Soluciones gráficas a sistemas de desigualdades

Aquí aprenderá a resolver un sistema de desigualdades lineales mediante gráficos.

Resuelva el siguiente sistema de desigualdades lineales en la misma cuadrícula cartesiana.

$\begin{Bmatrix} y>-\frac{1}{2}x+2 \\\ y \le 2x-3\end{Bmatrix}$

¿Cuál es la solución a este sistema?

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Khan Academy Systems of Linear Inequalities (Sistemas de desigualdades lineales) *Este video solo está disponible en inglés

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Guía

Cuando se grafica una desigualdad lineal aparece como región sombreada en el plano cartesiano. Por lo tanto, cuando un sistema de desigualdades lineales se grafica, verá dos regiones sombreadas que probablemente se superpongan en algunas partes. La solución a un sistema de desigualdades lineales es esta región de intersección. La solución a un sistema de desigualdades lineales también se conoce como región factible .

Ejemplo A

Resuelva el siguiente sistema de desigualdades lineales mediante gráficos:

$\begin{Bmatrix} -2x-6y \le 12\\\ -x +2y > -4\end{Bmatrix}$

Solución:

Escriba cada desigualdad en la forma de intersección de la pendiente.

$& -2x-6y \le 12\\\& -2x{\color{red}+2x}-6y \le {\color{red}2x}+12\\\& -6y \le {\color{red}2x}+12\\\& \frac{-6y}{{\color{red}-6}} \le \frac{2x}{{\color{red}-6}} + \frac{12}{{\color{red}-6}}\\\& \frac{\cancel{-6}y}{\cancel{-6}} \le -\frac{2}{6}x+\frac{\overset{{\color{red}-2}}{\cancel{12}}}{\cancel{-6}} \quad \text{Simplify the slope to lowest terms.} \ \boxed{-\frac{2}{6}=-\frac{1}{3}}\\\& \boxed{y \ {\color{red}\ge} \ -\frac{1}{3}x-2}$

$& -x+2y > -4\\\& -x{\color{red}+x}+2y > {\color{red}x}-4\\\& 2y > {\color{red}x}-4\\\& \frac{2y}{{\color{red}2}} > \frac{x}{{\color{red}2}} -\frac{4}{{\color{red}2}}\\\& \frac{\cancel{2}y}{\cancel{2}} > \frac{1}{2}x - \frac{\overset{{\color{red}2}}{\cancel{4}}}{\cancel{2}}\\\& \boxed{y > \frac{1}{2}x-2}$

Gráfico: $y \ge -\frac{1}{3}x-2$ .

El punto (1, 1) no está en la línea graficada. Pruebe el punto (1, 1) para determinar la ubicación de la sombra.

$-2x-6y &\le 12\\\-2({\color{red}1})-6({\color{red}1}) &\le 12\\\{\color{red}-2-6} &\le 12\\\{\color{red}-8} &\le 12 \quad \text{Is it true?}$

Sí, ocho negativo es menor o igual que doce. El punto (1, 1) satisface la desigualdad y permanecerá dentro de la región sombreada.

Ahora grafique $y>\frac{1}{2}x-2$ en la misma cuadrícula cartesiana.

El punto (1, 1) no está en la línea graficada. Pruebe el punto (1, 1) para determinar la ubicación de la sombra.

$-x+2y &> -4\\\-({\color{red}1})+2({\color{red}1}) &> -4\\\{\color{red}-1} + {\color{red}2} &> -4\\\{\color{red}1} &> -4 \quad \text{Is it true?}$

Sí, uno es mayor que cuatro negativo. El punto (1, 1) satisface la desigualdad y permanecerá dentro de la región sombreada.

La región que se indica como región factible es el área del gráfico donde se superponen las sombras de cada línea. Esta región contiene todos los puntos que satisfarán ambas desigualdades.

La región factible es el área sombreada en azul.

