Gráficos de desigualdades lineales

Aquí aprenderá a graficar una desigualdad lineal en el plano cartesiano.

Una ecuación lineal es una línea cuando se grafica. ¿Qué pasa con la desigualdad lineal? ¿Puede representar la siguiente desigualdad lineal en el plano cartesiano?

$2x-3y < 6$

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Khan Academy Graphing Linear Inequalities (Gráficos de desigualdades lineales) *Este video solo está disponible en inglés

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Guía

Cuando en una cuadrícula se grafica una desigualdad lineal, la solución aparecerá como un área sombreada, a diferencia de una simple línea recta. La forma general de una desigualdad lineal con dos variables es $ax+by>c$ o $ax+by<c$ , donde “ $a$ ” y “ $b$ ” son los coeficientes de las variables y no son iguales a cero. La constante es “ $c$ ’.

El símbolo de desigualdad $(>)$ se lee “mayor que” y el símbolo de desigualdad $(<)$ se lee “menor que”. El símbolo de desigualdad $(\ge)$ se lee “mayor o igual que” y el símbolo de desigualdad $(\le)$ se lee “menor o igual que”. El símbolo de desigualdad determina si la línea es punteada o sólida.

Todas las desigualdades que tienen el símbolo $(>)$ o $(<)$ se grafican con una línea punteada.
Todas las desigualdades que tienen el símbolo $(\ge)$ o $(\le)$ se grafican con una línea sólida.

No olvide que cuando una desigualdad se divide o multiplica por un número negativo, la dirección del signo de desigualdad se invierte.

Ejemplo A

Grafique la desigualdad $3x+4y \le 12$ .

Solución:

$& 3x+4y \le 12 && \text{Write the inequality in slope intercept form } (y=mx+b).\\\& 3x{\color{red}-3x}+4y \le {\color{red}-3x}+12\\\& 4y \le {\color{red}-3x}+12\\\& \frac{4y}{{\color{red}4}} \le \frac{-3x}{{\color{red}4}}+\frac{12}{{\color{red}4}}\\\& \frac{\cancel{4}y}{\cancel{4}} \le \frac{-3x}{4}+\frac{\overset{{\color{red}3}}{\cancel{12}}}{\cancel{4}}\\\& \boxed{y \le -\frac{3}{4}x+3}$

El gráfico anterior representa el gráfico de la desigualdad antes de sombrear la región del conjunto solución. La línea es una línea sólida porque el símbolo de desigualdad es $(\le)$ . Para determinar si hay que sombrear por encima o por debajo de la línea, elija un punto que no esté en la línea y pruebe sus coordenadas en la desigualdad original. Si las coordenadas del punto satisfacen la desigualdad, entonces el área por encima o por debajo de la línea, que contiene el punto, se sombreará. Si las coordenadas del punto no satisfacen la desigualdad, entonces el área por encima o por debajo de la línea, que no contiene el punto de prueba, se sombreará. El punto (1, 1) no está en la línea graficada. Se evaluará el punto para determinar si las coordenadas satisfacen la desigualdad.

$3x+4y &\le 12\\\3({\color{red}1})+4({\color{red}1}) &\le 12 && \text{Substitute} \ (1, 1) \ \text{for} \ x \ \text{and} \ y \ \text{of the original inequality.}\\\{\color{red}3}+{\color{red}4} &\le 12 && \text{Evaluate the inequality.}\\\{\color{red}7} &\le 12 && \text{Is it true?}$

Sí, siete es menor que 12. El punto (1, 1) cumple la desigualdad. Por lo tanto, el conjunto solución está en el área por debajo de la línea que contiene el punto (1, 1). El par ordenado que satisface la desigualdad permanecerá dentro de la región sombreada.

El conjunto solución de la desigualdad es la región sombreada entera que se muestra en el gráfico. La línea sólida significa que todos los puntos en la línea satisfarán la desigualdad. En general, sombreará por debajo de la línea si la desigualdad es de la forma $y<mx+b$ o $y\le mx+b$ .

Ejemplo B

Grafique la desigualdad $2x-4y < -12$ .

Solución:

$& 2x-4y < -12 && \text{Write the inequality in slope intercept form} \ (y=mx+b).\\\& 2x{\color{red}-2x}-4y < {\color{red}-2x}-12\\\& -4y < {\color{red}-2x}-12\\\& \frac{-4y}{{\color{red}-4}} < \frac{-2x}{{\color{red}-4}} -\frac{12}{{\color{red}-4}}\\\& \frac{\cancel{-4}y}{\cancel{-4}}<\frac{-2x}{-4}-\frac{\overset{{\color{red}-3}}{\cancel{12}}}{\cancel{-4}}\\\& \boxed{y \ {\color{red}>} \ \frac{1}{2}x+3}$

Observe que la desigualdad se dividió por 4 negativo, lo que provocó que se invierta la dirección del signo de la desigualdad.

