Aplicaciones de las funciones lineales

Aquí aprenderá cómo utilizar lo que sabe acerca de las ecuaciones y las representaciones de líneas para resolver problemas de la vida real.

El almacén de Joe tiene instalaciones para banquetes en las que se puede acomodar a un máximo de 250 personas. Cuando la gerente presupuesta un precio para un banquete, incluye el costo del alquiler del salón más el costo de la comida. El costo de un banquete para 70 personas es $1300. Para 120 personas, el costo es $2200.

(a) Trace un gráfico del costo versus la cantidad de personas.

(b) A partir del gráfico, haga una estimación del costo del banquete para 150 personas.

(d) Escriba una ecuación para modelar esta situación de la vida real.

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Khan Academy Basic Linear Function (Función lineal básica) *Este video solo está disponible en inglés

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Guía

Las relaciones lineales se suelen utilizar para modelar situaciones de la vida real. Para poder crear una ecuación y un gráfico que modelen una situación de la vida real, necesita al menos dos valores de datos que se relacionen con esta situación de la vida real. Cuando los valores de datos se representan de forma gráfica y se determina la ecuación de la línea, se pueden presentar y responder preguntas de la situación de la vida real.

Cuando se utilizan ecuaciones y gráficos para modelar situaciones de la vida real, el dominio de la representación a veces es $x \epsilon N$ . Sin embargo, suele ser más conveniente bosquejar el gráfico como si $x \epsilon R$ en lugar de mostrar la función como una serie de puntos en un plano.

Ejemplo A

Una compañía de taxis cobra $2.00 por las primeras 0.6 millas y $0.50 por cada 0.2 millas adicionales.

(a) Trace el gráfico del costo versus la distancia.

(b) Determine las ecuaciones que modelan esta situación.

Solución: Este ejemplo demuestra una situación de la vida real que no puede modelarse con una sola ecuación.

(a) En el eje $x$ se representa la distancia en millas y en el eje $y$ está el costo en dólares. La primer línea desde $A$ a $B$ se extiende de forma horizontal a lo largo de la distancia desde 0 a 0.6 millas. El costo es constante a $2.00. La ecuación para esta función constante es $y=2.00$ o $c=2.00$ . La segunda línea desde $B$ a $C$ y hacia arriba no es constante.

(b) La ecuación que modela la segunda representación puede determinarse utilizando los puntos de datos (0.6, 2.00) y (1, 3.00)

$m &= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} && \text{Use the data points to calculate the slope.}\\\m &= \frac{3.00-2.00}{1-0.6}\\\m &= \frac{3.00-2.00}{1-0.6}\\\m &= \frac{1.00}{0.4}\\\m &= 2.5\\\\\\y-y_1 &= m(x-x_1) && \text{Use the slope and one point to determine the equation.}\\\y- {\color{red}2} &= {\color{red}2.5} (x- {\color{red}0.6})\\\y-2 &= 2.5x-1.5\\\y-2 {\color{red}+2} &= 2.5x-1.5 {\color{red}+2}\\\y &= 2.5x+0.5\\\c &= 2.5d+0.5$

Por lo tanto, las ecuaciones que modelan esta situación son:

$c=\begin{Bmatrix}2.00 & 0<d \le 0.6 \\\2.5d+0.5 & d>0.6\end{Bmatrix}$

La distancia es mayor a 0.6 millas. El costo debe calcularse utilizando la ecuación $c=2.5d+0.5$ . Reemplace 16 en ‘ $d$ ’.

$& c = 2.5d+0.5\\\& c = 2.5 ({\color{red}16})+0.5\\\& c = 40+0.5\\\&\boxed{c = \$ 40.50}$

Ejemplo B

Cuando se suspendió una masa de 40 gramos de un resorte en espiral, el largo del resorte fue de 24 pulgadas. Cuando se suspendió una masa de 80 gramos del mismo resorte en espiral, el largo del resorte fue de 36 pulgadas.

