Método de eliminación para sistemas de ecuaciones

Aquí aprenderá a resolver un sistema de ecuaciones lineales de forma algebraica utilizando el método de eliminación.

Cuando resuelve un sistema de ecuaciones consistentes e independientes mediante gráficos, la solución es un único par ordenado. El par ordenado satisface ambas ecuaciones y el punto es la intersección de los gráficos de las ecuaciones lineales. Las coordenadas de este punto de intersección no siempre son números enteros. Por lo tanto, se debe utilizar algún método para determinar los valores de las coordenadas. ¿Cómo puede resolver de forma algebraica el siguiente sistema de ecuaciones sin reescribir primero las ecuaciones?

$\begin{Bmatrix}2x+3y=5\\\3x-3y=10\end{Bmatrix}$

Mire este video

Khan Academy Solving Systems by Elimination (Solución de sistemas por eliminación) *Este video solo está disponible en inglés

Para obtener más información, haga clic en la imagen anterior. (requiere conexión a internet)

Khan Academy Solving Systems by Elimination 2 (Solución de sistemas por eliminación 2) *Este video solo está disponible en inglés

Para obtener más información, haga clic en la imagen anterior. (requiere conexión a internet)

Guía

Un $2 \times 2$ sistema de ecuaciones lineales puede resolverse de forma algebraica mediante el método de eliminación. Para utilizar este método, debe escribir un sistema de ecuaciones equivalente de manera que, cuando dos de las ecuaciones se suman o restan, se elimina una de las variables. La solución es el punto de intersección de las dos ecuaciones y representa las coordenadas del par ordenado. Este método se demuestra en los ejemplos.

Ejemplo A

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales mediante eliminación:

$\begin{Bmatrix}3y=2x-5\\\2x=y+3\end{Bmatrix}$

Solución: Para comenzar, configure las ecuaciones para que estén en el formato $\begin{Bmatrix}a_1 {\color{red}x}+b_1 {\color{blue}y}=c_1\\\a_2 {\color{red}x}+b_2 {\color{blue}y}=c_2\end{Bmatrix}$

$3y &= 2x-5 && 2x=y+3\\\{\color{red}-2x}+3y &= 2x {\color{red}-2x}-5 && 2x {\color{red}-y} = y {\color{red}-y}+3\\\-2x+3y &= -5 && 2x-y=3$

Resuelva el sistema de ecuaciones con formato:

$\begin{Bmatrix}-2x+3y=-5\\\2x-y=3\end{Bmatrix}$

Ambas ecuaciones tienen un término que es $2x$ . En la primera ecuación, el coeficiente de $x$ es un dos negativo y en la segunda ecuación el coeficiente de $x$ es un dos positivo. Si se suman las dos ecuaciones, la variable $x$ se elimina.

$& -\cancel{2x}+3y=-5\\\& \quad \underline{\cancel{2x}- \; y=+3 \;}\\\& \qquad \quad {\color{red}2y=-2} \quad \text{Eliminate the variable} \ x.\\\& 2y = -2 \quad \text{Solve the equation.}\\\& \frac{2y}{{\color{red}2}} = \frac{-2}{{\color{red}2}}\\\& \frac{\cancel{2}y}{\cancel{2}} = \frac{\overset{{\color{red}-1}}{\cancel{-2}}}{\cancel{2}}\\\& \boxed{y = -1}$

El valor de $y$ es –1. Este valor ahora se puede sustituir en una de las ecuaciones originales para determinar el valor de $x$ . Recuerde que $x$ es la variable que se eliminó del sistema de ecuaciones lineales.

$& 2x-y = 3\\\& 2x-({\color{red}-1}) = 5 && \text{Substitute in the value for} \ y.\\\& 2x {\color{red}+1} = 5 && \text{Multiply the value of} \ x \ \text{by the coefficient} \ (-1).\\\& 2x+1 {\color{red}-1} = 3 {\color{red}-1} && \text{Isolate the variable} \ x.\\\& 2x = {\color{red}2} && \text{Solve the equation.}\\\& \frac{2x}{{\color{red}2}} = \frac{2}{{\color{red}2}}\\\& \frac{\cancel{2}x}{\cancel{2}} = \frac{\overset{{\color{red}1}}{\cancel{2}}}{\cancel{2}}\\\& \boxed{x = 1}\\\& \boxed{l_1 \cap l_2 @ (1,-1)}$

Esto significa “la Línea 1 se interseca con la Línea 2 en el punto (1, –1)”.