El gráfico anterior representa el gráfico de la desigualdad antes de sombrear la región del conjunto solución. La línea es punteada porque el símbolo de la desigualdad es $(<)$ . Para determinar si hay que sombrear por encima o por debajo de la línea, elija un punto que no esté en la línea y pruebe sus coordenadas en la desigualdad original. Si las coordenadas del punto satisfacen la desigualdad, entonces el área por encima o por debajo de la línea, que contiene el punto, se sombreará. Si las coordenadas del punto no satisfacen la desigualdad, entonces el área por encima o por debajo de la línea, que no contiene el punto de prueba, se sombreará. El punto (1, 1) no está en la línea graficada. Se evaluará el punto para determinar si las coordenadas satisfacen la desigualdad.

$2x-4y &< -12\\\2({\color{red}1})-4({\color{red}1}) &< -12 && \text{Substitute} \ (1, 1) \ \text{for} \ x \ \text{and} \ y \ \text{of the original inequality.}\\\{\color{red}2-4} &< -12 && \text{Evaluate the inequality.}\\\{\color{red}-2} &< -12 && \text{Is it true?}$

No, dos negativo es mayor que doce negativo. El punto (1, 1) no satisface la desigualdad. Por lo tanto, el conjunto solución es toda el área por encima de la línea que no contiene el punto (1, 1). El par ordenado no satisface la desigualdad y no permanecerá dentro de la región sombreada.

El conjunto solución de la desigualdad es la región sombreada entera que se muestra en el gráfico. La línea punteada significa que ninguno de los puntos en la línea satisface la desigualdad. En general, sombreará por encima de la línea si la desigualdad es de la forma $y>mx+b$ o $y\ge mx+b$ .

Ejemplo C

Para la siguiente gráfica, determine la desigualdad, en la forma de intersección de la pendiente.

Solución: Empiece por determinar la pendiente de la línea. La pendiente de la línea se determina contando 2 unidades a la derecha y 3 unidades hacia arriba. La pendiente de la línea para este gráfico es

$m=\frac{rise}{run}={\color{red}\frac{3}{2}}$

La intersección de la línea con $y$ es (0, –2). La ecuación de la línea en la forma de intersección de la pendiente es

$y=\frac{3}{2}x-2$

El conjunto solución se encuentra en la región sombreada que está por encima de la línea. La línea es una línea sólida. Por lo tanto, el símbolo de desigualdad que se debe insertar es mayor o igual que. La desigualdad que se modela en el grafico anterior es:

$\boxed{y \ge \frac{3}{2}x-2}$

Revisión del problema de concepto

$2x-3y < 6$

El primer paso es expresa la desigualdad en forma de intersección de la pendiente. Este proceso es igual que para las ecuaciones lineales.

$& 2x-3y < 6\\\& 2x{\color{red}-2x}-3y < {\color{red}-2x}+6\\\& -3y < -2x+6\\\& \frac{-3y}{{\color{red}-3}} < \frac{-2x}{{\color{red}-3}} + \frac{6}{{\color{red}-3}}\\\& \frac{\cancel{-3}y}{\cancel{-3}} < \frac{-2x}{-3} + \frac{\overset{{\color{red}-2}}{\cancel{6}}}{\cancel{-3}}\\\& \boxed{y \ {\color{red}>} \ \frac{2}{3}x-2}$

Observe que la desigualdad se dividió por 3 negativo, lo que provocó que se invierta la dirección del signo de la desigualdad.

El gráfico de la desigualdad se hace de la misma manera que para una ecuación lineal. En este caso, el gráfico será una línea punteada porque el signo es mayor que $(>)$ .

El gráfico anterior representa el gráfico de la desigualdad antes de sombrear la región del conjunto solución. Para determinar si hay que sombrear por encima o por debajo de la línea, elija un punto que no esté en la línea y pruebe sus coordenadas en la desigualdad original. Si las coordenadas del punto satisfacen la desigualdad, entonces el área por encima o por debajo de la línea, que contiene el punto, se sombreará. Si las coordenadas del punto no satisfacen la desigualdad, entonces el área por encima o por debajo de la línea, que no contiene el punto de prueba, se sombreará.

El punto (1, 1) no está en la línea graficada. Se evaluará el punto para determinar si las coordenadas satisfacen la desigualdad.

$2x-3y &< 6\\\2({\color{red}1})-3({\color{red}1}) &< 6 && \text{Substitute} \ (1, 1) \ \text{for} \ x \ \text{and} \ y \ \text{of the original inequality.}\\\{\color{red}2}- {\color{red}3} &< 6 && \text{Evaluate the inequality.}\\\{\color{red}-1} &< 6 && \text{Is it true?}$

Sí, uno negativo es menor que seis. El punto (1, 1) satisface la desigualdad. Por lo tanto, el conjunto solución es toda el área por encima de la línea que contiene el punto (1, 1). El par ordenado que satisface la desigualdad permanecerá dentro de la región sombreada.

El conjunto solución de la desigualdad es la región sombreada entera que se muestra en el gráfico. La línea punteada significa que ninguno de los puntos en la línea satisface la desigualdad.

