Aplicaciones de sistemas de desigualdades

Aquí aprenderá cómo utilizar sistemas de desigualdades lineales para resolver problemas del mundo real.

El siguiente diagrama muestra la solución de la región factible para un sistema de desigualdades lineales.

Si $z=2x+3y$ , ¿en qué punto del gráfico el valor de $z$ es el mayor?

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Guía

Un sistema de desigualdades lineales se suele utilizar para determinar los valores máximos y mínimos de una situación con múltiples restricciones. Por ejemplo, usted puede determinar cuánto necesita producir de un producto para maximizar las ganancias.

Para poder resolver este tipo de problema utilizando desigualdades lineales, siga los siguientes pasos:

Paso 1: Realice una tabla para organizar la información dada.
Paso 2: Enumere las restricciones de esta situación. Escriba una desigualdad para cada restricción.
Paso 3: Escriba una ecuación para la cantidad que intenta maximizar (como la ganancia) o minimizar (como el costo).
Paso 4: Grafique las restricciones como un sistema de desigualdades.
Paso 5: Busque las coordenadas exactas para cada vértice en el gráfico o de forma algebraica.
Paso 6: Utilice el Teorema de los vértices. Pruebe todos los vértices de la región factible en la ecuación y vea qué punto es el máximo o el mínimo.

Mire los ejemplos a continuación para ver cómo funciona este proceso. El ejemplo A le permite ver los pasos 5 y 6. Los ejemplos B y C le permiten ver todos los pasos en el proceso.

Ejemplo A

Evalúe la expresión $z=3x+4y$ para la región factible dada, para determinar el punto en que $z$ tiene un valor máximo y el punto en que $z$ tiene un valor mínimo.

Solución:

$&(-4, 0) && z=3x+4y \rightarrow z=3(-4)+4(0) \rightarrow z=-12+0 \rightarrow z=-12\\\& && \text{Therefore} \ 3x+4y=-12\\\\\\& (0, 5) && z=3x+4y \rightarrow z=3(0)+4(5) \rightarrow z=0+20 \rightarrow z=20\\\& && \text{Therefore} \ 3x+4y=20\\\\\\& (6, 3) && z=3x+4y \rightarrow z=3(6)+4(3) \rightarrow z=18+12 \rightarrow z=30\\\& && \text{Therefore} \ 3x+4y=30\\\\\\& (8, -4) && z=3x+4y \rightarrow z=3(8)+4(-4) \rightarrow z=24-16 \rightarrow z=8\\\& && \text{Therefore} \ 3x+4y=8$

El valor máximo de $z$ tuvo lugar en el vértice (6, 3). El valor mínimo de $z$ tuvo lugar en el vértice (–4, 0).

Nota: Utilizar los vértices de la región factible para determinar el valor máximo o mínimo es una rama de la matemática conocida como programación lineal . La programación lineal es una técnica utilizada por los negocios para resolver problemas. Los tipos de problemas que suelen emplear programación lineal son aquellos en los que la ganancia se debe maximizar y los costos se deben minimizar. Sin embargo, la programación lineal también se puede utilizar para resolver otros tipos de problemas. La solución provee a la empresa un programa a seguir para obtener los mejores resultados para la compañía.

Ejemplo B

Una compañía que produce banderas hace dos banderas para Nueva Escocia: la bandera tradicional azul y la bandera verde de Cabo Bretón. Para producir cada bandera, se utilizaron dos tipos de material: nylon y algodón. La compañía tiene 450 unidades de nylon en stock y 300 unidades de algodón. La bandera tradicional azul requiere 6 unidades de nylon y 3 unidades de algodón. La bandera de Cabo Bretón requiere 5 unidades de nylon y 5 unidades de algodón. Cada bandera azul que se realiza produce una ganancia de $12 para la compañía, mientras que cada bandera de Cabo Bretón produce una ganancia de $15. Por la cantidad de nylon y algodón que la compañía tiene actualmente en existencias, ¿cuántas banderas de cada una debería hacer la compañía para maximizar su ganancia?

Solución: Si “ $x$ ” representa la cantidad de banderas azules. Si “ $y$ ” representa la cantidad de banderas verdes.

Paso 1: Transfiera la información presentada en el problema a una tabla.

	Unidades requeridas por bandera azul	Unidades requeridas por bandera verde	Unidades disponibles
Nylon	6	5	450
Algodón	3	5	300
Ganancia (por bandera)	$12	$15

La información presentada en el problema identifica las limitaciones o condiciones en la producción de banderas. Estas limitaciones se conocen como restricciones y se escriben como desigualdades para representar la información presentada en el problema.

Paso 2: A partir de la información (ahora en la tabla), enumere las restricciones.

