Gráficos de líneas a partir de ecuaciones

Aquí aprenderá a representar una función lineal a partir de su ecuación sin tener que preparar una tabla de valores.

¿Puede representar la función lineal $4y-5x=16$ en una cuadrícula cartesiana?

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Khan Academy Slope and y-Intercept Intuition (Pendiente e intuición de la intersección con Y) *Este video solo está disponible en inglés

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Khan Academy Slope 2 (Pendiente 2) *Este video solo está disponible en inglés

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Guía

La representación de cualquier función lineal puede trazarse utilizando la forma de intersección de la pendiente de la ecuación.

Paso 1: Calcule la ecuación para $y$ si es que no está en la forma $y=mx+b$ .
Paso 2: Para representar la función, empiece por trazar la intersección con el eje $y$ .
Paso 3: Utilice la pendiente para encontrar otro punto en la línea. Desde la intersección con el eje $y$ , trasládese hacia la derecha una cantidad de unidades igual al denominador de la pendiente y, luego, hacia arriba o hacia abajo la cantidad de unidades del numerador de la pendiente. Trace el punto.
Paso 4: Conecte estos dos puntos para formar una línea y extiéndela.

Nota: Puede repetir el Paso 3 múltiples veces para encontrar más puntos en la línea, si lo desea.

Debido a que las ecuaciones de líneas horizontales y verticales son particulares, estos tipos de líneas se representan de forma distinta:

La representación de una línea horizontal tendrá una ecuación con la forma $y=a$ donde $a$ es la intersección de la línea con Y. Simplemente puede trazar una línea horizontal a través de la intersección con Y para bosquejar la representación.
La representación de una línea vertical tendrá una ecuación con la forma $x=c$ , donde $x$ es la intersección de la línea con X. Simplemente puede trazar una línea vertical a través de la intersección con X y bosquejar la representación.

Ejemplo A

Para la siguiente función lineal, establezca la intersección con el eje $y$ y la pendiente: $4x-3y-9=0$ .

Solución:

El primer paso es reescribir la ecuación en la forma $y=mx+b$ . Para hacerlo, calcule la ecuación para “ $y$ ’.

$& \qquad 4x-3y-9=0 && \text{Apply the zero principle to move} \ x \ \text{to the right side of the equation.}\\\& 4x{\color{red}-4x}-3y-9=0{\color{red}-4x}\\\& \qquad \quad -3y-9=-4x && \text{Apply the zero principle to move} \ -9 \ \text{to the right of the equation.}\\\& \quad \ \ -3y-9{\color{red}+9}=-4x{\color{red}+9}\\\& \qquad \qquad \ \ -3y=-4x+9 && \text{Divide all terms by the coefficient of} \ y. \ \text{Divide by} \ -3.\\\& \qquad \qquad \quad \frac{-3y}{{\color{red}-3}}=\frac{-4x}{{\color{red}-3}}+\frac{9}{{\color{red}-3}}\\\& \qquad \qquad \quad \frac{\cancel{-3}y}{{\color{red}\cancel{-3}}}=\frac{-4x}{{\color{red}-3}}+\frac{9}{{\color{red}-3}}\\\& \qquad \qquad \qquad \boxed{y=\frac{4}{3}x-3}$

La intersección con $y$ es (0, –3) y la pendiente es $\frac{4}{3}$ .

Ejemplo B

Represente la función lineal $y=\frac{-3}{5}x+7$ en una cuadrícula cartesiana.

Solución:

La intersección con $y$ es (0, 7) y la pendiente es $\frac{-3}{5}$ . Empiece por trazar la intersección con $y$ en la cuadrícula.

Desde la intersección con $y$ , muévase hacia la derecha (traslación) 5 unidades y, luego, hacia abajo (elevación) 3 unidades. Trace un punto ahí.

Una los puntos con una línea recta. Utilice una regla para trazar la línea.

Ejemplo C

Trace las siguientes ecuaciones lineales en una cuadrícula cartesiana.

i) $x=-3$

ii) $y=5$

Solución:

i) Una línea cuya ecuación es $x=-3$ pasa a través de todos los puntos que tienen –3 como su coordenada $x-$ . La línea también tiene una pendiente indefinida. Esta línea es paralela al eje $y$ .

i) Una línea cuya ecuación es $y=5$ pasa a través de todos los puntos que tienen 5 como su coordenada $y-$ . La línea también tiene una pendiente de cero. Esta línea es paralela al eje $x$ .

