Ecuaciones de líneas paralelas y perpendiculares

Aquí aprenderá acerca de líneas paralelas y perpendiculares y cómo determinar si dos líneas son o no paralelas o perpendiculares, utilizando la pendiente.

¿Puede escribir la ecuación de la línea que pasa a través del punto (–2, –3) y es paralela al gráfico de $y+2x=8$ ? ¿Puede escribir la ecuación de la línea de forma estándar?

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Khan Academy Parallel Lines (Líneas paralelas) *Este video solo está disponible en inglés

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Khan Academy Perpendicular Lines (Líneas perpendiculares) *Este video solo está disponible en inglés

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Guía

Las líneas paralelas son líneas que están en el mismo plano y que nunca se intersecarán. Las líneas paralelas mantienen la misma pendiente , o ninguna pendiente (líneas verticales) y la misma distancia una de la otra. La siguiente representación muestra dos líneas con la misma pendiente. La pendiente de cada línea es 2. Observe que las líneas están separadas la misma distancia en toda la longitud de las líneas. Las líneas nunca se intersecarán. Las siguientes líneas son paralelas.

Dos líneas en un mismo plano que se intersecan o se cruzan en ángulos rectos son líneas perpendiculares. . Las líneas perpendiculares tienen pendientes que son recíprocas opuestas . La siguiente representación muestra dos líneas con pendientes que son recíprocas opuestas. La pendiente de una línea es $\frac{3}{4}$ y la pendiente de la otra línea es $-\frac{4}{3}$ . El producto de las pendientes es uno negativo. $\left(\frac{3}{4}\right)\left(\frac{-4}{3}\right)=\frac{-12}{12}=-1$ . Tenga en cuenta que las líneas se intersecan en ángulo recto. Las líneas son perpendiculares.

Puede utilizar la relación entre las pendientes de líneas paralelas y las pendientes de líneas perpendiculares para escribir las ecuaciones de otras líneas.

Ejemplo A

Dadas las pendientes de dos líneas, diga si las líneas son paralelas, perpendiculares o ninguna de las dos.

i) $m_1=4, m_2=\frac{1}{4}$

ii) $m_1=-3, m_2=\frac{1}{3}$

iii) $m_1=\frac{3}{12}, m_2=\frac{1}{4}$

iv) $m_1=-1, m_2=1$

v) $m_1=-\frac{1}{3}, m_2=\frac{1}{3}$

Soluciones

i) $m_1=4, m_2=\frac{1}{4}$ Las pendientes son recíprocas pero no recíprocas opuestas. Las líneas no son paralelas ni perpendiculares.

ii) $m_1=-3, m_2=\frac{1}{3}$ Las pendientes son recíprocas y también son recíprocas opuestas. Las líneas son perpendiculares.

iii) $m_1=\frac{3}{12}, m_2=\frac{1}{4}$ Las pendientes son las mismas. Las fracciones son equivalentes. Las líneas son paralelas.

iv) $m_1=-1, m_2=1$ Las pendientes son recíprocas y también son recíprocas opuestas. Las líneas son perpendiculares.

v) $m_1=-\frac{1}{3}, m_2=\frac{1}{3}$ Las pendientes no son las mismas. Las líneas no son paralelas ni perpendiculares.

Ejemplo B

Determine la ecuación de la línea que pasa a través del punto (–4, 6) y es paralela a la representación de $3x+2y-7=0$ . Escriba la ecuación en la forma estándar.

Solución:

Si la ecuación de la línea que está buscando es paralela a la línea dada, entonces las dos líneas tienen la misma pendiente. Empiece por expresar $3x+2y-7=0$ en la forma de intersección de la pendiente para poder encontrar su pendiente.

$3x+2y-7&=0\\\3x{\color{red}-3x}+2y-7&=0{\color{red}-3x}\\\2y-7&=-3x\\\2y-7{\color{red}+7}&=-3x{\color{red}+7}\\\2y&=-3x+7\\\\frac{\cancel{2}y}{\cancel{2}}&=-\frac{3x}{2}+\frac{7}{2}\\\y&=-\frac{3}{2}x+\frac{7}{2}\\\& \qquad {\color{red}\updownarrow}\\\y&= \ mx+b && \text{The slope of the line is} \ -\frac{3}{2}. \ \text{The line passes through the point} \ (-4, 6).\\\y-y_1&=m(x-x_1) && \text{Substitute the values into this equation.}\\\y-{\color{red}6}&={\color{red}\frac{-3}{2}}(x-{\color{red}-4})\\\y-6&=\frac{-3}{2}(x{\color{red}+}4)\\\y-6&=\frac{-3x}{2}-\frac{12}{2}\\\2(y)-2(6)&=\cancel{2}\left(\frac{-3x}{\cancel{2}}\right)-\cancel{2}\left(\frac{12}{\cancel{2}}\right)\\\2y-12&=-3x-12\\\2y-12{\color{red}+12}&=-3x-12{\color{red}+12}\\\2y&=-3x\\\{\color{red}3x}+2y&=-3x{\color{red}+3x}\\\3x+2y&=0$

