Soluciones gráficas a sistemas de ecuaciones

Aquí aprenderá a resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante gráficos.

Cuando grafica dos funciones lineales en el mismo plano cartesiano, las líneas resultantes pueden intersecarse. ¿Se intersecan las siguientes líneas? Si es así, ¿dónde?

$& \begin{Bmatrix}2x+y = 5 \\\x-y = 1\end{Bmatrix}$

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Khan Academy Solving Systems by Graphing 3 (Sistemas de solución mediante gráficos 3) *Este video solo está disponible en inglés

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Guía

Un sistema de ecuaciones lineales $2 \times 2$ consiste en dos ecuaciones con dos variables, como el que se encuentra a continuación:

$& \begin{Bmatrix}2x+y = 5 \\\x-y = 1\end{Bmatrix}$

Cuando se grafica, un sistema de ecuaciones lineales consta de dos líneas. Para resolver un sistema de ecuaciones lineales, calcule si las dos líneas se intersecan, y de ser así, en qué punto. Una forma de resolver un sistema de ecuaciones es mediante gráficos. Grafique ambas líneas y mire el punto en el que se intersecan.

Tenga en cuenta que, aunque usualmente al graficar dos líneas éstas se intersecan en un solo punto, hay otras dos posibilidades:

Es posible que las líneas nunca se intersequen (son líneas paralelas)
Las líneas pueden coincidir (ser exactamente la misma línea)

Un sistema que resulta en un punto de intersección es consistente e independiente . Un sistema que resulta en líneas que coinciden es consistente y dependiente . Un sistema que resulta en dos líneas paralelas es inconsistente .

Ejemplo A

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales de forma gráfica:

$\begin{Bmatrix}x-2y -2= 0 \\\3x+4y = 16\end{Bmatrix}$

Solución: Empiece por escribir cada ecuación lineal en la forma de intersección de la pendiente.

$& x-2y-2 = 0\\\& x {\color{red}-x}-2y-2 = 0 {\color{red}-x}\\\& -2y-2 = -x\\\& -2y-2 {\color{red}+2} = -x {\color{red}+2}\\\& -2y = -x+2\\\& \frac{-2y}{{\color{red}-2}} = \frac{-x}{{\color{red}-2}}+\frac{2}{{\color{red}-2}}\\\& \boxed{y = \frac{1}{2}x-1} \qquad \text{Equation One}$

$& 3x+4y = 16\\\& 3x {\color{red}-3x}+4y = 16 {\color{red}-3x}\\\& 4y = 16-3x\\\& \frac{4y}{{\color{red}4}} = \frac{16}{{\color{red}4}}-\frac{3x}{{\color{red}4}}\\\& y = 4-\frac{3}{4}x\\\& \boxed{y = -\frac{3}{4}x+4} \qquad \text{Equation Two}$

Grafique ambas ecuaciones en el mismo plano cartesiano.

Las líneas se intersecan en el punto (4, 1). La solución es un par ordenado que debería satisfacer ambas ecuaciones en el sistema.

Pruebe (4, 1) en la primer ecuación:

$x-2y-2 &= 0 && \text{Use the original equation}\\\({\color{red}4})-2({\color{red}1})-2 &= 0 && \text{Replace} \ x \ \text{with} \ 4 \ \text{and replace} \ y \ \text{with} \ 1.\\\4-2-2 &= 0 && \text{Perform the indicated operations and simplify the result.}\\\4-{\color{red}4} &= 0\\\{\color{red}0} &= 0 && \text{Both sides of the equation are equal. The ordered pair} \ (4, 1) \ \text{satisfies the equation.}$

Pruebe (4, 1) en la segunda ecuación:

$3x+4y &= 16 && \text{Use the original equation}\\\3({\color{red}4})+4({\color{red}1}) &= 16 && \text{Replace} \ x \ \text{with} \ 4 \ \text{and replace} \ y \ \text{with} \ 1.\\\12+4 &= 16 && \text{Perform the indicated operations and simplify the result.}\\\{\color{red}16} &= 16 && \text{Both sides of the equation are equal. The ordered pair} \ (4, 1) \ \text{satisfies the equation.}$

Este sistema de ecuaciones tiene una solución y, por lo tanto, se llama sistema consistente. Debido a que solo tiene un par ordenado como solución, se llama sistema independiente.