Ejemplo B

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales mediante eliminación:

$\begin{Bmatrix}2x-3y=13\\\3x+4y=-6\end{Bmatrix}$

Solución: Los coeficientes de “ $x$ ” son 2 y 3. Los coeficientes de “ $y$ ” son –3 y 4. Para eliminar una variable, los coeficientes deben ser iguales, pero con signos opuestos. Esto se puede lograr multiplicando una o ambas ecuaciones.

El primer paso es elegir una variable a eliminar. Si elegimos “ $x$ ”, el mínimo común múltiplo de 2 y 3 es 6. Esto significa que las ecuaciones deben multiplicarse por 3 y 2, respectivamente. Uno de los multiplicadores debe ser un número negativo de manera que uno de los coeficientes de “ $x$ ” será un 6 negativo. Al hacerlo, los coeficientes de “ $x$ ’ serán +6 y –6. La variable, entonces, se eliminará cuando se sumen las ecuaciones.

Multiplique la primer ecuación por tres negativo.

$& {\color{red}-3}(2x-3y = 13)\\\& {\color{red}-6x+9y=-39}$

Multiplique la segunda ecuación por dos positivo.

$& {\color{red}2}(3x+4y=-6)\\\& {\color{red}6x+8y=-12}$

Sume las dos ecuaciones.

$& -\cancel{6x}+9y=-39\\\& \ \ \underline{\cancel{6x}+8y=-12}\\\& \qquad \ \ {\color{red}17y=-51} \qquad \text{Solve the equation.}\\\& 17y =- 51\\\& \frac{17y}{{\color{red}17}} = \frac{-51}{{\color{red}17}}\\\& \frac{\cancel{17}y}{\cancel{17}} = \frac{\overset{{\color{red}-3}}{\cancel{-51}}}{\cancel{17}}\\\& \boxed{y = -3}$

Sustituya el valor de $y$ en una de las ecuaciones originales.

$& 2x-3y = 13\\\& 2x-3({\color{red}-3}) = 13 && \text{Substitute in the value for} \ y.\\\& 2x {\color{red}+9}=13 && \text{Multiply the value of} \ y \ \text{by the coefficient} \ (-3).\\\& 2x+9 {\color{red}-9} = 13 {\color{red}-9} && \text{Isolate the variable} \ x.\\\& 2x = {\color{red}4} && \text{Solve the equation.}\\\& \frac{2x}{{\color{red}2}} = \frac{4}{{\color{red}2}}\\\& \frac{\cancel{2}x}{\cancel{2}} = \frac{\overset{{\color{red}2}}{\cancel{4}}}{\cancel{2}}\\\& \boxed{x = 2}\\\& \boxed{l_1 \cap l_2 @ (2,-3)}$

Ejemplo C

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales mediante eliminación:

$\begin{Bmatrix}\frac{3}{4}x+\frac{5}{4}y = 4\\\\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y = \frac{5}{3}\end{Bmatrix}$

Solución: Empiece multiplicando cada ecuación por el MCD (mínimo común denominador) para crear dos ecuaciones con números enteros como coeficientes de las variables.

$\frac{3}{4}x+\frac{5}{4}y &= 4 && \frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=\frac{5}{3}\\\{\color{red}4} \left(\frac{3}{4}\right)x+ {\color{red}4} \left(\frac{5}{4}\right)y &= {\color{red}4} (4) && {\color{red}6} \left(\frac{1}{2}\right)x+ {\color{red}6} \left(\frac{1}{3}\right)y= {\color{red}6} \left(\frac{5}{3}\right)\\\\cancel{4} \left(\frac{3}{\cancel{4}}\right)x+\cancel{4} \left(\frac{5}{\cancel{4}}\right)y &= 4(4) && \overset{{\color{red}3}}{\cancel{6}} \left(\frac{1}{\cancel{2}} \right)x+\overset{{\color{red}2}}{\cancel{6}} \left(\frac{1}{\cancel{3}} \right)y=\overset{{\color{red}2}}{\cancel{6}}\left(\frac{5}{\cancel{3}}\right)\\\{\color{red}3}x+{\color{red}5}y &= {\color{red}16} && {\color{red}3}x+{\color{red}2}y={\color{red}10}$