La cantidad de banderas azules que se producen debe ser cero o mayor que cero. Por lo tanto, la restricción es $\boxed{x \ge 0}$ .

La cantidad de banderas verdes que se producen debe ser cero o mayor que cero. Por lo tanto, la restricción es $\boxed{y \ge 0}$ .

La cantidad total de unidades de nylon requeridas para hacer ambos tipos de banderas no puede exceder de 450. Por lo tanto, la restricción es $\boxed{6x+5y \le 450}$ .

La cantidad total de unidades de algodón requeridas para hacer ambos tipos de banderas no puede exceder de 300. Por lo tanto, la restricción es $\boxed{3x+5y \le 300}$ .

Paso 3: Escriba una ecuación para identificar la ganancia: $\boxed{P=12x+15y}$

Paso 4: Grafique la lista de restricciones para identificar la región factible.

La región factible es el área sombreada en verde azulado.

Paso 5: De forma algebraica, determine el punto exacto de intersección entre las restricciones. También debe calcularse la intersección $x$ de la región factible. Escriba las restricciones como ecuaciones lineales y resuelva el sistema mediante eliminación.

$& 6x+5y=450 \quad \rightarrow && \qquad 6x+5y=450 \quad \rightarrow \qquad 6x+\cancel{5y}=450 && 6x+5y=450\\\& 3x+5y=300 && -1(3x+5y=300) \ \rightarrow \quad \underline{-3x-\cancel{5y}=-300} && 6({\color{red}50})+5y=450\\\& && \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ 3x=150 \quad \rightarrow && {\color{red}300}+5y=450\\\& && \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \frac{\cancel{3}x}{\cancel{3}}=\frac{\overset{{\color{red}50}}{\cancel{150}}}{\cancel{3}} && 300{\color{red}-300}+5y=450{\color{red}-300}\\\& && \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad x=50 && 5y=150\\\& && && \frac{\cancel{5}y}{\cancel{5}}=\frac{\overset{{\color{red}30}}{\cancel{150}}}{\cancel{5}}\\\& && && y=30$

$\boxed{l_1 \cap l_2 @ (50, 30)}$

La intersección con $x$ para la desigualdad $6x+5y \le 450$ se debe calcular. Escriba la desigualdad como una ecuación lineal. Iguale “ $y$ ” a cero y resuelve la ecuación para “ $x$ ’.

$6x+5y&=450\\\6x+5({\color{red}0})&=450\\\6x&=450\\\\frac{\cancel{6}x}{\cancel{6}}&=\frac{\overset{{\color{red}75}}{\cancel{450}}}{\cancel{6}}\\\x&=75$

La intersección con $x$ de la región factible es (75, 0).

La intersección con $y$ es (0, 60). Este punto se trazó cuando las desigualdades se establecieron con la forma de intersección de la pendiente para graficar.

El siguiente gráfico muestra los vértices del polígono que encierra la región factible.

Paso 6: Calcule la ganancia, utilizando la ecuación de ganancia, de cada vértice de la región factible:

$& (0, 0) && P=12x+15y \rightarrow P=12(0)+15(0) \rightarrow P=0+0 \rightarrow P=0\\\& && \text{Therefore} \ 12x+15y=\$ 0\\\\\\& (0, 60) && P=12x+15y \rightarrow P=12(0)+15(60) \rightarrow P=0+900 \rightarrow P=900\\\& && \text{Therefore} \ 12x+15y=\$ 900\\\\\\& (50, 30) && P=12x+15y \rightarrow P=12(50)+15(30) \rightarrow P=600+450 \rightarrow P=1050\\\& && \text{Therefore} \ 12x+15y=\$ 1050\\\\\\& (75, 0) && P=12x+15y \rightarrow P=12(75)+15(0) \rightarrow P=900+0 \rightarrow P=900\\\& && \text{Therefore} \ 12x+15y=\$ 900$

La ganancia máxima tuvo lugar en el vértice (50, 30). Esto significa que, con los suministros en existencias, la compañía debería hacer 50 banderas azules y 30 banderas verdes para maximizar su ganancia.

Ejemplo C

Una compañía de fundición local puede proveer a sus clientes con hierro, plomo y cobre fundiendo cualquiera de dos minerales, A o B. Los minerales llegan a la compañía en vagones de ferrocarril. Cada vagón del mineral A contiene 3 toneladas de hierro, 3 toneladas de plomo y 1 tonelada de cobre. Cada vagón del mineral B contiene 1 tonelada de hierro, 4 toneladas de plomo y 3 toneladas de cobre. El horno de fundición recibe un pedido de 7 toneladas de hierro, 19 toneladas de plomo y 8 toneladas de cobre. El costo de la compra y el proceso de una carga del mineral A es $7000 mientras que el costo para el mineral B es $6000. Si la compañía quiere cumplir con el pedido a un costo mínimo, ¿cuántas cargas de cada mineral debe comprar?