Ejemplo B

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales de forma gráfica:

$\begin{Bmatrix}2y-3x = 6 \\\4y-6x = 12\end{Bmatrix}$

Solución: Grafique ambas ecuaciones en el mismo plano cartesiano utilizando el método de intersección. Si $x = 0$ . Halle $y$

$& 2y-3x = 6\\\& 2y-3 ({\color{red}0}) = 6 \quad \text{Replace} \ x \ \text{with zero.}\\\& 2y = 6 \qquad \qquad \text{Simplify}\\\& \frac{2y}{{\color{red}2}} = \frac{6}{{\color{red}2}} \qquad \quad \ \ \text{Solve for} \ y.\\\& \boxed{y = 3} \qquad \qquad \text{The} \ y \text{-intercept is} \ (0, 3)$

Si $y = 0$ . Halle $x$ .

$& 2y-3x = 6\\\& 2({\color{red}0})-3x = 6 \qquad \text{Replace} \ y \ \text{with zero.}\\\& -3x = 6 \qquad \quad \ \ \text{Simplify}\\\& \frac{-3x}{{\color{red}-3}} = \frac{6}{{\color{red}-3}} \qquad \ \ \ \text{Solve for} \ y.\\\& \boxed{x = -2} \qquad \qquad \text{The} \ x \text{-intercept is} \ (-2, 0)$

$& 4y-6x = 12\\\& 4y-6 ({\color{red}0}) = 12 \qquad \text{Replace} \ x \ \text{with zero.}\\\& 4y = 12 \qquad \qquad \quad \text{Simplify}\\\& \frac{4y}{{\color{red}4}} = \frac{12}{{\color{red}4}} \qquad \qquad \ \ \text{Solve for} \ y.\\\& \boxed{y = 3} \qquad \qquad \quad \ \text{The} \ y \text{-intercept is} \ (0, 3)$

Si $y = 0$ . Halle $x$ .

$& 4y-6x = 12\\\& 4 ({\color{red}0})-6x = 12 \qquad \text{Replace} \ y \ \text{with zero.}\\\& -6x = 12 \qquad \quad \ \ \text{Simplify}\\\& \frac{-6x}{{\color{red}-6}} = \frac{12}{{\color{red}-6}} \qquad \quad \ \text{Solve for} \ y.\\\& \boxed{x = -2} \qquad \qquad \ \text{The} \ x \text{-intercept is} \ (-2, 0)$

Cuando las intersecciones en $x$ e $y$ se calcularon para cada ecuación, eran las mismas para ambas líneas. El gráfico resultó en la misma línea graficada dos veces. La línea azul es más larga para mostrar que la misma línea se graficó directamente sobre la línea roja. El sistema tiene soluciones, por lo que también se lo conoce como sistema consistente. Sin embargo, el sistema no tiene una solución; tiene un número infinito de soluciones. Este tipo de sistema consistente se llama sistema dependiente. Todos los pares ordenados que se encuentran en la línea satisfarán ambas ecuaciones. Si observa las dos ecuaciones dadas $\begin{Bmatrix}2y-3x = 6 \\\4y-6x = 12\end{Bmatrix}$ , la segunda ecuación simplemente es un múltiplo de la primera.

Ejemplo C

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales de forma gráfica:

$\begin{Bmatrix}3x+4y=12 \\\6x+8y=-8\end{Bmatrix}$

Solución: Grafique ambas ecuaciones en el mismo plano cartesiano utilizando el método de intersección de la pendiente. Empiece por escribir cada ecuación lineal en la forma de intersección de la pendiente.

$& 3x+4y = 12\\\& 3x {\color{red}-3x}+4y = 12 {\color{red}-3x}\\\& 4y = 12 {\color{red}-3x}\\\& \frac{4y}{{\color{red}4}} = \frac{12}{{\color{red}4}}-\frac{3x}{{\color{red}4}}\\\& y = 3-\frac{3}{4}x\\\& \boxed{y = -\frac{3}{4}x+3}$

$& 6x+8y = -8\\\& 6x {\color{red}-6x}+8y = -8 {\color{red}-6x}\\\& 8y = -8 {\color{red}-6x}\\\& \frac{8y}{{\color{red}8}} = \frac{-8}{{\color{red}8}}-\frac{6x}{{\color{red}8}}\\\& y = -1-\frac{6}{{\color{red}8}}x\\\& \boxed{y = -\frac{6}{8}x-1}$

Las líneas no se intersecan. Esto significa que el sistema de ecuaciones no tiene solución. Las líneas son paralelas y nunca se intersecarán. Si observamos las ecuaciones que se escribieron en la forma de intersección de la pendiente $y=-\frac{3}{4}x+3$ e $y=-\frac{6}{8}x-1$ , las pendientes son iguales $\left(-\frac{6}{8}=-\frac{3}{4}\right)$ . Un sistema de ecuaciones lineales que no tiene solución se llama sistema inconsistente.