Ahora resuelva el siguiente sistema de ecuaciones mediante eliminación:

$\begin{Bmatrix}3x+5y=16\\\3x+2y=10\end{Bmatrix}$

Los coeficientes de la variable “ $x$ ” son los mismos: tres positivo. Para cambiar uno de ellos a tres negativo, multiplique una de las ecuaciones por uno negativo.

$& {\color{red}-1} (3x+5y=16)\\\& {\color{red}-3x-5y=-16}$

Ahora se pueden sumar las dos ecuaciones.

$& - \cancel{3x}-5y=-16\\\& \ \ \underline{\cancel{3x}+2y= \;\;\; 10}\\\& \qquad {\color{red}-3y= \ \ -6} \qquad \text{Solve the equation.}\\\& -3y = -6\\\& \frac{-3y}{{\color{red}-3}} = \frac{-6}{{\color{red}-3}}\\\& \frac{\cancel{-3}y}{{\cancel{-3}}} = \frac{\overset{{\color{red}2}}{\cancel{-6}}}{\cancel{-3}}\\\& \boxed{y = 2}$

Sustituya el valor de “ $y$ ” en una de las ecuaciones originales.

$& \frac{3}{4}x+\frac{5}{4}y = 4\\\& \frac{3}{4}x+\frac{5}{4}({\color{red}2}) = 4 && \text{Substitute in the value for} \ y.\\\& \frac{3}{4}x+\frac{{\color{red}10}}{4}=4 && \text{Multiply the value of} \ y \ \text{by the coefficient} \ \left(\frac{5}{4}\right).\\\& \frac{3}{4}x+\frac{10}{4}- {\color{red}\frac{10}{4}} = 4-{\color{red}\frac{10}{4}} && \text{Isolate the variable} \ x.\\\& \frac{3}{4}x = {\color{red}\frac{16}{4}}- {\color{red}\frac{10}{4}}\\\& \frac{3}{4}x = {\color{red}\frac{6}{4}} && \text{Multiply both sides by} \ 4.\\\& {\color{red}4} \left(\frac{3}{4}x\right) = {\color{red}4} \left(\frac{6}{4}\right)\\\& {\cancel{4}} \left(\frac{3}{\cancel{4}}x\right) = \cancel{4} \left(\frac{6}{\cancel{4}}\right)\\\& 3x = 6 && \text{Solve the equation.}\\\& \frac{3x}{{\color{red}3}} = \frac{6}{{\color{red}3}}\\\& \frac{\cancel{3}x}{\cancel{3}} = \frac{\overset{{\color{red}2}}{\cancel{6}}}{\cancel{3}}\\\& \boxed{x = 2}\\\& \boxed{l_1 \cap l_2 @ (2,2)}$

Revisión del problema de concepto

Resuelva por eliminación:

$\begin{Bmatrix}2x+3y=5\\\3x-3y=10\end{Bmatrix}$

Ambas ecuaciones tienen un término que es $3y$ . En la primera ecuación, el coeficiente de “ $y$ ” es un tres positivo y en la segunda ecuación el coeficiente de “ $y$ ” es un tres negativo. Si se suman las dos ecuaciones, la variable “ $y$ ” se elimina.

$& 2x+3y=5\\\& \underline{3x-3y=10}\\\& 5x=15$

La ecuación resultante ahora tiene una variable. Resuelva la ecuación:

$& 5x = 15\\\& \frac{5x}{{\color{red}5}} = \frac{15}{{\color{red}5}}\\\& \frac{\cancel{5}x}{\cancel{5}} = \frac{\overset{{\color{red}3}}{\cancel{15}}}{\cancel{5}}\\\& \boxed{x = 3}$

El valor de “ $x$ ” es 3. Este valor ahora se puede sustituir en una de las ecuaciones originales para determinar el valor de “ $y$ ’.