(a) Bosqueje un gráfico de la longitud versus la masa.

(b) A partir del gráfico, estime el largo del resorte para una masa de 70 gramos.

(d) Utilice la ecuación para determinar el largo del resorte para una masa de 60 gramos.

(e) ¿Cuál es la intersección con $y$ ? ¿Qué representa la intersección con $y$ ?

Solución:

(a) En el eje $x$ se representa la masa en gramos y en el eje $y$ se representa la longitud del resorte en pulgadas.

(b) El largo del resorte en espiral ante una masa de 70 gramos es aproximadamente 33 pulgadas.

$m &= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\\m &= \frac{36-24}{80-40}\\\m &= \frac{12}{40}\\\\m &= \frac{3}{10}\\\\\\y &= mx+b\\\{\color{red}24} &= {\color{red}\frac{3}{10}}({\color{red}40})+b\\\24 &= \frac{3}{\cancel{10}} \left(\overset{{\color{red}4}}{\cancel{40}}\right)+b\\\24 &= 12+b\\\24 {\color{red}-12} &= 12 {\color{red}-12}+b\\\12 &= b$

La intersección con $y$ es (0, 12). La ecuación que modela esta situación es:

$y=\frac{3}{10}x+12$

$\boxed{l=\frac{3}{10} m+12}$

donde “ $l$ ” es el largo del resorte en pulgadas y “ $m$ ” es la masa en gramos.

(d) $& l = \frac{3}{10}m+12 && \text{Use the equation and substitute} \ 60 \ \text{in for} \ m.\\\& l = \frac{3}{10}({\color{red}60})+12\\\& l = \frac{3}{\cancel{10}} \left(\overset{{\color{red}6}}{\cancel{60}}\right)+12\\\& l = 18+12\\\& \boxed{l = 30 \ inches}$

(e) La intersección con $y$ es (0, 12). La intersección con $y$ representa el largo del resorte en espiral antes de que se suspendiera una masa de él. El largo del resorte en espiral era 12 pulgadas.

Ejemplo C

Juan condujo desde la casa de su madre hasta la de su hermana. Luego de conducir durante 20 minutos, estaba a 62 millas de la casa de su hermana y luego de conducir durante 32 minutos, solo estaba a 38 millas. El tiempo durante el cual condujo y la distancia a la que estaba de la casa de su hermana forman una relación lineal.

(a) ¿Cuál es la variable independiente? ¿Cuál es la variable dependiente?

(b) ¿Cuáles son los dos valores de datos?

(d) Escriba una ecuación que exprese la distancia en términos del tiempo de conducción..

(e) ¿Cuál es la pendiente y cuál es su significado en este problema?

(f) ¿Cuál es el la intersección con el tiempo y qué representa?

(g) ¿Cuál es la intersección con la distancia y qué representa?

(h) ¿Qué tan lejos está Juan de la casa de su hermana después de conducir durante 35 minutos?

Solución:

(a) La variable independiente es el tiempo de conducción. La variable dependiente es la distancia.

(b) Los dos valores de datos son (20, 62) y (32, 38).

(a) En el eje $x$ se representa el tiempo en minutos y en el eje $y$ se representa la distancia en millas.

(d) (20, 62) y (32, 38) son las coordenadas que se utilizarán para calcular la pendiente de la línea.

$m &= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\\m &= \frac{38-62}{32-20}\\\m &= \frac{-24}{12}\\\m &= -2\\\\\\y &= mx+b\\\{\color{red}62} &= {\color{red}-2} ({\color{red}20})+b\\\62 &= -40+b\\\62 {\color{red}+40} &= -40 {\color{red}+40}+b\\\102 &= b \qquad \text{The} \ y \text{-intercept is} \ (0, 102)$

$y &= mx+b\\\y &= -2x+102\\\d &= -2t+102$

(e) La pendiente es $-2=\frac{-2}{1}=\frac{-2(miles)}{1(minute)}$ . La pendiente significa que por cada minuto que Juan conduce, la distancia hasta la casa de su hermana se reduce en 2 millas.