La ecuación de la línea es $\boxed{3x+2y=0}$

Ejemplo C

Determine la ecuación de la línea que pasa a través del punto (6, –2) y es perpendicular a la representación de $3x=2y-4$ . Escriba la ecuación en la forma estándar.

Solución: Empiece por escribir la ecuación $3x=2y-4$ en la forma de intersección de la pendiente.

$3x&=2y-4\\\2y-4&=3x\\\2y-4{\color{red}+4}&=3x{\color{red}+4}\\\2y&=3x+4\\\\frac{\cancel{2}y}{\cancel{2}}&=\frac{3x}{2}+\frac{4}{2}\\\y&=\frac{3}{2}x+2\\\& \quad \ {\color{red}\updownarrow}\\\y&=mx+b$

La pendiente de la línea dada es $\frac{3}{2}$ . La pendiente de la línea perpendicular es $\boxed{-\frac{2}{3}}$ . La línea pasa a través del punto (6, –2).

$y-y_1&=m(x-x_1)\\\y-{\color{red}-2}&={\color{red}-\frac{2}{3}}(x-{\color{red}6})\\\y{\color{red}+}2&=-\frac{2}{3}(x-6)\\\y+2&=-{\color{red}\frac{2x}{3}+\frac{12}{3}}\\\3(y)+3(2)&=3\left(-\frac{2x}{3}\right)+3\left(\frac{12}{3}\right)\\\3(y)+3(2)&=\cancel{3}\left(-\frac{2x}{\cancel{3}}\right)+\cancel{3}\left(\frac{12}{\cancel{3}}\right)\\\3y+6&=-2x+12\\\3y+6{\color{red}-12}&=-2x+12{\color{red}-12}\\\3y-6&=-2x\\\{\color{red}2x}+3y-6&=-2x{\color{red}+2x}\\\2x+3y-6&=0$

La ecuación de la línea es $\boxed{2x+3y-6=0}$ .

Revisión del problema de concepto

¿Puede escribir la ecuación de la línea que pasa a través del punto (–2, –3) y es paralela al gráfico de $y+2x=8$ ? ¿Puede escribir la ecuación de la línea de forma estándar?

Empiece por escribir la ecuación dada en la forma de intersección de la pendiente. Esto le dará por resultado la pendiente de esta línea. La pendiente de la línea paralela es la misma que la pendiente de la línea dada.

$y+2x&=8\\\y+2x{\color{red}-2x}&={\color{red}-2x}+8\\\y&=-2x+8$

La pendiente de la línea dada es –2. La pendiente de la línea paralela también es $\boxed{-2}$ .

$y-y_1&=m(x-x_1)\\\y-{\color{red}-3}&={\color{red}-2}(x-{\color{red}-2})\\\y+3&=-2(x+2)\\\y+3&=-2x{\color{red}-4}\\\y+3&=-2x-4\\\{\color{red}2x}+y+3&=-2x{\color{red}+2x}-4\\\2x+y+3&=-4\\\2x+y+3{\color{red}+4}&=-4{\color{red}+4}\\\2x+y+7&=0$

La ecuación de la línea es $\boxed{2x+y+7=0}$

Vocabulario

Líneas paralelas: Las líneas paralelas son líneas que están en el mismo plano y que tienen la misma pendiente. Las líneas nunca se intersecan y siempre mantienen la misma distancia de separación.

Líneas perpendiculares.: Las líneas perpendiculares son líneas que están en el mismo plano y que se intersecan en ángulos rectos. Las pendientes de líneas perpendiculares son recíprocas opuestas. El producto de las pendientes de dos líneas perpendiculares es –1.

Práctica guiada

Determine si las líneas que pasan a través de los dos pares de puntos son paralelas, perpendiculares o ninguna de las dos.

1. (–2, 8), (3, 7) y (4, 3), (9, 2)

2. (2, 5), (8, 7) y (–3, 1), (–2, –2)

3. (4, 6), (–3, –1) y (6, –3), (4, 5)

4. Escriba la ecuación para la línea que pasa a través del punto (–3, 6) y es perpendicular a la representación de $3x=5y+6$ . Escriba la ecuación de la línea en la forma de intersección de la pendiente.

