Método de sustitución para sistemas de ecuaciones

Aquí aprenderá a resolver sistemas de ecuaciones lineales de forma algebraica utilizando el método de sustitución.

Cuando resuelve un sistema de ecuaciones consistentes e independientes mediante gráficos, la solución es un único par ordenado. El par ordenado satisface ambas ecuaciones y el punto es la intersección de los gráficos de las ecuaciones lineales. Las coordenadas de este punto de intersección no siempre son números enteros. ¿Cómo puede, de forma algebraica, resolver un sistema de ecuaciones como el que está a continuación?

$\begin{Bmatrix}2x+3y=13 \\\y=4x-5\end{Bmatrix}$

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Khan Academy Slightly More Complicated Equations (Ecuaciones ligeramente más complejas) *Este video solo está disponible en inglés

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Guía

Un $2 \times 2$ sistema de ecuaciones lineales puede resolverse de forma algebraica mediante el método de sustitución. Para utilizar este método, siga estos pasos:

Resuelva una de las ecuaciones para una de las variables
Sustituya esa expresión en la ecuación restante. El resultado será una ecuación lineal, con una variable, que puede resolverse.
Resuelva la ecuación restante.
Sustituya la solución en la otra ecuación para determinar el valor de la otra variable.
La solución al sistema es el punto de intersección de las dos ecuaciones y representa las coordenadas del par ordenado.

Ejemplo A

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales mediante sustitución:

$\begin{Bmatrix}3x+y=1 \\\2x+5y=18\end{Bmatrix}$

Solución: Para comenzar, resuelva una de las ecuaciones en términos de una de las variables. Este paso se simplifica si una de las ecuaciones tiene una variable con un coeficiente de +1 o -1. En el sistema anterior, la primera ecuación tiene “ $y$ ” con un coeficiente de 1.

$& 3x+y = 1\\\& 3x {\color{red}-3x}+y = 1 {\color{red}-3x}\\\& \boxed{y = 1-3x}$

Sustituya $(1-3x)$ en la segunda ecuación por “ $y$ ”.

$2x+5y &= 18\\\2x+5({\color{red}1-3x}) &= 18$

Aplique la propiedad distributiva y resuelva la ecuación.

$& 2x+{\color{red}5-15x} = 18\\\& {\color{red}-13x}+5 = 18\\\& -13x+5 {\color{red}-5} = 18 {\color{red}-5}\\\& -13x = {\color{red}13}\\\& \frac{-13x}{{\color{red}-13}} = \frac{13}{{\color{red}-13}}\\\& \frac{\cancel{-13}x}{\cancel{-13}} = \frac{\overset{{\color{red}-1}}{\cancel{-13}}}{\cancel{-13}}\\\& \boxed{x = -1}$

Sustituya –1 por $x$ en la ecuación $\boxed{y=1-3x}$ .

$y &= 1-3x\\\y &= 1-3({\color{red}-1})$

$& \ y = 1 {\color{red}+3}\\\& \boxed{y = 4}$

La solución es (–1, 4). Esto representa el punto de intersección de las líneas si las ecuaciones se graficaran en una cuadrícula cartesiana. Otra forma de escribir “las líneas se intersecan en (–1, 4)’ es:

$\boxed{\text{Line1}} : 3x+y=1$

$\boxed{\text{Line2}} : 2x+5y=18$

La línea 1 se interseca con la línea 2 en (–1, 4)

$& \qquad \quad \text{at}\\\& \qquad \quad {\color{red}\uparrow}\\\& \boxed{l_1 \cap l_2 @ (-1,4)}\\\& \quad \ {\color{red}\downarrow}\\\& \text{intersects}$

Ejemplo B

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales mediante sustitución:

$\begin{Bmatrix}8x-3y=6 \\\6x+12y=-24\end{Bmatrix}$

Solución: No existe una variable que tenga un coeficiente de +1 o -1. Sin embargo, la segunda ecuación tiene coeficientes y una constante que son múltiplos de 6. La segunda ecuación se resolverá para la variable “ $x$ ’.