(f) La intersección con el tiempo es realmente la intersección con $x$ . Este valor es:

$d &= -2t+102 && \text{Set} \ d=0 \ \text{and solve for} \ t.\\\{\color{red}0} &= -2t+102\\\0 {\color{red}+2t} &= -2t {\color{red}+2t}+102\\\2t &= 102\\\\frac{2t}{{\color{red}2}} &= \frac{102}{{\color{red}2}}\\\\frac{\cancel{2}t}{\cancel{2}} &= \frac{102}{2}\\\t &= 51 \ minutes$

La intersección con el tiempo es 51 minutos y representa el tiempo que le tomó a Juan conducir desde la casa de su madre hasta la casa de su hermana.

(g) La intersección con la distancia es la intersección con $y$ . Este valor se calculó como (0, 102). La intersección con la distancia representa la distancia entre la casa de su madre y la casa de su hermana. La distancia es 102 millas.

(h) $d &= -2t+102 && \text{Substitute} \ 35 \ \text{into the equation for} \ t \ \text{and solve for} \ d.\\\d &= -2 ({\color{red}35})+102\\\d &= -70+102\\\d &= 32 \ miles$

Luego de conducir durante 35 minutos, Juan está a 32 millas de la casa de su hermana.

Revisión del problema de concepto

(a) Trace un gráfico del costo versus la cantidad de personas.

(b) A partir del gráfico, haga una estimación del costo del banquete para 150 personas.

(d) Escriba una ecuación para modelar esta situación de la vida real.

Solución:

(a) En el eje $x$ se representa la cantidad de personas y en el eje $y$ se representa el costo del banquete.

(b) El costo aproximado de un banquete de 150 personas es $2700.

$m &= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\\m &= \frac{2200-1300}{120-70}\\\m &= \frac{900}{50}\\\m &= \frac{18}{1}$

La pendiente representa el costo de un banquete para cada persona. El costo es $18 por persona.

Cuando se utiliza una función lineal para modelar una situación de la vida real, la ecuación se puede escribir en la forma o en la forma $y=mx+b$ o en la forma $Ax+By+C=0$ .

(d) $y &= mx+b\\\{\color{red}1300} &= {\color{red}18}({\color{red}70})+b\\\1300 &= 1260+b\\\1300 {\color{red}-1260} &= 1260 {\color{red}-1260}+b\\\40 &=b$

La intersección con $y$ es (0, 40)

La ecuación para modelar la situación de la vida real es $y=18x+40$ . Se deberían cambiar las variables para que coincidan con las etiquetas de los ejes. La ecuación que mejor modela esta situación es $c=18n+40$ donde “ $c$ ” representa el costo y “ $n$ ” representa la cantidad de personas.

Vocabulario

Pendiente - Forma de intersección: La forma de intersección de la pendiente es un método para escribir la ecuación de una línea. La forma de intersección de la pendiente es $y = mx + b$ donde $m$ es la pendiente y $b$ identifica la intersección con $y$ .

Forma estándar: La forma estándar es otro método para escribir la ecuación de una línea. La forma estándar es $Ax + By + C = 0$ donde $A$ es el coeficiente de $x$ , $B$ es el coeficiente de $y$ y $C$ es una constante.

Práctica guiada

1. Algunos estudiantes universitarios, que planean convertirse en profesores de matemáticas, decidieron establecer un servicio de tutorías en matemáticas para estudiantes de la escuela secundaria. A un estudiante se le cobró $25 por 3 horas de tutoría. A otro estudiante se le cobró $55 por 7 horas de tutoría. La relación entre el costo y el tiempo es lineal.

(a) ¿Cuál es la variable independiente?

(b) ¿Cuál es la variable dependiente?

(a) Trace un gráfico del costo versus el tiempo.

(e) Determine una ecuación para modelar la situación.

(f) ¿Cuál es la importancia de la pendiente?