Solución: Si “ $x$ ” representa la cantidad de cargas del mineral A que se debe comprar. Si “ $y$ ” representa la cantidad de cargas del mineral B que se debe comprar.

Paso 1: Transfiera la información presentada en el problema a una tabla.

	Una carga del mineral A	Una carga del mineral B	Cantidad de toneladas para cumplir con la orden
Toneladas de hierro	3	1	7
Toneladas de plomo	3	4	19
Toneladas de cobre	1	3	8

Paso 2: A partir de la información, enumere las restricciones.

La cantidad de cargas del mineral A que deben comprarse es cero o mayor que cero. Por lo tanto, la restricción es $\boxed{x \ge 0}$ .

La cantidad de cargas del mineral B que deben comprarse es cero o mayor que cero. Por lo tanto, la restricción es $\boxed{y \ge 0}$ .

La cantidad total de toneladas de hierro del mineral A y el mineral B debe ser mayor o igual que las 7 toneladas necesarias para cumplir con el pedido. Por lo tanto, la restricción es $\boxed{3x+y \ge 7}$ .

La cantidad total de toneladas de plomo del mineral A y el mineral B debe ser mayor o igual que las 20 toneladas necesarias para cumplir con el pedido. Por lo tanto, la restricción es $\boxed{3x +4y \ge 19}$ .

La cantidad total de toneladas de cobre del mineral A y el mineral B debe ser mayor o igual que las 8 toneladas necesarias para cumplir con el pedido. Por lo tanto, la restricción es $\boxed{x+3y \ge 8}$ .

Paso 3: Escriba una ecuación que represente el costo en dólares de $x$ las cargas del mineral A y las del mineral B. $\boxed{c=7000x+6000y}$

Paso 4: Grafique la lista de restricciones para identificar la región factible.

La región factible muestra que existe una cantidad infinita de formas de cumplir con el pedido. La región factible es el área grande sombreada que está por encima de las líneas graficadas.

Paso 5: De forma algebraica, determine el punto exacto de intersección entre las restricciones. También debe calcularse la intersección con $x$ de la región factible. Escriba las restricciones como ecuaciones lineales y resuelva el sistema mediante eliminación.

$& \ 3x+y=7 \quad \rightarrow && -1(3x+y=7) \quad \rightarrow \quad -\cancel{3x}-y=-7 && 3x+4y=19\\\& 3x+4y=19 && \quad \ \ 3x+4y=19 \quad \rightarrow \quad \ \underline{\cancel{3x}+4y=19} && 3x+4({\color{red}4})=19\\\& && \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \ 3y=12 \quad \rightarrow && 3x+{\color{red}16}=19\\\& && \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \ \frac{\cancel{3}y}{\cancel{3}}=\frac{\overset{{\color{red}4}}{\cancel{12}}}{\cancel{3}} && 3x+{\color{red}16-16}=19{\color{red}-16}\\\& && \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad y=4 && 3x=3\\\& && && \frac{\cancel{3}x}{\cancel{3}}=\frac{\overset{{\color{red}1}}{\cancel{3}}}{\cancel{3}}\\\& && && x=1$

$\boxed{l_1 \cap l_2 @ (1,4)}$

$&3x+4y=19 \quad \rightarrow && \quad \ 3x+4y=19 \quad \rightarrow \quad \cancel{3x}+4y=19 && 3x+4y=19\\\& \ x+3y=8 && -3(x+3y=8) \quad \rightarrow \ \ \underline{\cancel{-3x}-9y=-24} && 3x+4({\color{red}1})=19\\\& && \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \ -5y=-5 \quad \rightarrow && 3x+{\color{red}4}=19\\\& && \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \ \ \frac{\cancel{-5}y}{\cancel{-5}}=\frac{\overset{{\color{red}1}}{\cancel{-5}}}{\cancel{-5}} && 3x+{\color{red}4-4}=19{\color{red}-4}\\\& && \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad y=1 && 3x=15\\\& && && \frac{\cancel{3}x}{\cancel{3}}=\frac{\overset{{\color{red}5}}{\cancel{15}}}{\cancel{3}}\\\& && && x=5$

$\boxed{l_2 \cap l_3 @ (5,1)}$

La intersección con $x$ para la desigualdad $x+3y \ge 8$ se debe calcular. Escriba la desigualdad como una ecuación lineal. Iguale “ $y$ ” a cero y resuelve la ecuación para “ $x$ ’.