$& 6x+12y =-24\\\& 6x+12y {\color{red}-12y} = -24 {\color{red}-12y}\\\& 6x = -24-12y\\\& \frac{6x}{{\color{red}6}} = \frac{-24}{{\color{red}6}}-\frac{12y}{{\color{red}6}}\\\& \frac{\cancel{6}x}{\cancel{6}} = \frac{\overset{{\color{red}-4}}{\cancel{-24}}}{\cancel{6}}-\frac{\overset{{\color{red}2}}{\cancel{12}y}}{\cancel{6}}\\\& \boxed{x = -4-2y}$

Sustituya $(-4-2y)$ en la primera ecuación por “ $x$ ”.

$8x-3y &= 6\\\8 ({\color{red}-4-2y})-3y &= 6$

Aplique la propiedad distributiva y resuelva la ecuación.

$& {\color{red}-32-16y}-3y = 6\\\& -32 {\color{red}-19y} = 6\\\& -32 {\color{red}+32}-19y = 6 {\color{red}+32}\\\& -19y = {\color{red}38}\\\& \frac{-19y}{{\color{red}-19}} = \frac{38}{{\color{red}-19}}\\\& \frac{\cancel{-19}y}{\cancel{-19}} = \frac{\overset{{\color{red}-2}}{\cancel{38}}}{\cancel{-19}}\\\& \boxed{y =- 2}$

Sustituya –2 por $y$ en la ecuación $\boxed{x=-4-2y}$

$x &= -4-2y\\\x &= -4-2 ({\color{red}-2})$

$& x = -4 {\color{red}+4}\\\& \boxed{x = 0}\\\& \boxed{l_1 \cap l_2 @ (0,-2)}$

Ejemplo C

Jason, que es un verdadero experto en computación, decidió montar su propio servidor y vender espacio en su computadora para que los estudiantes puedan tener sus propias páginas web en Internet. Ideó dos planes. Un plan cobra una tarifa mínima de $25.00 más $0.50 por mes. Su otro plan tiene una tarifa mínima de $5.00 más $1 por mes.

i) Escriba una ecuación que represente cada plan.

ii) Resuelva el sistema de ecuaciones.

Solución: Ambos planes cubren el costo de comprar espacio en el servidor de Jason. El costo implica una tarifa mínima y una tarifa mensual. Las ecuaciones para los planes son:

$y=0.50x+25$
$y=1x+5$

donde “ $y$ ” representa el costo y “ $x$ ” representa el número de meses. Ambas ecuaciones son iguales a “ $y$ ”. Por lo tanto, la expresión para $y$ puede sustituirse por $y$ en la otra ecuación.

$\begin{Bmatrix}y=0.50x+25 \\\y=1x+5\end{Bmatrix}$

$& 0.50x+25 = 1x+5 \\\& 0.50x+25 {\color{red}-25} = 1x+5 {\color{red}-25}\\\& 0.50x = 1x {\color{red}-20}\\\& 0.50x {\color{red}-1x} = 1x {\color{red}-1x}-20\\\& {\color{red}-0.50x} = -20\\\& \frac{-0.50x}{{\color{red}-0.50}} = \frac{-20}{{\color{red}-0.50}}\\\& \frac{\cancel{-0.50}x}{\cancel{-0.50}} = \frac{\overset{{\color{red}40}}{\cancel{-20}}}{\cancel{-0.50}}\\\& \boxed{x = 40 \ months}$

Ya que las ecuaciones eran iguales, el valor de “ $x$ ” se puede sustituir en cualquiera de las ecuaciones originales. El resultado será el mismo.

$y &= 1x+5\\\y &= 1({\color{red}40})+5$

$& y = {\color{red}40}+5\\\& \boxed{y = 45 \ dollars}\\\& \boxed{l_1 \cap l_2 @ (40,45)}.$

Revisión del problema de concepto

Cuando realizar un gráfico no es un método viable para resolver el sistema, puede hacerlo por sustitución:

$\begin{Bmatrix}2x+3y=13 \\\y=4x-5\end{Bmatrix}$

La segunda ecuación se resuelve en términos de la variable “ $y$ ’. La expresión $(4x+5)$ puede utilizarse para reemplazar “ $y$ ” en la primera ecuación.