Revisión del problema de concepto

Trace la función lineal $4y-5x=16$ en una cuadrícula cartesiana.

El primer paso es reescribir la función en la forma de intersección de la pendiente.

$& \qquad 4y-5x=16 && \text{Apply the zero principle to move} \ 5x \ \text{to the right side of the equation.}\\\& 4y-5x{\color{red}+5x}=16{\color{red}+5x}\\\& \qquad \qquad \ 4y=16+5x && \text{Divide every term} \ 4.\\\& \qquad \qquad \frac{4y}{{\color{red}4}}=\frac{16}{{\color{red}4}}+\frac{5x}{{\color{red}4}}\\\& \qquad \qquad \ \ y=4+\frac{5}{4}x && \text{Write the equation in the form} \ y=mx+b.\\\& \qquad \qquad \ \boxed{y=\frac{5}{4}x+4}$

La pendiente de la línea es $\frac{5}{4}$ y la intersección con $y$ es (0, 4)

Trace la intersección con $y$ en (0, 4). Desde la intersección con $y$ , muévase hacia la derecha 4 unidades y, luego, hacia arriba 5 unidades. Trace el punto. Con una regla, una los puntos.

Vocabulario

Forma de intersección de la pendiente

La forma de intersección de la pendiente es un método para escribir la ecuación de una línea. La forma de intersección de la pendiente es $y=mx+b$ donde $m$ es la pendiente y $b$ identifica la intersección con $y$ . Esta forma se utiliza para trazar la representación de la función lineal.

Práctica guiada

1. Utilizando el método de intersección de la pendiente, represente la función lineal $y=-\frac{3}{2}x-1$

2. Utilizando el método de intersección de la pendiente, represente la función lineal $7x-3y-15=0$

3. Represente las siguientes líneas en la misma cuadrícula cartesiana. ¿Qué forma se crea a partir de las representaciones?

(a) $y=-3$

(b) $x=4$

(d) $x=-6$

Respuestas:

1. La pendiente de la línea es $-\frac{3}{2}$ y la intersección con $y$ es (0, –1). Trace la intersección con $y$ . Aplique la pendiente a la intersección con $y$ . Utilice una regla para unir los dos puntos.

2. Escriba la ecuación en la forma de intersección de la pendiente.

$& \quad \ \ 7x-3y-15=0 && \text{Solve the equation for the variable} \ y.\\\& 7x{\color{red}-7x}-3y-15=0{\color{red}-7x}\\\& \qquad \ \ -3y-15=-7x\\\& \quad -3y-15{\color{red}+15}=-7x{\color{red}+15}\\\& \qquad \qquad \quad -3y=-7x+15\\\& \qquad \qquad \quad \ \frac{-3y}{{\color{red}-3}}=\frac{-7x}{{\color{red}-3}}+\frac{15}{{\color{red}-3}}\\\& \qquad \qquad \qquad \ \boxed{y =\frac{7}{3}x-5}$

La pendiente es $\frac{7}{3}$ y la intersección con $y$ es (0, –5). Trace la intersección con $y$ . Aplique la pendiente a la intersección con $y$ . Utilice una regla para unir los dos puntos.

3. Hay cuatro líneas que deben representarse. Las líneas $a$ y $c$ son líneas con una pendiente de cero y son paralelas al eje $x$ . Las líneas $b$ y $d$ son líneas con una pendiente indefinida y son paralelas al eje $x$ . La forma creada por las intersecciones de las líneas es un rectángulo.

Práctica

Para cada una de las siguientes funciones lineales, establezca la pendiente y la intersección con $y$ :

$y=\frac{5}{8}x+3$
$4x+5y-3=0$
$4x-3y+21=0$
$y=-7$
$9y-8x=27$

Utilizando el método de intersección de la pendiente, represente las siguientes funciones lineales:

$3x+y=4$
$3x-2y=-4$
$2x+6y+18=0$
$3x+7y=0$
$4x-5y=-30$
$6x-2y=8$

Represente las siguientes ecuaciones lineales y establezca la pendiente de la línea:

$x=-5$
$y=8$
$y=-4$
$x=7$

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