Vocabulario

Desigualdad: Una desigualdad es un enunciado que muestra una relación entre dos expresiones que no siempre son iguales. Una desigualdad se escribe utilizando uno de los siguientes símbolos de desigualdad: mayor que $(>)$ ; menor que $(<)$ ; mayor o igual que $(\ge)$ ; menor o igual que $(\le)$ . La solución de una desigualdad se indica mediante una región sombreada que contiene todos los pares ordenados que satisfacen la desigualdad.

Práctica guiada

1. Sin graficar, determine si cada punto está en la región sombreada de cada desigualdad.

i) (2, –3) y $2y<-3x+1$

ii) (–3, 5) y $-3x > 2y+6$

2. Grafique la siguiente desigualdad: $5x-3y \ge 15$

3. Determine la desigualdad que modela el siguiente gráfico:

Respuestas:

1. Si el punto cumple la desigualdad, entonces está dentro de la región sombreada. Sustituya las coordenadas del punto en la desigualdad y evalúela. Si la solución es verdadera, el punto está dentro del área sombreada.

$2y &< -3x+1 && \text{Substitute} \ (2, -3) \ \text{for} \ x \ \text{and} \ y \ \text{in the inequality.}\\\2({\color{red}-3}) &< -3({\color{red}2})+1 && \text{Evaluate the inequality.}\\\{\color{red}-6} &< {\color{red}-6}+1\\\-6 &< {\color{red}-5} && \text{Is it true?}$

Sí, seis negativo es menor que cinco negativo. El punto (2, -3) satisface la desigualdad. El par ordenado permanecerá dentro de la región sombreada.

ii)

$-3x &> 2y+6 && \text{Substitute} \ (-3, 5) \ \text{for} \ x \ \text{and} \ y \ \text{in the inequality.}\\\-3({\color{red}-3}) &> 2({\color{red}5})+6 && \text{Evaluate the inequality.}\\\{\color{red}9} &> {\color{red}10}+6\\\9 &> {\color{red}16} && \text{Is it true?}$

No, nueve no es mayor que dieciséis. El punto (-3, 5) no satisface la desigualdad. El par ordenado no satisface la desigualdad y no permanecerá dentro de la región sombreada.

$& 5x-3y \ge 15 && \text{Write the inequality in slope intercept form} \ (y=mx+b).\\\& 5x{\color{red}-5x}-3y \ge {\color{red}-5x}+15\\\& -3y \ge -5x+15\\\& \frac{-3y}{{\color{red}-3}} \ge \frac{-5x}{{\color{red}-3}} + \frac{15}{{\color{red}-3}}\\\& \frac{\cancel{-3}y}{\cancel{-3}} \ge \frac{5}{3}x + \frac{\overset{{\color{red}-5}}{\cancel{15}}}{\cancel{-3}}\\\& \boxed{y \ {\color{red}\le} \ \frac{5}{3}x-5}$

Observe que la desigualdad se dividió por 3 negativo, lo que provocó que se invierta la dirección del signo de la desigualdad.

¿Está sombreado de forma correcta el gráfico de la desigualdad?

El punto (1, 1) no está en la línea graficada. Se evaluará el punto para determinar si las coordenadas satisfacen la desigualdad.

$5x-3y &\ge 15\\\5({\color{red}1})-3({\color{red}1}) &\ge 15 && \text{Substitute} \ (1, 1) \ \text{for} \ x \ \text{and} \ y \ \text{of the original inequality.}\\\{\color{red}5}{\color{red}-3} &\ge 15 && \text{Evaluate the inequality.}\\\{\color{red}2} &\ge 15 && \text{Is it true?}$

No, dos no es mayor o igual que quince. El punto (1, 1) no satisface la desigualdad. El par ordenado no satisface la desigualdad y no permanecerá dentro de la región sombreada.

3. Empiece por determinar la pendiente de la línea. La pendiente de la línea se determina contando 2 unidades hacia la izquierda y 4 unidades hacia abajo. La pendiente de la línea para este gráfico es

$m=\frac{rise}{run}={\color{red}\frac{-4}{-2}}={\color{red}2}$

La intersección de la línea con $y$ es (0, –3). La ecuación de la línea en la forma de intersección de la pendiente es $y=2x-3$

El conjunto solución se encuentra en la región sombreada que está por debajo de la línea. La línea es una línea sólida. Por lo tanto, el símbolo de desigualdad que debe insertarse es menor o igual que La desigualdad que se modela en el grafico anterior es:

$\boxed{y \le 2x-3}$

Práctica

Sin graficar, determine si cada punto está en la región sombreada de cada desigualdad.

(2, 1) y $2x+y>5$
(–1, 3) y $2x-4y \le -10$
(–5, –1) y $y > -2x+8$
(6, 2) y $2x+3y \ge -2$
(5, –6) y $2y< 3x+3$

Determine la desigualdad que se modela en cada uno de los gráficos siguientes.

Grafique las desigualdades lineales siguientes en el plano cartesiano.

$4x-2y>8$
$4y-3x \le -8$
$x-y < -3$
$3x+y > -1$
$x+3y \ge 9$

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