Ejemplo B

Resuelva el siguiente sistema de desigualdades lineales mediante gráficos:

$\begin{Bmatrix} x \ge 1\\\ y > 2\end{Bmatrix}$

Solución:

Estas son las líneas especiales que necesitan ser graficadas. La primera es una línea que tiene una pendiente indefinida. El gráfico es una línea vertical paralela al eje $y$ . La segunda es una línea que tiene una pendiente de cero. El gráfico es una línea paralela al eje $x$ .

Gráfico: $x \ge 1$ .

En el gráfico, cada punto a la derecha de la línea vertical tiene un valor de $x$ que es mayor que uno. Por lo tanto, el gráfico debe sombrearse a la derecha de la línea vertical.

Ahora grafique $y>2$ en la misma cuadrícula cartesiana.

En el gráfico, cada punto por encima de la línea horizontal tiene un valor de $y$ que es mayor que dos. Por lo tanto, el gráfico debe sombrearse por encima de la línea horizontal.

La región que se indica como región factible es el área del gráfico donde se superponen las sombras de cada línea. Esta región contiene todos los puntos que satisfarán ambas desigualdades.

La región factible es el área sombreada en púrpura.

Ejemplo C

Pueden sombrearse más de dos desigualdades en el mismo plano cartesiano. El conjunto solución es todas las coordenadas que permanecen dentro de las regiones sombreadas que se superponen. Cuando más de dos desigualdades se sombrean en la misma cuadrícula, el sombreado debe hacerse de forma precisa y prolija. Resuelva el siguiente sistema de desigualdades lineales mediante gráficos:

$\begin{Bmatrix} y < x+1\\\ y \ge -2x+4\\\ y > 0 \end{Bmatrix}$

Solución: Gráfico $y<x+1$ :

El punto (1, 1) no está en la línea graficada. Pruebe el punto (1, 1) para determinar la ubicación de la sombra.

$y &< x+1\\\({\color{red}1}) &< ({\color{red}1}) +1\\\{\color{red}1} &< {\color{red}1}+1\\\1 &< {\color{red}2} \quad \text{Is it true?}$

Sí, uno es menor que dos. El punto (1, 1) satisface la desigualdad y permanecerá dentro de la región sombreada.

$y \ge -2x+4$

El punto (1, 1) no está en la línea graficada. Pruebe el punto (1, 1) para determinar la ubicación de la sombra.

$y &\ge -2x+4\\\({\color{red}1}) &\ge -2({\color{red}1})+4\\\{\color{red}1} &\ge {\color{red}-2}+4\\\1 &\ge {\color{red}2} \quad \text{Is it true?}$

No, uno no es mayor o igual que dos. El punto (1, 1) no satisface la desigualdad y no permanecerá dentro de la región sombreada.

$y>0$

El gráfico de $y>0$ es una línea horizontal a lo largo del eje $x$ . Todo punto por encima de la línea horizontal tiene un valor de $y$ mayor que cero. Por lo tanto, el área sombreada estará por encima de la línea graficada.

La región que se indica como región factible es el área del gráfico donde se superponen las sombras de cada línea. Esta región contiene todos los puntos que satisfarán ambas desigualdades.

La región factible es el área a la derecha, sombreada en rosado.

Revisión del problema de concepto

$\begin{Bmatrix} y>-\frac{1}{2}x+2 \\\ y \le 2x-3\end{Bmatrix}$

Ambas desigualdades están en la forma de intersección de la pendiente. Empiece por graficar $\boxed{y > -\frac{1}{2}x+2}$ .

El punto (1, 1) no está en la línea graficada. Pruebe el punto (1, 1) para determinar la ubicación de la sombra.

$& y > -\frac{1}{2}x+2\\\& ({\color{red}1}) > -\frac{1}{2}({\color{red}1})+2\\\&{\color{red}1} > {\color{red}-\frac{1}{2}}+2\\\& \boxed{1>1\frac{1}{2}} \quad \text{Is it true?}$

No, uno no es mayor que uno y medio. Por lo tanto, el punto (1, 1) no satisface la desigualdad y no permanecerá en el área sombreada. El área sombreada está por encima de la línea punteada.