(g) ¿Cuál es la intersección con el costo? ¿Qué representa la intersección con el costo?

2. Un desarrollador de Glace Bay ha producido una nueva computadora portátil llamada Blueberry . Vendió 10 computadoras en un lugar por $1950 y 15 en otro por $2850. La cantidad de computadoras y el costo forman una relación lineal.

(a) Establezca las variables dependientes e independientes.

(b) Bosqueje un gráfico.

(d) Determine la pendiente de la línea y diga qué significa en esta situación.

(e) Establezca la intersección con el costo y diga qué significa en este problema.

(f) Si utiliza su ecuación, calcule la cantidad de computadoras que podría adquirir por $6000.

3. Handy Andy vende latas de solvente para pintura de un cuarto a $7.65 y latas de dos cuartos a $13.95. Asuma que hay una relación lineal entre el volumen del solvente para pintura y el precio.

(a) ¿Cuál es la variable independiente?

(b) ¿Cuál es la variable dependiente?

(d) Trace un gráfico que represente esta relación.

(e) ¿Cuál es la pendiente de la línea?

(f) ¿Qué representa la pendiente en este problema?

(g) Escriba una ecuación para modelar este problema.

(h) ¿Cuál es la intersección con el costo?

(i) ¿Qué representa la intersección con el costo en este problema?

(j) ¿Cuánto debería pagar por 6 cuartos de solvente para pinturas?

Respuestas:

1. (a) El costo de las tutorías depende de la cantidad de tiempo. La variable independiente es el tiempo.

(b) La variable dependiente es el costo.

(d) En el eje $x$ se representa el tiempo en horas y en el eje $y$ se representa el costo en dólares.

(e) Utilice los dos valores de datos (3, 25) y (7, 55) para calcular la pendiente de la línea. $m = \frac{15}{2}$ . Determine la intersección con $y$ de la representación.

$y&=mx+b\\\{\color{red}25}&= {\color{red}\frac{15}{2}}( {\color{red}3})+b && \text{Use the slope and one of the data values to determine the value of} \ b.\\\25 &= \frac{45}{2}+b\\\25 {\color{red}-\frac{45}{2}} &= \frac{45}{2} {\color{red}-\frac{45}{2}}+b\\\{\color{red}\frac{50}{2}}-\frac{45}{2} &= b\\\\frac{5}{2} &= b$

La ecuación para modelar la relación es $y=\frac{15}{2}x+\frac{5}{2}$ . Para que coincidan las variables de la ecuación con la representación, la ecuación es $\boxed{c=\frac{15}{2}t+\frac{5}{2}}$ . La relación es costo en dólares versus el tiempo en horas. La ecuación también se puede escribir como $\boxed{c=7.50t+2.50}$ .

(f) La pendiente de $\frac{15}{2}$ significa que $15.00 es el costo por 2 horas de tutoría. Si la pendiente se expresa como decimal, significa que cuesta $7.50 por 1 hora de tutoría.

(g) La intersección con el costo es la intersección con $y$ . La intersección con $y$ es (0, 2.50). Este valor podría representar el costo de haber programado un tiempo o el costo que se debe pagar para cancelar la tutoría. En un problema como este, la intersección con $y$ debe representar una cantidad significativa del problema.

2. (a) La cantidad de dólares en las ventas de las computadoras depende de la cantidad de computadoras vendidas. La variable dependiente es los dólares de ventas y la variable independiente es la cantidad de computadoras vendidas.

(b) En el eje $x$ se representa la cantidad de computadoras y en el eje $y$ se representa el valor de venta de las computadoras.

(c) Utilice los valores de datos (10, 1950) y (15, 2850) para calcular la pendiente de la línea. $m=180$ . Luego determine la intersección del gráfico con $y$ .

$y &= mx+b\\\1950 &= 180(10)+b\\\1950 &= 1800+b\\\1950-1800 &= 1800-1800+b\\\150 &= b$

La ecuación de la línea que modela la relación es $\boxed{y=180x+150}$ . Para que la ecuación coincida con las variables de la representación, la ecuación debe ser $\boxed{c=180n+150}$ .