Ejemplo D

Antes de las calculadoras gráficas, los gráficos no se consideraban la mejor forma de determinar la solución de un sistema de ecuaciones lineales, en especial si las soluciones no eran números enteros. Sin embargo, la tecnología cambió esta perspectiva. En este ejemplo, se utilizará una calculadora gráfica para determinar la solución de $\begin{Bmatrix}x+4y=-14 \\\2x-y=4\end{Bmatrix}$ .

Solución: Para utilizar una calculadora gráfica, las ecuaciones deben estar escritas en la forma de intersección de la pendiente:

$& x+4y = -14\\\& x {\color{red}-x}+4y = {\color{red}-x}-14\\\& 4y = {\color{red}-x}-14\\\& \frac{4y}{{\color{red}4}} = -\frac{x}{{\color{red}4}}-\frac{14}{{\color{red}4}}\\\& y = -\frac{1}{4}x-\frac{14}{4}\\\& \boxed{y = -\frac{1}{4}x-\frac{7}{2}}$

$& 2x-y = 4\\\& 2x {\color{red}-2x}-y = {\color{red}-2x}+4\\\& -y = -2x+4\\\& \frac{-y}{{\color{red}-1}} = \frac{-2x}{{\color{red}-1}}+\frac{4}{{\color{red}-1}}\\\& \boxed{y = 2x-4}$

Ambas ecuaciones están en la forma de intersección de la pendiente. Establezca la ventana de la calculadora de la siguiente forma:

El punto de intersección de las ecuaciones lineales es (0.22 –3.56). A continuación se representan las teclas que se presionaron en la calculadora para obtener los resultados anteriores:

Revisión del problema de concepto

Las siguientes ecuaciones lineales se graficarán utilizando el método de intersección de la pendiente.

$& \begin{Bmatrix}2x+y = 5 \\\x-y = 1\end{Bmatrix}\\& 2x+y = 5\\& 2x {\color{red}-2x}+y = 5 {\color{red}-2x}\\& y = 5 {\color{red}-2x}\\& \boxed{y = -2x+5}\\& x-y = 1\\& x {\color{red}-x}-y = 1 {\color{red}-x}\\& -y = 1-x\\& \frac{-y}{{\color{red}-1}} = \frac{1}{{\color{red}-1}}-\frac{x}{{\color{red}-1}}\\& y = -1+x\\& \boxed{y = x-1}$

Las dos líneas se intersecan en un punto. Las coordenadas del punto de intersección son (2, 1).

Vocabulario

Sistema consistente de ecuaciones lineales: Un sistema consistente de ecuaciones lineales es un sistema de ecuaciones lineales que tiene una solución. La solución puede ser una solución o un número infinito de soluciones.

Sistema dependiente de ecuaciones lineales: Un sistema dependiente de ecuaciones lineales es un sistema de ecuaciones lineales que tiene un número infinito de soluciones. Las ecuaciones son múltiplos y el gráfico de cada ecuación es el mismo. Por lo tanto, el número infinito de pares ordenados satisface ambas ecuaciones.

Sistemas equivalentes de ecuaciones lineales: Los sistemas equivalentes de ecuaciones lineales son sistemas de ecuaciones lineales que tienen el mismo conjunto solución.

Sistema inconsistente de ecuaciones lineales: Un sistema inconsistente de ecuaciones lineales es un sistema de ecuaciones lineales que no tiene solución. Los gráficos de un sistema inconsistente de ecuaciones lineales son líneas paralelas. Las líneas nunca se intersecan, por lo que no hay un punto de intersección común.

Sistema independiente de ecuaciones lineales: Un sistema independiente de ecuaciones lineales es un sistema de ecuaciones lineales que tiene una solución. Solo hay un par ordenado que satisface ambas ecuaciones.

Sistema de ecuaciones lineales: Un sistema de ecuaciones lineales es más que una ecuación lineal. Dos ecuaciones con dos incógnitas se llama $2 \times 2$ sistema de ecuaciones lineales.

Práctica Guiada

1. Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales mediante gráficos: $\begin{Bmatrix}-3x+4y=20 \\\x-2y=-8\end{Bmatrix}$

El sistema ¿es consistente y dependiente, consistente e independiente o inconsistente?

Para el N.° 2 y el N.° 3, utilice tecnología para determinar si el sistema es consistente e independiente, consistente y dependiente o inconsistente.