$& 2x+3y = 5\\\& 2({\color{red}3})+3y = 5 && \text{Substitute in the value for} \ x.\\\& {\color{red}6}+3y = 5 && \text{Multiply the value of} \ x \ \text{by the coefficient} \ (2).\\\& 6 {\color{red}-6}+3y = 5 {\color{red}-6} && \text{Isolate the variable} \ y.\\\& 3y = {\color{red}-1} && \text{Solve the equation.}\\\& \frac{3y}{{\color{red}3}} = \frac{-1}{{\color{red}3}}\\\& \frac{\cancel{3}y}{\cancel{3}} = {\color{red}-\frac{1}{3}}\\\& \boxed{y = -\frac{1}{3}}$

La solución al sistema de ecuaciones lineales es $x=3$ e $y=-\frac{1}{3}$ . Esta solución significa $\boxed{l_1 \cap l_2 @ \left(3,-\frac{1}{3}\right)}$

Vocabulario

Método de eliminación: El método de eliminación es un método utilizado para resolver un sistema de ecuaciones lineales de forma algebraica. Este método implica obtener un sistema de ecuaciones equivalente de manera que, cuando dos de las ecuaciones se suman o restan, se elimina una de las variables.

Práctica guiada

1. Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales mediante eliminación:

$\begin{Bmatrix}4x-15y=5\\\6x-5y=4\end{Bmatrix}$

2. Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales mediante eliminación:

$\begin{Bmatrix}3x=7y+41\\\5x=3y+51\end{Bmatrix}.$

3. Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales mediante eliminación:

$\begin{Bmatrix}\frac{2}{5}m+\frac{3}{4}n=\frac{5}{2}\\\-\frac{2}{3}m+\frac{1}{2}n=\frac{3}{4}\end{Bmatrix}$

Respuestas:

1. $\begin{Bmatrix}4x-15y=5\\\6x-5y=4\end{Bmatrix}$

Multiplique la segunda ecuación por (–3) para eliminar la variable “ $y$ ’.

$& {\color{red}-3} (6x-5y=4)\\\ & {\color{red}-18x+15y=-12}\\\& -18x+15y=-12$

Sume las ecuaciones:

$& \quad \ 4x - \cancel{15y}=5\\\& \underline{-18x + \cancel{15y}=-12}\\\& {\color{red}-14x=-7}$

Resuelva la ecuación:

$& -14x = -7\\\& \frac{-14x}{{\color{red}-14}} = \frac{-7}{{\color{red}-14}}\\\& \frac{\cancel{-14}x}{\cancel{-14}} = \frac{-7}{-14}\\\& \boxed{x = \frac{1}{2}}$

Sustituya este valor por “ $x$ ” en una de las ecuaciones originales.

$& 4x-15y = 5\\\& 4 \left({\color{red}\frac{1}{2}}\right)-15y = 5 && \text{Substitute in the value for} \ x.\\\& {\color{red}2}-15y = 5 && \text{Multiply the value of} \ x \ \text{by the coefficient} \ (4).\\\& 2 {\color{red}-2}-15y = 5 {\color{red}-2} && \text{Isolate the variable} \ y.\\\& -15y = 3 && \text{Solve the equation.}\\\& \frac{-15y}{{\color{red}-15}} = \frac{3}{{\color{red}-15}}\\\& \frac{\cancel{-15}y}{\cancel{-15}} = \frac{3}{-15}\\\& \boxed{y = -\frac{1}{5}}\\\& \boxed{l_1 \cap l_2 @ \left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{5}\right)}$

2. $\begin{Bmatrix}3x=7y+41\\\5x=3y+51\end{Bmatrix}$

Ordene las ecuaciones de manera tal que tengan la forma $\begin{Bmatrix}a_1 {\color{red}x}+b_1 {\color{blue}y}=c_1\\\a_2 {\color{red}x}+b_2 {\color{blue}y}=c_2\end{Bmatrix}$ .

$3x &= 7y+41 && 5x=3y+51\\\3x {\color{red}-7y} &= 7y {\color{red}-7y}+41 && 5x {\color{red}-3y}=3y {\color{red}-3y}+51\\\3x-7y &=41 && 5x-3y=51$

Multiplique la primera ecuación por (–5) y la segunda ecuación por (3).

