Ecuaciones de líneas a partir de gráficos

Aquí aprenderá cómo encontrar la ecuación de una línea a partir de su representación.

Escriba la ecuación, en forma estándar, de la siguiente representación:

Mire este video

Khan Academy Slope and y-Intercept Intuition (Pendiente e intuición de la intersección con Y) *Este video solo está disponible en inglés

Para obtener más información, haga clic en la imagen anterior. (requiere conexión a internet)

Khan Academy Slope 2 (Pendiente 2) *Este video solo está disponible en inglés

Para obtener más información, haga clic en la imagen anterior. (requiere conexión a internet)

Guía

Puede determinar la ecuación de una línea a partir de una representación, contando. Primero, encuentre la intersección con Y ( $b$ ) y luego un segundo punto en la línea. Utilice la intersección con Y, además del segundo punto para determinar la pendiente ( $m$ ). Luego, escriba la ecuación en la forma de intersección de la pendiente. $y=mx+b$ .

La intersección con $y$ de la representación es (0, –5). La pendiente de la línea es $\frac{3}{4}$ . La ecuación de la línea en la forma de intersección de la pendiente es $\boxed{y=\frac{3}{4}x-5}$ .

Si no puede determinar la intersección con Y, puede determinar de forma algebraica la ecuación de una línea utilizando las coordenadas de dos puntos de la representación. Estos dos puntos pueden utilizarse para calcular la pendiente de la línea mediante conteo, para luego determinar de forma algebraica la intersección con Y.

Para escribir la ecuación de una línea en la forma estándar, no se necesita el valor de la intersección con $y$ . La pendiente se puede determinar contando. El valor de la pendiente y las coordenadas de otro punto en la línea se utilizan en la función $y-y_1=m(x-x_1)$ . Esta ecuación se hace igual a 0 para escribirla en forma estándar.

Ejemplo A

Determine la ecuación del siguiente gráfico. Escriba la ecuación en la forma de intersección de la pendiente.

Solución:

La intersección con $y$ es (0, 4) de modo que $b=4$ . La pendiente tiene una traslación de cinco unidades hacia la derecha y una elevación de 2 unidades hacia abajo. La pendiente de la línea es $-\frac{2}{5}$ . La ecuación de la línea en la forma de intersección de la pendiente es $y=mx+b$ de modo que $y=-\frac{2}{5}x+4.$

Ejemplo B

Determine la ecuación en la forma de intersección de la pendiente de la línea que se muestra en la siguiente representación:

Solución:

La intersección con $y$ no es un punto exacto en este gráfico. El valor de las fracciones en la cuadrícula cartesiana solo puede ser un estimado. Por lo tanto, los puntos (3, –1) y (9, –6) se utilizarán para determinar la pendiente de la línea. La pendiente es $-\frac{5}{6}$ . La pendiente y uno de los puntos se utilizarán para calcular de forma algebraica la intersección de la línea con $y$ .

$y&=mx+b\\\-1&=\left(\frac{-5}{6}\right)(3)+b\\\{\color{red}-1}&=\left(\frac{{\color{red}-5}}{{\color{red}\cancel{6}_2}}\right)({\color{red}\cancel{3}})+b\\\-1&=\frac{-5}{2}+b\\\-1{\color{red}+\frac{5}{2}}&=\frac{-5}{2}{\color{red}+\frac{5}{2}}+b\\\-1+\frac{5}{2}&=b\\\{\color{red}\frac{-2}{2}}+\frac{5}{2}&=b\\\\frac{3}{2}&=b$

La ecuación en la forma de intersección de la pendiente es $\boxed{y=-\frac{5}{6}x+\frac{3}{2}}$

Ejemplo C

Determine la ecuación, en forma estándar, de la línea en la siguiente representación:

Solución:

La intersección con $y$ no es un punto exacto en este gráfico. Por lo tanto, los puntos (4, 0) y (–1, –3) se utilizarán para determinar la pendiente de la línea. La pendiente es $\frac{3}{5}$ . La pendiente y uno de los puntos se utilizarán para calcular de forma algebraica la ecuación de la línea en la forma estándar.

$y-y_1&=m(x-x_1) && \text{Use this formula to determine the equation in standard form.}\\\y-{\color{red}0}&={\color{red}\frac{3}{5}}(x-{\color{red}4}) && \text{Fill in the value for} \ m \ \text{of} \ \frac{3}{5} \ \text{and} \ \begin{pmatrix} x_1, & y_1 \\\ 4, & 0 \end{pmatrix}\\\y&=\frac{3}{5}{\color{red}x}-{\color{red}\frac{12}{5}}\\\{\color{red}5}(y)&={\color{red}5}\left(\frac{3}{5}x\right)-{\color{red}5}\left(\frac{12}{5}\right) && \text{Multiply every term by 5.}\\\{\color{red}5}(y)&={\color{red}\cancel{5}}\left(\frac{3}{\cancel{5}}x\right)-{\color{red}\cancel{5}}\left(\frac{12}{\cancel{5}}\right) && \text{Simplify and set the equation equal to zero.}\\\\\\5y&=3x-12\\\5y{\color{red}-3x}&=3x{\color{red}-3x}-12\\\5y{\color{red}-3x}&=-12\\\5y-3x{\color{red}+12}&=-12{\color{red}+12}\\\5y-3x+12&=0\\\{\color{red}-3x}+5y+12&=0 && \text{The coefficient of} \ x \ \text{cannot be a negative value.}\\\3x-5y-12&=0$

La ecuación de la línea en la forma estándar es $\boxed{3x-5y-12=0}$ .

