Sistemas de ecuaciones y desigualdades
CK-12 and Intel Education
PrevNext

Aplicaciones de sistemas de ecuaciones

Aquí aprenderá cómo utilizar los sistemas de ecuaciones lineales para resolver enunciados de problemas y verá algunas aplicaciones comunes de los sistemas de ecuaciones lineales.

¿Puede determinar dos números de manera tal que su suma sea 763 y su diferencia sea 179? ¿Cómo puede ayudarle un sistema de ecuaciones?

Mire este video

James Sousa: Aplicaciones que involucran sistemas de ecuaciones

Para obtener más información, haga clic en la imagen anterior. (requiere conexión a internet)

James Sousa: Más aplicaciones que involucran sistemas de ecuaciones

Para obtener más información, haga clic en la imagen anterior. (requiere conexión a internet)

Guía

Un sistema de ecuaciones lineales puede utilizarse para representar problemas del mundo real. Cuando hay dos variables y le dan dos datos acerca de cómo se relacionan esas variables, se utiliza un sistema de ecuaciones. Los siguientes ejemplos le mostrarán algunos problemas comunes que pueden resolverse utilizando un sistema de ecuaciones.

Ejemplo A

El largo de una parcela de tierra rectangular es de 255 yardas más que el ancho. Si el perímetro es de 1206 yardas, calcule las dimensiones del rectángulo.

Solución: El perímetro de un rectángulo se calcula con la fórmula P=2l+2w donde P es el perímetro, l es el largo y w es el ancho. Las cantidades son el largo y el ancho del rectángulo.

  • Sea el largo del rectángulo “ l ’.
  • Sea el ancho del rectángulo “ w ’.

Las ecuaciones serían:

  • El largo es 255 yardas más que el ancho \rightarrow \boxed{l=w+255}
  • El perímetro es 1206 yardas \rightarrow \boxed{2l+2w=1206}

Ahora puede resolverse el sistema de ecuaciones para determinar las dimensiones del rectángulo. En la primera ecuación el largo se expresa a partir del ancho. Se utilizará la sustitución para resolver el sistema de ecuaciones.

& \begin{Bmatrix}l=w+255\\\2l+2w=1206\end{Bmatrix}\\\& 2l+2w = 1206 && \text{Substitute} \ (w + 255) \ \text{for} \ l \ \text{in the equation.}\\\& 2({\color{red}w+255})+2w = 1206 && \text{Apply the distributive property.}\\\& {\color{red}2w+510}+2w = 1206 && \text{Simplify}\\\& {\color{red}4w}+510 =1206 && \text{Solve the equation.}\\\& 4w+510 {\color{red}-510} = 1206 {\color{red}-510}\\\& 4w = {\color{red}696}\\\& \frac{4w}{{\color{red}4}} = \frac{696}{{\color{red}4}}\\\& \frac{\cancel{4}w}{\cancel{4}} = \frac{\overset{{\color{red}174}}{\cancel{696}}}{\cancel{4}}\\\& \boxed{w = 174}\\\\\\& l = w+255 && \text{Substitute the value for} \ w \ \text{into the equation.}\\\& l = {\color{red}174}+255 && \text{Solve the equation.}\\\& \boxed{l = 429}

El largo de una parcela de tierra rectangular es de 429 yardas y el ancho es de 174 yardas.

Ejemplo B

María tenía $12100 para invertir. Decidió invertir su dinero en bonos y fondos de inversión. Invirtió una parte de su dinero en bonos que pagaban 8 % de interés anual, y el resto en un fondo de inversión que pagaba 9 % anual. Luego de un año, el ingreso total que ganó de esas inversiones fue $1043. ¿Cuánto invirtió en cada tasa de interés?

Solución: Las dos cantidades en este problema son la cantidad que invirtió en bonos y la cantidad que invirtió en fondos de inversión.

  • Sea la cantidad que invirtió en bonos “ b ’.
  • Sea la cantidad que invirtió en fondos “ m ’.