2. $\begin{Bmatrix}3x-2y=8 \\\6x-4y=20\end{Bmatrix}$

3. $\begin{Bmatrix}x+3y=4 \\\5x-y=4\end{Bmatrix}$

Respuestas:

1. $\begin{Bmatrix}-3x+4y=20 \\\x-2y=-8\end{Bmatrix}$ Empiece por escribir las ecuaciones en la forma de intersección de la pendiente.

$& -3x+4y = 20\\\& -3x {\color{red}+3x}+4y = 20 {\color{red}+3x}\\\& 4y = 20+3x\\\& \frac{4y}{{\color{red}4}} = \frac{20}{{\color{red}4}}+\frac{3x}{{\color{red}4}}\\\& y = {\color{red}5}+\frac{3}{4}x\\\& \boxed{y = \frac{3}{4}x+5}$

$& x-2y = -8\\\& x {\color{red}-x}-2y = -8 {\color{red}-x}\\\& -2y = -8-x\\\& \frac{-2y}{{\color{red}-2}} = \frac{-8}{{\color{red}-2}}-\frac{x}{{\color{red}-2}}\\\& y = {\color{red}4}+\frac{1}{2}x\\\& \boxed{y = \frac{1}{2}x+4}$

Las líneas se intersecan en el punto (-4, 2). Este par ordenado es la solución del sistema de ecuaciones lineales. El sistema es consistente e independiente. .

$\begin{Bmatrix}3x-2y=8 \\\6x-4y=20\end{Bmatrix}$

$& 3x-2y = 8 && 6x-4y=20\\\& 3x-3x-2y = -3x+8 && 6x-6x-4y=-6x+20\\\& -2y=-3x+8 && -4y=-6x+20\\\& \frac{-2y}{-2} = \frac{-3x}{-2}+\frac{8}{-2} && \frac{-4y}{-4}=\frac{-6x}{-4}+\frac{20}{-4}\\\& \boxed{y = \frac{3}{2}x-4} \quad \text{Slope-intercept form} && \boxed{y = \frac{6}{4}x-5}$

Las líneas son paralelas. Las líneas nunca se intersecarán, por lo que no hay una solución. El sistema es inconsistente.

$& \begin{Bmatrix}x+3y=4 \\\5x-y=4\end{Bmatrix}$

$& x+3y = 4 && 5x-y=4\\\& x-x+3y = -x+4 && 5x-5x-y=-5x+4\\\& 3y=-x+4 && -y=-5x+4\\\& \frac{3y}{3} = \frac{-x}{3}+\frac{4}{3} && \frac{-y}{-1}=\frac{-5x}{-1}+\frac{4}{-1}\\\& \boxed{y = \frac{-1}{3}x+\frac{4}{3}} && \boxed{y=5x-4}$

Hay un punto de intersección (1, 1). El sistema es consistente e independiente.

Práctica

Sin graficar, determine si el sistema es consistente e independiente, consistente y dependiente o inconsistente.

$\begin{Bmatrix}2x+3y=6 \\\6x+9y=18\end{Bmatrix}$

$\begin{Bmatrix}2x-y=-14 \\\12x-6y=-11\end{Bmatrix}$

$\begin{Bmatrix}3x+2y=14 \\\5x-y=6\end{Bmatrix}$

$\begin{Bmatrix}2x+3y=-12 \\\3x-y=3\end{Bmatrix}$

$\begin{Bmatrix}20x+15y=-30 \\\4x+3y=18\end{Bmatrix}$

Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones lineales mediante gráficos.

$\begin{Bmatrix}x+2y=8 \\\3x+6y=24\end{Bmatrix}$

$\begin{Bmatrix}4x+2y=-2 \\\2x-3y=9\end{Bmatrix}$

$\begin{Bmatrix}3x+5y=11 \\\4x-2y=-20\end{Bmatrix}$

$\begin{Bmatrix}2x+y=5 \\\6x=15-3y\end{Bmatrix}$

$\begin{Bmatrix}2x-y=2 \\\4x-3y=-2\end{Bmatrix}$

$\begin{Bmatrix}2x-3y=15 \\\4x+y=2\end{Bmatrix}$

$\begin{Bmatrix}2x+3y=-6 \\\9y+6x+18=0\end{Bmatrix}$

$\begin{Bmatrix}6x+12y=-24 \\\5x+10y=30\end{Bmatrix}$

$\begin{Bmatrix}x-3y=7 \\\2x+5y=-19\end{Bmatrix}$

$\begin{Bmatrix}x+3y=9 \\\x-y=-3\end{Bmatrix}$

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