ .

Solución:

(a) Una línea que es paralela al eje $x$ siempre tendrá la ecuación $y=a$ , donde $a$ es la $y-$ coordenada del punto a través del cual pasa la línea. Por lo tanto, la ecuación de esta línea es $\boxed{y = -4}$ .

(b) Una línea que es paralela al eje $y$ siempre tendrá la ecuación $x=c$ , donde $c$ es la $x-$ coordenada del punto a través del cual pasa la línea. Por lo tanto, la ecuación de esta línea es $\boxed{x = 3}$ .

Ejemplo C

Escriba la ecuación de la línea que pasa a través del punto (–2, 5) y tiene la misma intersección con $y$ que: $-3x +6y +18 = 0$ .

Solución: Para poder encontrar la ecuación de cualquier línea, puede calcular la pendiente y la intersección. Primero, encuentre la intersección con Y.

$-3x + 6y + 18 & = 0 && \text{is written in standard form. To determine}\\\& && \text{the } y \text{-intercept, solve for } y\\\-3x + 3x + 6y + 18 - 18 & = 3x-18\\\6y & = 3x-18\\\\frac{6y}{6} & = \frac{3}{6}x-\frac{18}{6}\\\y & = \frac{1}{2}x-3\\\$

Ahora puede ver que $b=-3$ . La línea también pasa a través del punto (–2, 5). Puede utilizar este punto junto con la intersección con Y para ayudar a encontrar la pendiente.

$y & = mx + b && \text{Fill in } -3 \text{ for }b \text{ and } (x, y) = (-2, 5)\\\({\color{red}5}) & = m({\color{red}-2}) + ({\color{red}-3})\\\5 & = -2{\color{red}m} - 3 && \text{Solve for } m.\\\5 + 3 & = -2m - 3 + 3\\\8 & = - 2m\\\\frac{8}{-2} & = \frac{-2m}{-2}\\\-4 & = m$

$\boxed{y = -4x-3}$ es la ecuación de la línea.

Revisión del problema de concepto

Para determinar la pendiente de $3x+2y-8=0$ , calcule la ecuación para “ $y$ ’.

Ahora la ecuación está en la forma $y=mx+b$ . La pendiente de la línea es $m = -\frac{3}{2}$ . La línea ahora se puede representar en la cuadrícula cartesiana.

El punto (–6, 7) se trazó primero y luego se aplicó la pendiente: traslade dos unidades hacia la derecha y luego muévase hacia abajo tres unidades. La línea atraviesa el eje $y$ en el punto (0, –2). Esta es la intersección con $y$ de la representación. La ecuación para la línea tiene una pendiente de $-\frac{3}{2}$ y una intersección con $y$ en –2.

La ecuación de la línea es $\boxed{y = -\frac{3}{2}x-2}$ .

Vocabulario

Pendiente - Forma de intersección: La forma intersección de la pendiente es un método para escribir la ecuación de una línea. La forma de intersección de la pendiente es $y = mx + b$ donde $m$ es la pendiente y $b$ identifica la intersección con $y$ .

Forma estándar: La forma estándar es otro método para escribir la ecuación de una línea. La forma estándar es $Ax + By + C = 0$ donde $A$ es el coeficiente de $x$ , $B$ es el coeficiente de $y$ y $C$ es una constante.

Práctica guiada

Escriba la ecuación para cada una de las líneas que se representan a continuación en la forma de intersección de la pendiente y en la forma estándar.

3. Escriba la ecuación de la línea que pasa a través del punto (–4, 7) y es perpendicular al eje $y$ .

Respuestas:

1. Dos puntos de la representación son (–2, 6) y (8, 0). Primero utilice la fórmula para determinar la pendiente de esta línea.

$m & = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\\\m & = \frac{0-6}{8 -- 2}\\\m & = \frac{0-6}{8+2}\\\m & = -\frac{6}{10}\\\m&=-\frac{3}{5}$

Utilice la pendiente y uno de los puntos para determinar la intersección con $y$ .

$y & = mx + b\\\({\color{red}0}) & = \left ( {\color{red}-\frac{3}{5}} \right ) ({\color{red}8}) + b && \text{Use one of the given points for } (x, y) \text{ and } \left ( -\frac{3}{5} \right ) \text{ for } m.\\\0 & = -\frac{24}{5} + b && \text{Solve for }b.\\\0 + \frac{24}{5} & = -\frac{24}{5} + \frac{24}{5} + b\\\\frac{24}{5} & = b$

La ecuación para la línea en la forma de intersección de la pendiente es $\boxed{y =-\frac{3}{5}x + \frac{24}{5}}$ . Para expresar la ecuación en la forma estándar, multiplique cada término por 5 e iguale la ecuación a cero.