Respuestas:

1. (–2, 8), (3, 7) y (4, 3), (9, 2)

$& m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} && m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} && \text{Use the formula to calculate the slopes}\\\& m=\frac{7-8}{3--2} && m=\frac{2-3}{9-4} && \text{Calculate the slopes for each pair of points}\\\& m=\frac{7-8}{3+2} && \boxed{m=\frac{-1}{5}}\\\& \boxed{m=\frac{-1}{5}}$

Las pendientes de las líneas son iguales Las líneas son paralelas.

2. (2, 5), (8, 7) y (–3, 1), (–2, –2)

$& m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} && m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} && \text{Use the formula to calculate the slopes}\\\& m=\frac{7-5}{8-2} && m=\frac{-2-1}{-2--3} && \text{Calculate the slopes for each pair of points}\\\& m=\frac{2}{6} && m=\frac{-2-1}{-2+3}\\\& \boxed{m=\frac{1}{3}} && \boxed{m=\frac{-3}{1}}$

Las pendientes de las líneas son recíprocas opuestas. Las líneas son perpendiculares.

3. (4, 6), (–3, –1) y (6, –3), (4, 5)

$& m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} && m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} && \text{Use the formula to calculate the slopes}\\\& m=\frac{-1-6}{-3-4} && m=\frac{5--3}{4-6} && \text{Calculate the slopes for each pair of points}\\\& m=\frac{-7}{-7} && m=\frac{5+3}{4-6}\\\& \boxed{m=1} && m=\frac{8}{-2}\\\& && \boxed{m=-4}$

Las líneas no son paralelas ni perpendiculares.

4. Empiece por escribir la ecuación dada en la forma de intersección de la pendiente. Esto le dará por resultado la pendiente de esta línea. La pendiente de la línea perpendicular es la recíproca opuesta.

$3x&=5y+6\\\5y+6&=3x\\\5y+6{\color{red}-6}&=3x{\color{red}-6}\\\5y&=3x-6\\\\frac{5y}{{\color{red}5}}&=\frac{3x}{{\color{red}5}}-\frac{6}{{\color{red}5}}\\\\frac{\cancel{5}y}{\cancel{5}}&=\frac{3x}{5}-\frac{6}{5}\\\y&=\frac{3}{5}x-\frac{6}{5}$

La pendiente de la línea dada es $\frac{3}{5}$ . La pendiente de la línea perpendicular es $\boxed{-\frac{5}{3}}$ . La ecuación de la línea perpendicular que pasa a través del punto (–3, 6) es:

$y&=mx+b\\\{\color{red}6}&={\color{red}-\frac{5}{3}}({\color{red}-3})+b\\\6&=-\frac{5}{\cancel{3}}\left(\cancel{-} \overset{{\color{red}-1}}{\cancel{3}}\right)+b\\\6&=5+b\\\6{\color{red}-5}&=5{\color{red}-5}+b\\\1&=b$

La intersección con $y$ en (0, 1) y la pendiente de la línea es $\boxed{-\frac{5}{3}}$ . La ecuación de la línea es $\boxed{y=-\frac{5}{3}x+1}$ .

Práctica

Para cada par de ecuaciones dadas, determine si las líneas son paralelas, perpendiculares o ninguna de las dos.

$y=2x-5$ y $y=2x+3$
$y=\frac{1}{3}x+5$ y $y=-3x-5$
$x=8$ y $x=-2$
$y=4x+7$ y $y=-4x-7$
$y=-x-3$ y $y=x+6$
$3y=9x+8$ y $y=3x-4$

Determine la ecuación de la línea que satisface las siguientes condiciones:

pasa a través del punto (5, –6) y paralela a la línea $y=5x+4$
pasa a través del punto (–1, 7) y perpendicular a la línea $y=-4x+5$
contiene el punto (–1, –5) y es paralela a $3x+2y=9$
contiene el punto (0, –6) y es perpendicular a $6x-3y+8=0$
pasa a través del punto (2, 4) y perpendicular a la línea $y=-\frac{1}{2}x+3$
contiene el punto (–1, 5) y es paralela a $x+5y=3$
pasa a través del punto (0, 4) y es perpendicular a la línea $2x-5y+1=0$

Si $D(4, -1), E(-4, 5)$ y $F(3, 6)$ son los vértices de $\Delta DEF$ determine:

la ecuación de la línea que pasa a través de $D$ y es paralela a $EF$ .
la ecuación de la línea que contiene la altitud de $D$ a $EF$ (la línea perpendicular a $EF$ que contiene $D$ ).

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