Las ecuaciones serían:

  • La cantidad total de dinero que tuvo que invertir fue \$12,100 \rightarrow \boxed{b+m=12,100}
  • La cantidad de dinero que ganó de las inversiones fue \$1043 \rightarrow \boxed{0.08b+0.09m=1043}

El sistema de ecuaciones se resolverá utilizando la eliminación.

\begin{Bmatrix}b+m=12,100\\\0.08b+0.09m=1043\end{Bmatrix}

La primera ecuación se multiplicará por (–0.08)

& {\color{red}-0.08} (b+m=12,100)\\\& {\color{red}-0.08b-0.08m=-968}\\\& -0.08b-0.08m=-968

Las ecuaciones ahora tienen coeficientes numéricos opuestos para la variable b . Sume las ecuaciones para eliminar la variable b .

& -{\cancel{0.08b}}-0.08m=-968\\\& \underline{\;\;\;\;\cancel{0.08b}+0.09m=1043\;} && \text{Solve the equation.}\\\& {\color{red}0.01m=75}\\\& 0.01m = 75\\\& \frac{0.01m}{{\color{red}0.01}} = \frac{75}{{\color{red}0.01}}\\\& \frac{\cancel{0.01}m}{\cancel{0.01}} = \frac{\overset{{\color{red}7500}}{\cancel{75}}}{\cancel{0.01}}\\\& \boxed{m = 7500}\\\\\\& b+m = 12,100 && \text{Substitute the value for} \ m \ \text{into the equation.}\\\& b+ {\color{red}7500} = 12,100 && \text{Solve the equation.}\\\& b+7500 {\color{red}-7500} = 12,100 {\color{red}-7500}\\\& \boxed{b = 4600}

María invirtió $4600 en bonos y $7500 en fondos de inversión.

Ejemplo C

Pedro estaba ahorrando monedas de 25 centavos y de 10 centavos para comprar una patineta nueva. Luego de guardar las monedas en una botella durante varios meses, la vació y contó su contenido. Las 561 monedas en la botella tenían un valor total de $107.85. ¿Cuántas monedas de cada tipo había en la botella?

Solución: Las dos cantidades en este problema son la cantidad de monedas de 25 centavos y la de monedas de 10 centavos.

  • Sea la cantidad de monedas de 25 centavos “ q ’.
  • Sea la cantidad de monedas de 10 centavos “ d ’.

Las ecuaciones serían:

  • La cantidad total de monedas en la botella fue 561 \rightarrow \boxed{q+d=561}
  • La cantidad total de monedas en la botella fue \$ 107.85 \rightarrow \boxed{0.25q+0.10d=107.85}

Este sistema se resolverá utilizando el método de sustitución. Resuelva la primera ecuación a partir de las monedas de 25 centavos.

& q+d = 561\\\& q+d {\color{red}-d} = 561 {\color{red}-d}\\\& \boxed{q = 561-d}\\\\\\& 0.25q+0.10d = 107.85 && \text{Substitute the value for} \ q \ \text{into the equation.}\\\& 0.25({\color{red}561-d})+0.10d = 107.85 && \text{Apply the distributive property.}\\\& {\color{red}140.25-0.25d}+0.10d = 107.85 && \text{Solve the equation.}\\\& 140.25 {\color{red}-0.15d} = 107.85\\\& 140.25 {\color{red}-140.25}-0.15d = 107.85 {\color{red}-140.25}\\\& -0.15d = {\color{red}-32.40}\\\& \frac{-0.15d}{{\color{red}-0.15}} = \frac{-32.40}{{\color{red}-0.15}}\\\& \frac{{\cancel{-0.15}d}}{\cancel{-0.15}} = \frac{\overset{{\color{red}216}}{\cancel{-32.40}}}{\cancel{-0.15}}\\\& \boxed{d = 216}\\\\\\& q+d = 561 && \text{Substitute the value for} \ d \ \text{into the equation.}\\\& q+ {\color{red}216} = 561 && \text{Solve the equation.}\\\& q+216 {\color{red}-216} = 561 {\color{red}-216}\\\& q = {\color{red}345}\\\& \boxed{q = 345}

La cantidad de monedas de 25 centavos que Pedro ahorró en la botella fue de 345 y la cantidad de monedas de 10 centavos fue 216.