Revisión del problema de concepto

Escriba la ecuación, en forma estándar, de la siguiente representación:

El primer paso es determinar la pendiente de la línea.

La pendiente de la línea es $\frac{3}{4}$ . Las coordenadas de un punto de la línea son (2, 5).

$y-y_1&=m(x-x_1)\\\y-5&=\frac{3}{4}(x-2)\\\y-5&=\frac{3}{4}x-\frac{6}{4}\\\4(y)-4(5)&=4\left(\frac{3}{4}\right)x-4\left(\frac{6}{4}\right)\\\4(y)-4(5)&=\cancel{4}\left(\frac{3}{\cancel{4}}\right)x-\cancel{4}\left(\frac{6}{\cancel{4}}\right)\\\4y-20&=3x-6\\\-3x+4y-20&=3x-3x-6\\\-3x+4y-20&=-6\\\-3x+4y-20+6&=-6+6\\\-3x+4y-14&=0\\\3x-4y+14&=0$

La ecuación de la línea en la forma estándar es $\boxed{3x-4y+14=0}$ .

Vocabulario

Pendiente - Forma de intersección: La forma de intersección de la pendiente es un método para escribir la ecuación de una línea. La forma de intersección de la pendiente es $y = mx + b$ donde $m$ es la pendiente y $b$ identifica la intersección con $y$ .

Forma estándar: La forma estándar es otro método para escribir la ecuación de una línea. La forma estándar es $Ax + By + C = 0$ donde $A$ es el coeficiente de $x$ , $B$ es el coeficiente de $y$ y $C$ es una constante.

Práctica guiada

1. Escriba la ecuación, en forma de intersección de la pendiente, de la siguiente representación:

2. Escriba la ecuación, en forma de intersección de la pendiente, de la siguiente representación:

3. Reescriba la ecuación de la pregunta 2 en la forma estándar.

Respuestas:

1. El primer paso es determinar las coordenadas de la intersección con $y$ . La intersección con $y$ es (0, –3) por lo que $b=-3$ . El segundo paso es contar para determinar el valor de la pendiente. Otro punto en la línea es $(7,1)$ por lo que la pendiente es $\frac{4}{7}$ . La ecuación de la línea en la forma de intersección de la pendiente es $\boxed{y=\frac{4}{7}x-3}$

2. La intersección con $y$ no es un punto exacto en la representación. Por lo tanto, empiece por determinar la pendiente de la línea contando entre los dos puntos de la línea. Las coordenadas de dos puntos en la línea son (1, 0) y (6, –4). La pendiente es $-\frac{4}{5}$ . La intersección de la línea con $y$ debe calcularse utilizando la pendiente y uno de los puntos de la línea.

$y&=mx+b\\\{\color{red}0}&={\color{red}\frac{-4}{5}}({\color{red}1})+b\\\0&=\frac{-4}{5}+b\\\0{\color{red}+\frac{4}{5}}&=\frac{-4}{5}{\color{red}+\frac{4}{5}}+b\\\\frac{4}{5}&=b$

La ecuación de la línea en la forma de intersección de la pendiente es $\boxed{y=-\frac{4}{5}x+\frac{4}{5}}$

3. Para reescribir la ecuación en la forma estándar, primero multiplique la ecuación por 5 para deshacerse de las fracciones. Luego, iguale la ecuación a 0.

$y&=-\frac{4}{5}x+\frac{4}{5}\\\5y&=-4x+4\\\4x+5y-4&=0$

Práctica

Para cada una de las siguientes representaciones, escriba la ecuación en la forma de intersección de la pendiente:

Para cada una de las siguientes representaciones, escriba la ecuación en la forma estándar:

¿Puede siempre encontrar la ecuación de una línea a partir de su representación?
¿Cómo encuentra la ecuación de una línea vertical? ¿Y la de una línea horizontal?
Reescriba la ecuación $y=\frac{1}{4}x-5$ en forma estándar.
Reescriba la ecuación $y=\frac{2}{3}x+1$ en forma estándar.
Reescriba la ecuación $y=\frac{1}{3}x-\frac{3}{7}$ en forma estándar.

Prev Next

Ecuaciones de líneas a partir de gráficos

Mire este video

Guía

Ejemplo A

Ejemplo B

Ejemplo C

Revisión del problema de concepto

Vocabulario

Práctica guiada

Práctica

Licencia