$& {\color{red}-5}(3x-7y=41) && {\color{red}3} (5x-3y=51)\\\& {\color{red}-15x+35y=-205} && {\color{red}15x-9y=153}\\\& -15x+35y=-205 && 15x-9y=153$

Sume las ecuaciones para eliminar “ $x$ ’.

$& - \cancel{15x}+35y=-205\\\& \quad \underline{\;\;\; \cancel{15x}-9y=153\;\;\;}\\\& \qquad \qquad {\color{red}26y=-52}$

Resuelva la ecuación:

$& 26y = 52\\\& \frac{26y}{{\color{red}26}} = \frac{-52}{{\color{red}26}}\\\& \frac{\cancel{26}y}{\cancel{26}} = \frac{\overset{{\color{red}-2}}{\cancel{-52}}}{\cancel{26}}\\\& \boxed{y =-2}\\\& 5x-3y = 51\\\& 5x-3({\color{red}-2}) = 51 && \text{Substitute in the value for} \ y.\\\& 5x {\color{red}+6}=51 && \text{Multiply the value of} \ y \ \text{by the coefficient} \ (-3).\\\& 5x+6 {\color{red}-6} = 51 {\color{red}-6} && \text{Isolate the variable} \ x.\\\& 5x = {\color{red}45} && \text{Solve the equation.}\\\& \frac{5x}{{\color{red}5}} = \frac{45}{{\color{red}5}}\\\& \frac{\cancel{5}x}{\cancel{5}} = \frac{\overset{{\color{red}9}}{\cancel{45}}}{\cancel{5}}\\\& \boxed{x = 9}\\\& \boxed{l_1 \cap l_2 @ (9,-2)}$

3. $\begin{Bmatrix}\frac{2}{5}m+\frac{3}{4}n=\frac{5}{2}\\\-\frac{2}{3}m+\frac{1}{2}n=\frac{3}{4}\end{Bmatrix}$

Empiece por multiplicar cada ecuación por el MCM de los denominadores para simplificar el sistema.

$\frac{2}{5}m+\frac{3}{4}n=\frac{5}{2}$ El MCM de los denominadores es 20.

$& {\color{red}20} \left(\frac{2}{5}\right)m+{\color{red}20} \left(\frac{3}{4}\right)n = {\color{red}20} \left(\frac{5}{2}\right)\\\& \overset{{\color{red}4}}{\cancel{20}} \left(\frac{2}{\cancel{5}}\right)m+\overset{{\color{red}5}}{\cancel{20}} \left(\frac{3}{\cancel{4}} \right)n = \overset{{\color{red}10}}{\cancel{20}} \left(\frac{5}{\cancel{2}}\right)\\\& {\color{red}8}m+{\color{red}15}n = {\color{red}50}\\\& \boxed{8m+15n = 50}\\\& -\frac{2}{3}m+\frac{1}{2}n = \frac{3}{4} && \text{The LCM for the denominators is} \ 12.\\\& -{\color{red}12} \left(\frac{2}{3}\right)m+{\color{red}12} \left(\frac{1}{2}\right)n = {\color{red}12} \left(\frac{3}{4}\right)\\\& -\overset{{\color{red}4}}{\cancel{12}} \left(\frac{2}{\cancel{3}}\right)m+\overset{{\color{red}6}}{\cancel{12}} \left(\frac{1}{\cancel{2}}\right)n = \overset{{\color{red}3}}{\cancel{12}} \left(\frac{3}{\cancel{4}}\right)\\\& {\color{red}-8}m+{\color{red}6}n = {\color{red}9}\\\& \boxed{-8m+6n = 9}$

Las dos ecuaciones que necesitan ser resueltas son: $\begin{Bmatrix}8m+15n=50\\\-8m+6n=9\end{Bmatrix}$

Las ecuaciones se resolverán utilizando el método de eliminación. La variable “ $m$ ” tiene los mismos coeficientes numéricos con signos opuestos. La variable se eliminará cuando se sumen las ecuaciones.