Ejemplo D

Bayplex y Centre 200 alquilan su hielo a la comunidad siempre que sea posible. Bayplex cobra una tarifa plana de $20.00 más $15.00 por cada hora alquilada. Centre 200 cobra $50.00 como tarifa plana pero solo pide $10.00 por cada hora rentada.

a) Escriba una ecuación para modelar el costo de alquilar la pista de hielo para cada recinto.

b) Determine el punto de intersección de las ecuaciones. ¿Qué representa este punto de intersección?

c) Explique cuándo es mejor utilizar Bayplex y cuándo es mejor utilizar Center 200.

Solución:

a) Empiece por escribir las ecuaciones para modelar el costo de alquilar la pista de hielo en cada recinto.

  • El costo de alquiler del hielo en Bayplex \rightarrow \boxed{c=15h+20}
  • El costo de alquiler del hielo en Centre 200 \rightarrow \boxed{c=10h+50}

b) El punto de intersección de los costos de los recintos se puede determinar utilizando el método de comparación. Ambas ecuaciones son iguales a la variable “ c ’.

15h+20 &= 10h+50 && \text{Solve the equation.}\\\15h+20 {\color{red}-20} &= 10h+50 {\color{red}-20}\\\15h &= 10h {\color{red}+30}\\\15h {\color{red}-10h} &= 10h {\color{red}-10h}+30\\\{\color{red}5h} &= 30\\\\frac{5h}{{\color{red}5}} &= \frac{30}{{\color{red}5}}\\\\frac{\cancel{5}h}{\cancel{5}} &= \frac{\overset{{\color{red}6}}{\cancel{30}}}{\cancel{5}}\\\h &= 6

Sustituya el valor de “ h ” en una de las ecuaciones originales.

& c = 15h+20\\\& c = 15 ({\color{red}6})+20 && \text{Evaluate the equation.}\\\& c = {\color{red}90}+20\\\& \boxed{c = \$ 110}

El punto de intersección del sistema de ecuaciones lineales es (6,110). Este punto es el tiempo en que el costo de alquiler de ambos recintos es el mismo. Alquilar Bayplex por seis horas costará $110 y alquilar Centre 200 por seis horas costará $110.

c) La tarifa plana para alquilar Bayplex solo es $20.00. Por lo tanto, costará menos alquilar Bayplex por menos de seis horas, pero más si se alquila por más de seis horas. Si necesita alquilar la pista por más de seis horas, alquile Centre 200.

Revisión del problema de concepto

Determine dos números de forma que su suma sea 763 y su diferencia 179.

  • Si “ x ” representa el número mayor.
  • Si “ y ” representa el número menor.

Escriba una ecuación para modelar: la suma de los dos números es 763. \rightarrow \boxed{x+y=763}

Escriba una ecuación para modelar: la diferencia de los dos números es 179. \rightarrow \boxed{x-y=179}

El sistema de ecuaciones \begin{Bmatrix}x+y=763\\\x-y=179\end{Bmatrix} puede resolverse mediante un método de su elección. Elija uno de los métodos algebraicos que ha aprendido para resolver el sistema. La eliminación sería una buena elección ya que la variable “ y ” tiene coeficientes numéricos iguales y opuestos.

& \begin{Bmatrix}x+y=763\\\x-y=179\end{Bmatrix}\\\\& x + {\cancel{y}}=763\\& \underline{x -{\cancel{y}}=179} && \text{Add the equations to eliminate} \ y.\\& \quad 2x=942\\\\& 2x=942 && \text{Solve the equation for the variable} \ x.\\& \frac{2x}{2}=\frac{942}{2}\\& \frac{\cancel{2}x}{\cancel{2}}=\frac{\overset{{\color{red}471}}{\cancel{942}}}{\cancel{2}}\\& \boxed{x=471}\\\\& x+y=763 && \text{Substitute the value for} \ x \ \text{into one of the original equations.}\\& ({\color{red}471})+y=763\\& 471 {\color{red}-471}+y=763 {\color{red}-471} && \text{Solve the equation.}\\& \boxed{y = 292}

El número mayor es 471 (x) y el número menor es 292 (y) .