(d) La pendiente es $\frac{180}{1}$ . Esto significa que el costo de una computadora es $180.00.

(e) La intersección con el costo es la intersección con $y$ . La intersección con $y$ es (0, 150). Esto puede representar el costo de alquilar un lugar donde se realizan las ventas o quizás el sueldo de la persona que realiza la ventas.

(f)

$c &= 180n+150\\\6000 &= 180n+150\\\6000-150 &= 180n+150-150\\\5850 &= 180n\\\\frac{5850}{180} &= \frac{180n}{180}\\\\frac{5850}{180} &= \frac{\cancel{180} n}{\cancel{180}}\\\32.5 &= n$

Con $6000 podría adquirir 32 computadoras..

3. (a) La variable independiente es el volumen de solvente para pinturas.

(b) La variable dependiente es el costo del solvente para pinturas.

(d) En el eje $x$ se representa el volumen en cuartos y en el eje $y$ se representa el costo en dólares.

(e) Utilice los dos valores de datos (1, 7.65) y (2, 13.95) para calcular la pendiente de la línea. La pendiente es $m=6.30$ .

(f) La pendiente representa el costo de un cuarto de solvente para pinturas. El costo es $6.30.

(g)

$y &= mx+b\\\7.65 &= 6.30(1)+b\\\7.65 &= 6.30+b\\\7.65-6.30 &= 6.30-6.30+b\\\1.35 &= b$

La ecuación para modelar la relación es $y=6.30x+1.35$ . La ecuación que coincide con las variables del gráfico es $\boxed{c=6.30v+1.35}$ .

(h) La intersección con el costo es (0, 1.35).

(i) Esto podría representar el costo de la lata que contiene el solvente para pinturas.

(j)

$c &= 6.30v+1.35\\\c &= 6.30(6)+1.35\\\c &= 37.80+1.35\\\c &= \$39.15$

El costo de 6 cuartos de solvente para pinturas es $39.15.

Práctica

Los jugadores del equipo de fútbol de la escuela están vendiendo velas para recaudar dinero para un viaje próximo. Cada jugador tiene 24 velas para vender. Si un jugador vende 4 velas, se obtiene una ganancia de $30. Si vende 12 velas, se obtiene una ganancia de $70. La ganancia y la cantidad de velas vendidas forman una relación lineal.

Establezca las variables dependientes e independientes.
¿Cuáles son los dos valores de datos para esta relación?
Dibuje un gráfico y rotule el eje.
Determine una ecuación para modelar esta situación.
¿Cuál es la pendiente y qué significa en este problema?
Encuentre la intersección con la ganancia y explique qué representa.
Calcule la ganancia máxima que un jugador puede lograr.
Escriba un dominio y rango apropiados.
Si un jugador obtiene una ganancia de $90, ¿cuántas velas vendió?
¿Estos datos son continuos, discretos o ninguna de las dos opciones? Justifique su respuesta.

Jacob deja su casa de verano y conduce a casa. Luego de conducir durante 5 horas, está a 112 km de su casa y luego de conducir durante 7 horas, está a 15 km de su casa. Asuma que la distancia a su casa y la cantidad de horas que conduce forman una relación lineal.

Establezca las variables dependientes e independientes.
¿Cuáles son los dos valores de datos para esta relación?
Represente esta relación lineal de forma gráfica.
Determine la ecuación para modelar esta situación.
¿Cuál es la pendiente y qué significa?
Encuentre la intersección con la distancia y su significado en la vida real en este problema.
¿Cuánto tiempo le llevó a Jacob conducir desde su cabaña de verano hasta su casa?
Escriba un dominio y rango apropiados.
¿A qué distancia estaba Jacob de su casa después de conducir 4 horas?
¿Durante cuánto tiempo había conducido Jacob cuando estaba a 209 km de su casa?

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