$y & = -\frac{3}{5}x + \frac{24}{5}\\\{\color{red}5}(y) & = {\color{red}5} \left ( -\frac{3}{5}x \right ) + {\color{red}5} \left ( \frac{24}{5} \right ) \\\{\color{red}5}(y) & = {\color{red}\cancel{5}} \left ( -\frac{3}{\cancel{5}}x \right ) + {\color{red}\cancel{5}} \left ( \frac{24}{\cancel{5}} \right ) \\\5y & = -3x + 24 && \text{Apply the zero principle to move } -3x \text{ to the left side of the equation.}\\\5y {\color{red}+3x} & = - 3x {\color{red}+3x} + 24\\\5y {\color{red}+3x} & = 24\\\5y + 3x {\color{red}-24} & = 24 {\color{red}-24}\\\5y + 3x - 24 & = {\color{red}0}$

$\boxed{3x+5y-24=0}$

2. Dos puntos exactos en la representación son (–10, –8) y (20, 2). La pendiente de la línea se puede calcular contando para determinar el valor de $m = \frac{\text{rise}}{\text{run}}$ .

$m & = \frac{\text{rise}}{\text{run}}\\\m & = \frac{10}{30}\\\m & = \frac{1}{3}$

Ahora, utilice la pendiente y uno de los puntos para calcular la intersección de la línea con $y$ .

$y&=mx+b && m=\frac{1}{3} \ and \begin{pmatrix} x, & y\\\ 20, & 2 \end{pmatrix}\\\{\color{red}2} & = {\color{red}\frac{1}{3}(20)} + b\\\2 & = \frac{20}{3} + b && \text{Solve for } b.\\\2 - \frac{20}{3} & = \frac{20}{3} - \frac{20}{3} + b\\\2 - \frac{20}{3} & = b && \text{A common denominator is needed.}\\\{\color{red}\left(\frac{3}{3}\right)} \frac{2}{1} - \frac{20}{3} & = b\\\\frac{6}{3} - \frac{20}{3} & = b\\\-\frac{14}{3} & = b$

La ecuación de la línea en la forma de intersección de la pendiente es $\boxed{y = \frac{1}{3}x - \frac{14}{3}}$ . Multiplique la ecuación por 3 e iguale la ecuación a cero para escribir la ecuación en forma estándar. La ecuación de la línea en la forma estándar es $\boxed{x-3y-14=0}$ .

3. Empiece por bosquejar el gráfico de la línea.

Una línea que es perpendicular al eje $y$ es paralela al eje $x$ . La pendiente de dicha línea es cero. La ecuación de esta línea es $\boxed{y = 7}$

Práctica

Para cada una de las siguientes representaciones, escriba la ecuación de la línea en la forma de intersección de la pendiente.

Determine la ecuación de la línea que pasa a través de los siguientes pares de puntos:

(–3, 1) y (–3, –7)
(–5, –5) y (10, –5)
(–8, 4) y (2, –6)
(14, 8) y (4, 4)
(0, 5) y (4, –3)
(4, 7) y (2, –5)

Para cada uno de los siguientes problemas de la vida real, escriba la ecuación lineal en la forma estándar que mejor modelará el problema.

El costo de operación de un automóvil durante un mes depende de la cantidad de millas que conduzca. De acuerdo con una encuesta reciente que completaron conductores de automóviles medianos, conducir 320 millas/mes cuesta $124/mes y conducir 600 millas/mes cuesta $164/mes.
1. Designe dos valores de datos para este problema. Establezca las variables dependientes e independientes.
2. Escriba una ecuación para modelar la situación. ¿Qué representan los números en la ecuación?
Un desarrollador de Glace Bay ha producido una nueva computadora portátil llamada Blueberry . Vendió 10 computadoras en un lugar por $1950 y 15 en otro por $2850. La cantidad de computadoras y el costo forman una relación lineal.
1. Designe dos valores de datos para este problema. Establezca las variables dependientes e independientes.
2. Escriba una ecuación para modelar la situación. ¿Qué representan los números en la ecuación?
La tienda Rite vende una caja de un cuarto de leche a $1.65 y de dos cuartos a $2.95. Asuma que hay una relación lineal entre el volumen de leche y el precio.
1. Designe dos valores de datos para este problema. Establezca las variables dependientes e independientes.
2. Escriba una ecuación para modelar la situación. ¿Qué representan los números en la ecuación?
Algunos estudiantes universitarios, que planean convertirse en profesores de matemáticas, decidieron establecer un servicio de tutorías en matemáticas para estudiantes de la escuela secundaria. A un estudiante se le cobró $25 por 3 horas de tutoría. A otro estudiante se le cobró $55 por 7 horas de tutoría. La relación entre el costo y el tiempo es lineal.
1. Designe dos valores de datos para este problema. Establezca las variables dependientes e independientes.
2. Escriba una ecuación para modelar la situación. ¿Qué representan los números en la ecuación?

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