$2x+3y &= 13\\\2x+3({\color{red}4x-5}) &= 13$

La ecuación ahora tiene una variable. Aplique la propiedad distributiva.

$2x+{\color{red}12x-15}=13$

Combine términos semejantes para simplificar la ecuación.

${\color{red}14x}-15=13$

Resuelva la ecuación.

$& 14x-15 {\color{red}+15} = 13 {\color{red}+15}\\\& 14x = {\color{red}28}\\\& \frac{14x}{{\color{red}14}} =\frac{28}{{\color{red}14}}\\\& \frac{\cancel{14}x}{\cancel{14}} = \frac{\overset{{\color{red}2}}{\cancel{28}}}{\cancel{14}}\\\& \boxed{x = 2}$

Para determinar el valor de “ $y$ ”, sustituya este valor en la ecuación $y=4x-5$ .

$y &= 4x-5\\\y &= 4({\color{red}2})-5$

$& \ y = {\color{red}8}-5\\\& \boxed{y = 3}$

La solución es (2, 3). Esto representa el punto de intersección de las líneas si las ecuaciones se graficaran en una cuadrícula cartesiana.

Vocabulario

Método de sustitución: El método de sustitución es una forma de resolver un sistema de ecuaciones lineales de forma algebraica. El método de sustitución involucra resolver una ecuación para una variable y sustituir esa expresión en otra ecuación.

Práctica Guiada

1. Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales mediante sustitución: $\begin{Bmatrix}x=2y+1 \\\x=4y-3\end{Bmatrix}$

2. Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales mediante sustitución: $\begin{Bmatrix}2x+y=3 \\\3x+2y=12\end{Bmatrix}$ .

3. Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales mediante sustitución: $\begin{Bmatrix}\frac{2}{5}m+\frac{3}{4}n=\frac{5}{2} \\\-\frac{2}{3}m+\frac{1}{2}n=\frac{3}{4}\end{Bmatrix}$

Respuestas:

$\begin{Bmatrix}x=2y+1 \\\x=4y-3\end{Bmatrix}$

Ambas ecuaciones son iguales a la variable ‘ $x$ ’. Si $(2y+1)=(4y-3)$

$2y+1=4y-3$

Resuelva la ecuación.

$& 2y+1 {\color{red}-1} = 4y-3 {\color{red}-1}\\\& 2y = 4y {\color{red}-4}\\\& 2y {\color{red}-4y} = 4y {\color{red}-4y}-4\\\& {\color{red}-2y} = -4\\\& \frac{-2y}{{\color{red}-2}} = \frac{-4}{{\color{red}-2}}\\\& \frac{\cancel{-2}y}{\cancel{-2}} = \frac{\overset{{\color{red}2}}{\cancel{-4}}}{\cancel{-2}}\\\& \boxed{y = 2}$

Sustituya este valor por “ $y$ ” en una de las ecuaciones originales.

$x &= 2y+1\\\x &= 2({\color{red}2})+2$

$& \ x = {\color{red}4}+1\\\& \boxed{x = 5}\\\& \boxed{l_1 \cap l_2 @ (5,2)}$

$\begin{Bmatrix}2x+y=3 \\\3x+2y=12\end{Bmatrix}$

La primera ecuación tiene la variable “ $y$ ” con un coeficiente de 1. Resuelva la ecuación en términos de ‘ $y$ ’.

$& 2x+y = 3\\\& 2x {\color{red}-2x}+y = 3 {\color{red}-2x}\\\& \boxed{y = 3-2x}$

Sustituya $(3-2x)$ en la segunda ecuación por ‘ $y$ ’.

$3x+2y &= 12\\\3x+2 ({\color{red}3-2x}) &= 12$

Aplique la propiedad distributiva y resuelva la ecuación.