Ahora, la desigualdad $y \le 2x-3$ se graficará en la cuadrícula cartesiana.

El punto (1, 1) no está en la línea graficada. Pruebe el punto (1, 1) para determinar la ubicación de la sombra.

$& y \le 2x-3\\\& ({\color{red}1}) \le 2({\color{red}1})-3\\\& {\color{red}1} \le {\color{red}2}-3\\\& {\color{red}1} \le {\color{red}-1}\\\& \boxed{1 \le -1} \quad \text{Is it true?}$

No, uno no es menor o igual que uno negativo. Por lo tanto, el punto (1, 1) no satisface la desigualdad y no permanecerá en el área sombreada. El área sombreada está por debajo de la línea sólida.

La región que se indica como región factible es el área del gráfico donde se superponen las sombras de cada línea. Esta región contiene todos los puntos que satisfarán ambas desigualdades. Otra forma de indicar la región factible es sombrear la región entera con un color diferente. Si hace este ejercicio en su cuaderno utilizando lápices de colores, la región factible será bien obvia.

La región factible es el área sombreada en amarillo.

Vocabulario

Región factible: La región factible es la parte del gráfico en la que las áreas sombreadas de las desigualdades se superponen. Esta área contiene todas las soluciones para las desigualdades.

Práctica Guiada

1. Resuelva el siguiente sistema de desigualdades lineales mediante gráficos:

$\begin{Bmatrix} 4x+5y \le 20\\\ 3x + y \le 6\\\\end{Bmatrix}$

2. Resuelva el sistema de desigualdades lineales mediante gráficos:

$\begin{Bmatrix} 2x+y \le 8\\\ 2x+3y < 12\\\ x \ge 0\\\ y \ge 0\\\\end{Bmatrix}$

3. Determine y pruebe tres puntos que satisfagan el siguiente sistema de desigualdades lineales:

$\begin{Bmatrix} y < 2x+7\\\ y \ge -3x-4\\\ \end{Bmatrix}$

Respuestas:

1. $\begin{Bmatrix} 4x+5y \le 20\\\ 3x + y \le 6\\\\end{Bmatrix}$

Escriba cada desigualdad en la forma de intersección de la pendiente.

$& 4x+5y \le 20 && 3x+y \le 6\\\&4x{\color{red}-4x}+5y \le {\color{red}-4x}+20 && 3x{\color{red}-3x}+y \le {\color{red}-3x}+6\\\&5y \le {\color{red}-4x}+20 && y \le {\color{red}-3x}+6\\\& \frac{5y}{{\color{red}5}} \le \frac{-4x}{{\color{red}5}}+\frac{20}{\color{red}5} && \boxed{y \le-3x+6}\\\& \frac{\cancel{5}y}{\cancel{5}} \le -\frac{4}{5}x+\frac{\overset{{\color{red}4}}{\cancel{20}}}{\cancel{5}}\\\& \boxed{y \le -\frac{4}{5}x+4}$

Gráfico: $y \le -\frac{4}{5}x+4$

El punto (1, 1) no está en la línea graficada. Pruebe el punto (1, 1) para determinar la ubicación de la sombra.

$4x+5y &\le 20\\\4({\color{red}1})+5({\color{red}1}) &\le 20\\\{\color{red}4}+{\color{red}5} &\le 20\\\{\color{red}9} &\le 20 \quad \text{Is it true?}$

Sí, nueve es menor o igual que veinte. El punto (1, 1) satisface la desigualdad y permanecerá dentro de la región sombreada.

Gráfico: $y \le -3x+6$

El punto (1, 1) no está en la línea graficada. Pruebe el punto (1, 1) para determinar la ubicación de la sombra.

$3x+y &\le 6\\\3({\color{red}1})+({\color{red}1}) &\le 6\\\{\color{red}3}+{\color{red}1} &\le 6\\\{\color{red}4} &\le 6 \quad \text{Is it true?}$

Sí, cuatro es menor o igual que seis. El punto (1, 1) satisface la desigualdad y permanecerá dentro de la región sombreada.

La región factible es el área sombreada en púrpura.