Vocabulario

Sistema de ecuaciones lineales
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de dos ecuaciones lineales, cada una con dos variables. Este tipo de sistema (dos ecuaciones con dos incógnitas) se llama sistema de ecuaciones lineales 2 \times 2 .

Práctica guiada

1. La edad de Henry y la de su mamá suman 67. La edad de su mamá es tres veces la edad de Henry aumentada en 7. ¿Cuál es la edad de Henry?

2. Los Sydney Schooners jugaron un total de 41 partidos de hockey. La cantidad de juegos perdidos fue diez menos que la mitad de los juegos ganados. ¿Cuántos juegos ganaron los Schooners?

3. Tim invirtió $3000. Una parte del dinero se invirtió en un fondo universitario que pagaba 8 % de interés anual y el resto se invirtió en un fondo de retiro que pagaba 7 % de interés anual. Al final del primer año, el interés del fondo universitario era $60 más que el interés del fondo de retiro. ¿Cuánto dinero invirtió Tim en cada fondo?

Respuestas:

1. Las dos cantidades en este problema son la edad de Henry y la de su mamá. Sea la edad de Henry “ h ’. Sea la edad de su mamá “ m ’. Las ecuaciones serían:

La suma de la edad de Henry y la de su mamá es 67. \rightarrow \boxed{h+m=67}
Tres veces la edad de Henry aumentada en 7 es la edad de su mamá. \rightarrow 3h+7=m
El sistema de ecuaciones se resolverá mediante sustitución.
& \begin{Bmatrix}h+m=67\\\3h+7=m\end{Bmatrix}\\\& h+m = 67 && \text{Substitute} \ 3h+7 \ \text{into the equation for} \ m.\\\& h+({\color{red}3h+7}) = 67 && \text{Apply the distributive property.}\\\& h {\color{red}+3h+7} = 67 && \text{Solve the equation.}\\\& {\color{red}4h}+7 = 67 &&\\\& 4h+7 {\color{red}-7} = 67 {\color{red}-7}\\\& 4h = {\color{red}60}\\\& \frac{4h}{{\color{red}4}} = \frac{60}{{\color{red}4}}\\\& \frac{\cancel{4}h}{\cancel{h}} = \frac{\overset{{\color{red}15}}{\cancel{60}}}{\cancel{4}}\\\& \boxed{h = 15} && \text{Henry is} \ 15 \ \text{years old. The problem asked for his mother's age.}\\\\\\& 3h+7 = m && \text{Substitute} \ 15 \ \text{into the equation for} \ h.\\\& 3({\color{red}15})+7 = m && \text{Solve the equation.}\\\& {\color{red}45}+7 = m\\\& \boxed{52 = m} && \text{Henry's mother is} \ 52 \ \text{years of age.}

2. Las dos cantidades en este problema son la cantidad de juegos ganados y la cantidad de juegos perdidos. Sea la cantidad de juegos ganados “ w ’. Sea la cantidad de juegos perdidos “ l ’. Las ecuaciones serían:

La cantidad total de juegos jugados (victorias y derrotas) es 41. \rightarrow \boxed{l+w=41}
La cantidad de juegos perdidos fue 10 menos que la mitad de los juegos ganados. \rightarrow \boxed{l=\frac{w}{2}-10}
El sistema de ecuaciones se resolverá mediante eliminación.
& l = \frac{w}{2}-10 && \text{Multiply the equation by} \ 2.\\\& {\color{red}2}(l) = {\color{red}2} \left[\frac{w}{2}\right]-{\color{red}2}(10)\\\& {\color{red}2}(l) = {\color{red}\cancel{2}} \left[\frac{w}{\cancel{2}}\right]-{\color{red}2}(10)\\\& {\color{red}2l} = {\color{red}w}-{\color{red}20} && \text{Align the equations such that} \begin{Bmatrix} a_1 {\color{red}x}+b_1 {\color{blue}y}=c_1\\\ a_2 {\color{red}x}+b_2 {\color{blue}y}=c_2\end{Bmatrix}\\\& 2l {\color{red}-w} = w {\color{red}-w}-20\\\& \boxed{2l-w = -20}
El sistema de ecuaciones lineales a resolver mediante eliminación es:
& \begin{Bmatrix}l+w=41\\\2l-w=-20\end{Bmatrix}\\\\\\& l + \cancel{w} = 41\\\& \underline{2l -\cancel{w}=-20} && \text{Add the equations to eliminate} \ w.\\\& {\color{red}3l = 21}\\\& 3l=21 && \text{Solve the equation.}\\\& \frac{3l}{{\color{red}3}} = \frac{21}{{\color{red}3}}\\\& \frac{\cancel{3}l}{\cancel{3}} = \frac{\overset{{\color{red}7}}{\cancel{21}}}{\cancel{3}}\\\& \boxed{l=7} && \text{The number of games the Schooners lost was seven.}\\\\\\& l+w=41 && \text{Substitute} \ 7 \ \text{into the equation for the variable} \ l.\\\& {\color{red}7}+w=41 && \text{Solve the equation.}\\\&7 {\color{red}-7}+w=41 {\color{red}-7}\\\& w = {\color{red}34}\\\& \boxed{w=34} && \text{The number of games the Schooners won was} \ 34.

3. Las dos cantidades en este problema son la cantidad de dinero invertido en el fondo universitario y la cantidad de dinero invertida en el fondo de retiro. Sea la cantidad de dinero invertida en el fondo universitario “ c ’. Sea la cantidad de dinero invertida en el fondo de retiro “ r ’. Las ecuaciones serían:

La cantidad total de dinero invertido es $3000 \rightarrow \boxed{c+r=3000}
La cantidad de interés del 8 % del fondo universitario es $60 más que la cantidad de interés del 7 % del fondo de retiro. \rightarrow \boxed{.08c=.07r+60}
El sistema de ecuaciones se resolverá mediante sustitución.
& c+r = 3000 && \text{Solve the equation for} \ c.\\\& c+r {\color{red}-r} = 3000 {\color{red}-r}\\\& \boxed{c = 3000-r}\\\& 0.08c = 0.07r+60 && \text{Substitute} \ 3000-r \ \text{into the equation for the variable} \ c.\\\& 0.08({\color{red}3000-r}) = 0.07r+60 && \text{Apply the distributive property. Solve the equation.}\\\& {\color{red}240-0.08r} = 0.07r+60\\\& 240 {\color{red}-240}-0.08r = 0.07r+60 {\color{red}-240}\\\& -0.08r {\color{red}-0.07r} = 0.07r {\color{red}-0.07r}-180\\\& {\color{red}-0.15r} = -180\\\& \frac{-0.15r}{{\color{red}-0.15}} = \frac{-180}{{\color{red}-0.15}}\\\& \frac{\cancel{-0.15}r}{\cancel{-0.15}} = \frac{\overset{{\color{red}1200}}{\cancel{-180}}}{\cancel{-0.15}}\\\& \boxed{r = 1200} && \text{The amount of money invested in the retirement fund was} \ \$1200.\\\\\\& c = 3000-r && \text{Substitute} \ 1200 \ \text{into the equation for} \ r.\\\& c = 3000 -{\color{red}1200} && \text{Solve the equation.}\\\& c = {\color{red}1800}\\\& \boxed{c = 1800} && \text{The amount of money invested in the college fund was} \ \$1800.

Práctica

Escriba cada una de las siguientes afirmaciones como una ecuación lineal de dos variables.

  1. La suma de dos números es 100.
  2. Cuando se suma seis veces el número mayor a 4 veces el número menor, el resultado es 112.
  3. El largo de un rectángulo es 8 m más que 7 veces su ancho.
  4. Cuatro veces el número de monedas de cinco centavos, menos tres veces el número de monedas de un centavo es 56.
  5. Jason tiene algunos billetes de $5 y algunos de $1 que suman un total de $91.