$& 3x+ {\color{red}6-4x} = 12\\\& 6 {\color{red}-x} = 12\\\& 6 {\color{red}-6}-x = 12 {\color{red}-6}\\\& -x = {\color{red}6}\\\& \frac{-x}{{\color{red}-1}} = \frac{6}{{\color{red}-1}}\\\& \frac{{\cancel{-1}}x}{{\cancel{-1}}} = \frac{\overset{{\color{red}-6}}{\cancel{6}}}{\cancel{-1}}\\\& \boxed{x = -6}$

Sustituya este valor por “ $x$ ” en la ecuación $y=3-2x$ .

$y &= 3-2x\\\y &= 3-2({\color{red}-6})$

$& \ y = 3 {\color{red}+12}\\\& \boxed{y = 15}\\\& \boxed{l_1 \cap l_2 @ (-6,15)}$

$\begin{Bmatrix}\frac{2}{5}m+\frac{3}{4}n=\frac{5}{2} \\\-\frac{2}{3}m+\frac{1}{2}n=\frac{3}{4}\end{Bmatrix}$

Empiece por multiplicar cada ecuación por el MCM (mínimo común múltiplo) de los denominadores para simplificar el sistema.

$\frac{2}{5}m+\frac{3}{4}n=\frac{5}{2}$ El MCM para los denominadores es 20.

${\color{red}20} \left(\frac{2}{5}\right)m+ {\color{red}20} \left(\frac{3}{4}\right)n &= {\color{red}20} \left(\frac{5}{2}\right)\\\\overset{{\color{red}4}}{\cancel{20}} \left(\frac{2}{\cancel{5}}\right)m+\overset{{\color{red}5}}{\cancel{20}} \left(\frac{3}{\cancel{4}}\right)n &= \overset{{\color{red}10}}{\cancel{20}} \left(\frac{5}{\cancel{2}}\right)\\\{\color{red}8}m+{\color{red}15}n &= {\color{red}50}\\\8m+15n &= 50$

$-\frac{2}{3}m+\frac{1}{2}n=\frac{3}{4}$ El MCM para los denominadores es 12.

$-{\color{red}12} \left(\frac{2}{3}\right)m+{\color{red}12} \left(\frac{1}{2}\right)n &= {\color{red}12} \left(\frac{3}{4}\right)\\\\overset{{\color{red}4}}{-\cancel{12}} \left(\frac{2}{\cancel{3}}\right)m+\overset{{\color{red}6}}{\cancel{12}} \left(\frac{1}{\cancel{2}}\right)n &= \overset{{\color{red}3}}{\cancel{12}}\left(\frac{3}{\cancel{4}}\right)\\\{\color{red}-8}m+{\color{red}6}n &= {\color{red}9}\\\-8m+6n &= 9$

Las dos ecuaciones que necesitan ser resueltas por sustitución son: $\begin{Bmatrix}8m+15n=50 \\\-8m+6n=9\end{Bmatrix}$

Ninguna de las ecuaciones tiene una variable con un coeficiente de 1, y ninguna tiene coeficientes que sean múltiplos de un coeficiente dado. Resuelva la primera ecuación en términos de “ $m$ ’.

$& 8m+15n = 50\\\& 8m+15n {\color{red}-15n} = 50 {\color{red}-15n}\\\& 8m = 50-15n\\\& \frac{8m}{{\color{red}8}} = \frac{50}{{\color{red}8}}-\frac{15n}{{\color{red}8}}\\\& \frac{\cancel{8}m}{\cancel{8}} = \frac{50}{8}-\frac{15n}{8}\\\& m = {\color{red}\frac{25}{4}}-\frac{15}{8}n\\\& \boxed{m = \frac{25}{4}-\frac{15}{8}n}$

Sustituya este valor por “ $m$ ” en la segunda ecuación.

$-8m+6n &= 9\\\-8 \left({\color{red}\frac{25}{4}-\frac{15}{8}n}\right)+6n &= 9$

Aplique la propiedad distributiva y resuelva la ecuación.