2. $\begin{Bmatrix} 2x+y \le 8\\\ 2x + 3y < 12 \\\ x \ge 0\\\ y \ge 0\end{Bmatrix}$

Escriba las dos primeras desigualdades en la forma de intersección de la pendiente.

$& 2x+3y <12 && 2x+y \le 8\\\& 2x{\color{red}-2x}+3y < {\color{red}-2x}+12 && 2x{\color{red}-2x}+y \le {\color{red}-2x}+8\\\& 3y < {\color{red}-2x}+12 && y \le {\color{red}-2x}+8\\\& \frac{3y}{{\color{red}3}} < \frac{-2x}{{\color{red}3}} + \frac{12}{{\color{red}3}} && \boxed{y \le -2x+8}\\\& \frac{\cancel{3}y}{\cancel{3}} < -\frac{2}{3}x + \frac{\overset{{\color{red}4}}{\cancel{12}}}{\cancel{3}}\\\& \boxed{y < -\frac{2}{3}x+4}$

Gráfico: $y<-\frac{2}{3}x+4$

El punto (1, 1) no está en la línea graficada. Pruebe el punto (1, 1) para determinar la ubicación de la sombra.

$2x+3y &< 12\\\2({\color{red}1})+3({\color{red}1}) &< 12\\\{\color{red}2}+{\color{red}3} &< 12\\\{\color{red}5} &< 12 \quad \text{Is it true?}$

Sí, cinco es menor que doce. El punto (1, 1) satisface la desigualdad y permanecerá dentro de la región sombreada.

Gráfico: $y \le -2x+8$

El punto (1, 1) no está en la línea graficada. Pruebe el punto (1, 1) para determinar la ubicación de la sombra.

$2x+y &\le 8\\\2({\color{red}1})+({\color{red}1}) &\le 8\\\{\color{red}2}+{\color{red}1} &\le 8\\\{\color{red}3} &\le 8 \quad \text{Is it true?}$

Sí, tres es menor o igual que ocho. El punto (1, 1) satisface la desigualdad y permanecerá dentro de la región sombreada.

Gráfico: $x \ge 0$

El gráfico será una línea vertical que coincidirá con el eje $y$ . Todos los valores de $x$ a la derecha de la línea son mayores o iguales que cero. El área sombreada estará a la derecha de la línea vertical.

Gráfico: $y \ge 0$

El gráfico será una línea horizontal que coincidirá con el eje $x$ . . Todos los valores de $y$ por encima de la línea son mayores o iguales que cero. El área sombreada estará por encima de la línea horizontal.

La región factible es el área sombreada en verde.

3. $\begin{Bmatrix} y < 2x+7\\\ y \ge -3x-4 \\\\end{Bmatrix}$

Grafique el sistema de desigualdades para determinar la región factible.

Tres puntos de la región factible son (–1, 3); (4, –2); y (6, 5). Estos puntos se evaluarán en cada una de las desigualdades lineales. Todos estos puntos deberían satisfacer ambas desigualdades.

Pruebe (–1, 3)

$& y < 2x+7 \qquad \qquad \qquad and && y \ge -3x-4\\\ & y < 2x+7 && y \ge -3x-4\\\& ({\color{red}3})<2({\color{red}-1})+7 && ({\color{red}3}) \ge -3({\color{red}-1})-4\\\& {\color{red}3} < {\color{red}-2}+7 && {\color{red}3} \ge {\color{red}3}-4\\\& 3 < {\color{red}5} && 3 \ge {\color{red}-1}$

El punto (–1, 3) satisface ambas desigualdades. En la primera desigualdad, tres es menor que cinco. En la segunda desigualdad, tres es mayor o igual que uno negativo. Por lo tanto, el punto permanece dentro de la región factible y es una solución para el sistema de desigualdades lineales.