$& \cancel{8m}+15n = 50\\\& \underline{-\cancel{8m}+6n=9}\\\& \qquad {\color{red}21n=59}$

Resuelva la ecuación:

$& 21n = 59\\\& \frac{21n}{{\color{red}21}} = \frac{59}{{\color{red}21}}\\\& \frac{\cancel{21}n}{\cancel{21}} = \frac{59}{21}\\\& \boxed{n = \frac{59}{21}}\\\& \frac{2}{5}m+\frac{3}{4}n = \frac{5}{2}\\\& \frac{2}{5}m+\frac{3}{4} \left({\color{red}\frac{59}{21}}\right) = \frac{5}{2} && \text{Substitute in the value for} \ n.\\\& \frac{2}{5}m+{\color{red}\frac{177}{84}} = \frac{5}{2} && \text{Multiply the value of} \ y \ \text{by the coefficient} \left(\frac{59}{21}\right).\\\& \frac{2}{5}m+\frac{177}{84}-{\color{red}\frac{177}{84}} = \frac{5}{2}- {\color{red}\frac{177}{84}} && \text{Isolate the variable} \ x.\\\& \frac{2}{5}m = {\color{red}\frac{210}{84}}-{\color{red}\frac{177}{84}}\\\& \frac{2}{5}m = {\color{red}\frac{33}{84}} && \text{Solve the equation.}\\\& {\color{red}420} \left(\frac{2}{5}\right)x = {\color{red}420} \left(\frac{33}{84}\right)\\\& \overset{{\color{red}84}}{\cancel{420}} \left(\frac{2}{\cancel{5}}\right)x = \overset{{\color{red}5}}{\cancel{420}} \left(\frac{33}{\cancel{84}}\right)\\\& {\color{red}168}x = {\color{red}165}\\\& \frac{168x}{{\color{red}168}} = \frac{165}{{\color{red}168}}\\\& \frac{\cancel{168}x}{{\cancel{168}}} = \frac{165}{168}\\\& \boxed{x = \frac{55}{56}}\\\& \boxed{l_1 \cap l_2 @ \left(\frac{55}{56}, \frac{59}{21}\right)}$

Práctica

Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones lineales utilizando el método de eliminación.

$\begin{Bmatrix}16x-y-181=0\\\19x-y=214\end{Bmatrix}$

$\begin{Bmatrix}3x+2y+9=0\\\4x=3y+5\end{Bmatrix}$

$\begin{Bmatrix}x=7y+38\\\14y=-x-46\end{Bmatrix}$

$\begin{Bmatrix}2x+9y=-1\\\4x+y=15\end{Bmatrix}$

$\begin{Bmatrix}x-\frac{3}{5}y=\frac{26}{5}\\\4y=61-7x\end{Bmatrix}$

$\begin{Bmatrix}3x-5y=12\\\2x+10y=4\end{Bmatrix}$

$\begin{Bmatrix}3x+2y+9=0\\\4x=3y+5\end{Bmatrix}$

$\begin{Bmatrix}x=69+6y\\\3x=4y-45\end{Bmatrix}$

$\begin{Bmatrix}3(x-1)-4(y+2)=-5\\\4(x+5)-(y-1)=16\end{Bmatrix}$

$\begin{Bmatrix}\frac{3}{4}x-\frac{2}{5}y=2\\\\frac{1}{7}x+\frac{3}{2}y=\frac{113}{7}\end{Bmatrix}$

$\begin{Bmatrix}3x+5y=17\\\2x+3y=11\end{Bmatrix}$

$\begin{Bmatrix}3x-5y=-29\\\2x-8y=-42\end{Bmatrix}$

$\begin{Bmatrix}7x-8y=-26\\\5x-12y=-45\end{Bmatrix}$

$\begin{Bmatrix}6x+5y=5.1\\\4x-2y=-1.8\end{Bmatrix}$

¿Cuándo tiene sentido utilizar el método de eliminación para resolver un sistema de ecuaciones?

Prev Next

Método de eliminación para sistemas de ecuaciones

Mire este video

Guía

Ejemplo A

Ejemplo B

Ejemplo C

Revisión del problema de concepto

Vocabulario

Práctica guiada

Práctica

Licencia