$& {\color{red}-\frac{200}{4}+\frac{120}{8}n}+6n = 9\\\& -\frac{\overset{{\color{red}50}}{\cancel{200}}}{\cancel{4}}+\frac{\overset{{\color{red}15}}{\cancel{120}}}{\cancel{8}}n+6n = 9\\\& {\color{red}-50+15n}+6n = 9\\\& -50 {\color{red}+21n} = 9\\\& -50 {\color{red}+50}+21n = 9 {\color{red}+50}\\\& 21n = {\color{red}59}\\\& \frac{21n}{{\color{red}21}} = \frac{59}{{\color{red}21}}\\\& \frac{\cancel{21}n}{\cancel{21}} = \frac{59}{21}\\\& \boxed{n = \frac{59}{21}}$

Sustituya este valor en la ecuación que se resolvió en términos de “ $m$ ” o en una de las ecuaciones originales o en una de las ecuaciones nuevas que resultaron de multiplicar por el MCM.

Cualquiera sea la sustitución que se realice, tendrá lugar el mismo resultado.

$m &= \frac{25}{4}-\frac{15}{8}n\\\m &= \frac{25}{4}-\frac{15}{8} \left({\color{red}\frac{59}{21}}\right)\\\m &= \frac{25}{4}-{\color{red}\frac{885}{168}}$

Se requiere un denominador común para restar fracciones.

$& \overset{ \quad \ {\color{red}42}}{4 \overline{ ) {168}}}\\\& \underline{- 16 {\color{blue}\downarrow}}\\\& \quad \ \ 8\\\& \underline{- \;\;\;8}\\\& \quad \ \ 0$

Multiplicar $\frac{25}{4}$ por ${\color{red}\frac{42}{42}}$ :

$& m = {\color{red}\frac{42}{42}} \left(\frac{25}{4}\right)-\frac{885}{168}\\\& m = {\color{red}\frac{1050}{168}}-\frac{885}{168}\\\& m= {\color{red}\frac{165}{168}}\\\& m = {\color{red}\frac{55}{56}}\\\& \boxed{m = \frac{55}{56}}\\\& \boxed{l_1 \cap l_2 @ \left(\frac{55}{56}, \frac{59}{21}\right)}$

Práctica

Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones lineales utilizando el método de sustitución.

$\begin{Bmatrix}y=3x \\\5x-2y=1\end{Bmatrix}$

$\begin{Bmatrix}y=3x+1 \\\2x-y=2\end{Bmatrix}$

$\begin{Bmatrix}x=2y \\\x=3y-3\end{Bmatrix}$

$\begin{Bmatrix}x-y=6 \\\6x-y=40\end{Bmatrix}$

$\begin{Bmatrix}x+y=6 \\\x+3(y+2)=10\end{Bmatrix}$

$\begin{Bmatrix}2x+y=5 \\\3x-4y=2\end{Bmatrix}$

$\begin{Bmatrix}5x-2y=-4 \\\4x+y=-11\end{Bmatrix}$

$\begin{Bmatrix}3y-x=-10 \\\3x+4y=-22\end{Bmatrix}$

$\begin{Bmatrix}4e+2f=-2 \\\2e-3f=1\end{Bmatrix}$

$\begin{Bmatrix}\frac{1}{4}x+y=-\frac{7}{2} \\\\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}y=1\end{Bmatrix}$

$\begin{Bmatrix}x=-4+y \\\x=3y-6\end{Bmatrix}$

$\begin{Bmatrix}3y-2x=-3 \\\3x-3y=6\end{Bmatrix}$

$\begin{Bmatrix}2x=5y-12 \\\3x+5y=7\end{Bmatrix}$

$\begin{Bmatrix}3y=2x-5 \\\2x=y+3\end{Bmatrix}$

$\begin{Bmatrix}\frac{x+y}{3}+\frac{x-y}{2}=\frac{25}{6} \\\\frac{x+y-9}{2}=\frac{y-x-6}{3}\end{Bmatrix}$

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