Resuelva cada uno de los siguiente problemas utilizando sistema de ecuaciones lineales 2 \times 2 .

  1. En una fiesta, había 72 personas. La anfitriona contó los zapatos y descubrió que había 32 pares más de zapatos de mujer en comparación con la cantidad de zapatos de hombre. ¿Cuántos hombres y cuántas mujeres había en la fiesta?
  2. Dos programas de pérdida de peso ofrecen servicios competitivos. Super Slim cobra $33 para inscribirse y $1.50 por sesión mientras que Think Thin cobra $2.50 por sesión y $15 para inscribirse. Determine de forma algebraica bajo qué circunstancias elegiría cada plan.
  3. Hoy Sam tiene el doble de la edad de Jenny. Tres años atrás, la suma de sus edades era 45. ¿Qué edad tienen Sam y Jenny hoy?
  4. El estacionamiento en un parque de diversiones local tiene capacidad para 123 vehículos (automóviles y autobuses). A cada automóvil se le cobra $3 para estacionar por el día y a cada autobús se le cobra $10. Si el ingreso total del día fue $481.00, ¿cuántos automóviles hubo en el estacionamiento?
  5. Siete veces el mayor de dos números menos tres veces el menor es 351. Seis veces el mayor menos dos veces el menor es 342. ¿Cuáles son los números?
  6. El equipo de debate lavó automóviles para recaudar dinero para un viaje. Cobraron $8 a los automóviles grandes y $5 a los pequeños. En total recaudaron $550 y lavaron 80 automóviles. ¿Cuántos automóviles de cada tipo lavaron?
  7. Los lápices cuestan $0.10 cada uno y los cuadernos cuestan $2 cada uno. Usted compra 15 artículos y gasta $9.10. ¿Cuántos lápices compró? ¿Cuántos cuadernos compró?
  8. La suma de dos números es 15 y su producto es 36. ¿Cuáles son los números?
  9. La caja de cereal cuesta $3.50 y el galón de leche cuesta $2.79. Suponga que compra cinco artículos y gasta $16.08. ¿Cuántas cajas de cereal y cuántos galones de leche compró?
  10. Dos veces la suma de los dos números es 72 mientras que la diferencia entre los dos números es 22. ¿Cuáles son los números?
PrevNext

Licencia

Licencia epub de ck12

Para acceder a una versión a medida de este libro, así como a otros contenidos interactivos, visite www.ck12.org

 

CK-12 Foundation es una organización sin fines de lucro que tiene como misión reducir el costo de los materiales de texto para el mercado de K-12, tanto en EE. UU. como a nivel mundial. Utilizando un modelo colaborativo de contenido abierto y que se basa en la web llamado FlexBook®, CK-12 se propone ser la pionera en la generación y distribución de contenido educativo de alta calidad que servirá de texto principal y también proporcionará un entorno adaptativo para el aprendizaje, impulsado a través de FlexBook Platform®.

Copyright © 2014 CK-12 Foundation, www.ck12.org

Los nombres "CK-12" y "CK12" y los logotipos asociados y los términos "FlexBook®" y "FlexBook Platform®" (en conjunto "CK-12 Marks") son marcas registradas y marcas de servicio de CK-12 Foundation y están protegidos por las leyes federales, estatales e internacionales.

Cualquier forma de reproducción de este libro, en cualquier formato o medio, en su totalidad o en secciones, debe incluir el enlace de atribución de referencia http://www.ck12.org/saythanks (ubicado en un lugar visible) además de los siguientes términos.

A menos que se indique de otra manera, todo el contenido de CK-12 (incluido el material del curriculum de CK-12) está disponible para los usuarios de acuerdo con la licencia Creative Commons, Reconocimiento - NoComercial 3.0 NoDerivadas (CC BY-NC 3.0) (http://creativecommons.org/licenses/by-nc/3.0/), y sus enmiendas y actualizaciones realizadas por Creative Commons en forma periódica (la "licencia CC"), que se incluye aquí por esta referencia.

Los términos completos se pueden encontrar en http://www.ck12.org/terms.

by-nc-na

×