Pruebe (4, –2)

$& y < 2x+7 && y \ge -3x-4\\\& ({\color{red}-2}) < 2({\color{red}4})+7 && ({\color{red}-2}) \ge -3({\color{red}4})-4\\\& {\color{red}-2}<{\color{red}8}+7 && {\color{red}-2} \ge {\color{red}-12}-4\\\& -2 < {\color{red}15} && -2 \ge {\color{red}-16}$

El punto (4, –2) satisface ambas desigualdades. En la primera desigualdad, dos negativo es menor que quince. En la segunda desigualdad, dos negativo es mayor o igual que dieciséis negativo. Por lo tanto, el punto permanece dentro de la región factible y es una solución para el sistema de desigualdades lineales.

Pruebe (6, 5)

$& y < 2x+7 && y \ge -3x-4\\\& ({\color{red}5})< 2({\color{red}6})+7 && ({\color{red}5}) \ge -3({\color{red}6}) -4\\\& {\color{red}5} < {\color{red}12}+7 && {\color{red}5} \ge {\color{red}-18}-4\\\& 5 < {\color{red}19} && 5 \ge {\color{red}-22}$

El punto (6, 5) satisface ambas desigualdades. En la primera desigualdad, cinco es menor que diecinueve. En la segunda desigualdad, cinco es mayor o igual que veintidós negativo. Por lo tanto, el punto permanece dentro de la región factible y es una solución para el sistema de desigualdades lineales.

Práctica

$\begin{Bmatrix} 3x+5y>15\\\ 2x-7y \le 14\\\\end{Bmatrix}$

Resuelva el sistema anterior de desigualdades lineales mediante gráficos.
Determine tres puntos que satisfagan el sistema de desigualdades lineales.

$\begin{Bmatrix} 3x+2y \ge 10\\\ x-y < -1\\\\end{Bmatrix}$

Resuelva el sistema anterior de desigualdades lineales mediante gráficos.
Determine tres puntos que satisfagan el sistema de desigualdades lineales.

$\begin{Bmatrix} x-y > 4\\\ x+y > 6\\\\end{Bmatrix}$

Resuelva el sistema anterior de desigualdades lineales mediante gráficos.
Determine tres puntos que satisfagan el sistema de desigualdades lineales.

$\begin{Bmatrix} y>3x-2\\\ y < -2x+5\\\\end{Bmatrix}$

Resuelva el sistema anterior de desigualdades lineales mediante gráficos.
Determine tres puntos que satisfagan el sistema de desigualdades lineales.

$\begin{Bmatrix} 3x-6y > -6\\\ 5x+9y \ge -18\\\\end{Bmatrix}$

Resuelva el sistema anterior de desigualdades lineales mediante gráficos.
Determine tres puntos que satisfagan el sistema de desigualdades lineales.

$\begin{Bmatrix} 2x-y<4\\\ x \ge -1\\\ y \ge -2\end{Bmatrix}$

Resuelva el sistema anterior de desigualdades lineales mediante gráficos.
Determine tres puntos que satisfagan el sistema de desigualdades lineales.

$\begin{Bmatrix} 2x+y>6\\\ x +2y \ge 6\\\ x \ge 0\\\ y \ge 0\end{Bmatrix}$

Resuelva el sistema anterior de desigualdades lineales mediante gráficos.
Determine tres puntos que satisfagan el sistema de desigualdades lineales.

$\begin{Bmatrix} x \le 3\\\ x \ge -2\\\ y \le 4\\\ y \ge -1\end{Bmatrix}$

Resuelva el sistema anterior de desigualdades lineales mediante gráficos.
Determine tres puntos que satisfagan el sistema de desigualdades lineales.

$\begin{Bmatrix} x+y > -1\\\ 3x -2y \ge 2\\\ x < 3\\\ y \ge 0\end{Bmatrix}$

Resuelva el sistema anterior de desigualdades lineales mediante gráficos.
Determine tres puntos que satisfagan el sistema de desigualdades lineales.

$\begin{Bmatrix} y < x+1\\\ y \ge -2x+3\\\ y > 0\end{Bmatrix}$

Resuelva el sistema anterior de desigualdades lineales mediante gráficos.
Determine tres puntos que satisfagan el sistema de desigualdades lineales.

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