$x+3y &=8\\\x+3({\color{red}0})&=8\\\x &=8$

La intersección con $x$ de la región factible es (8, 0).

La intersección con $y$ es (0, 7). Este punto se trazó cuando las desigualdades se establecieron con la forma de intersección de la pendiente para graficar.

El siguiente gráfico muestra los vértices de la región que bordea la región factible.

Paso 6: Utilizando la ecuación de costo, calcule el costo de cada vértice de la región factible:

$& (0, 7) && c=7000x+6000y \rightarrow c=7000(0)+6000(7) \rightarrow c=0+42,000 \rightarrow P=42,000\\\& && \text{Therefore} \ 7000x+6000y=\$ 42,000\\\\\\& (1, 4) && c=7000x+6000y \rightarrow c=7000(1)+6000(4) \rightarrow c=7000+24,000 \rightarrow P=31,000\\\& && \text{Therefore} \ 7000x+6000y=\$ 31,000\\\\\\& (5, 1) && c=7000x+6000y \rightarrow c=7000(5)+6000(1) \rightarrow c=35,000+6000 \rightarrow P=41,000\\\& && \text{Therefore} \ 7000x+6000y=\$ 41,000\\\\\\& (8, 0) && c=7000x+6000y \rightarrow c=7000(8)+6000(0) \rightarrow c=56,000+0 \rightarrow P=56,000\\\& && \text{Therefore} \ 7000x+6000y=\$ 56,000$

El costo mínimo se encuentra en el vértice (1, 4). Por lo tanto, la compañía debería comprar una carga del mineral A y cuatro cargas del mineral B.

Revisión del problema de concepto

El siguiente diagrama muestra una región factible que se encuentra dentro de una región poligonal.

Ahora se evaluará la función lineal $z=2x+3y$ para cada uno de los vértices del polígono.

Para calcular el valor de “ $z$ ”, sustituya las coordenadas del punto en la expresión por “ $x$ ” e “ $y$ ’.

$& (0, 0) && z=2x+3y \rightarrow z=2(0)+3(0) \rightarrow z=0+0 \rightarrow z=0\\\& && \text{Therefore} \ 2x+3y=0\\\\\\& (0, 4) && z=2x+3y \rightarrow z=2(0)+3(4) \rightarrow z=0+12 \rightarrow z=12\\\& && \text{Therefore} \ 2x+3y=12\\\\\\& (6, 0) && z=2x+3y \rightarrow z=2(6)+3(0) \rightarrow z=12+0 \rightarrow z=12\\\& && \text{Therefore} \ 2x+3y=12\\\\\\& (3, 6) && z=2x+3y \rightarrow z=2(3)+3(6) \rightarrow z=6+18 \rightarrow z=24\\\& && \text{Therefore} \ 2x+3y=24\\\\\\& (9, 4) && z=2x+3y \rightarrow z=2(9)+3(4) \rightarrow z=18+12 \rightarrow z=30\\\& && \text{Therefore} \ 2x+3y=30$

El valor de $z=2x+3y$ , para cada uno de los vértices, permanece constante a lo largo de cualquier línea con una pendiente de $-\frac{2}{3}$ . Esto es obvio en el siguiente gráfico.

A medida que la línea se alejó de su origen, el valor de $z=2x+3y$ aumentó. El valor máximo para la región sombreada se alcanzó en el vértice (9, 4) mientras que el mínimo tuvo lugar en el vértice (0, 0). Estas afirmaciones confirman el teorema de los vértices para una región factible:

Si se evalúa una expresión lineal $\boxed{z=ax+by+c}$ en todos los puntos de una región poligonal convexa, el valor máximo de $z$ , si lo hubiera, tendrá lugar en uno de los vértices de la región factible. Además, el valor mínimo de $z$ , si lo hubiera, tendrá lugar en uno de los vértices de la región factible.

Vocabulario

Restricción: Una restricción es una limitación o condición que se presenta en un problema de la vida real. Las restricciones se escriben como desigualdades y se utilizan para resolver el problema.

Programación lineal: La programación lineal es una rama de las matemáticas que utiliza sistemas de desigualdades lineales para resolver problemas de la vida real. El teorema de los vértices de las regiones se aplica a los vértices para determinar la mejor solución al problema.

Teorema de los vértices para las regiones: El teorema de los vértices para las regiones afirma que si se evalúa una expresión lineal $z=ax+by+c$ en todos los puntos de una región poligonal convexa, el valor máximo de $z$ , si lo hubiera, tendrá lugar en uno de los vértices de la región factible. Además, el valor mínimo de $z$ , si lo hubiera, tendrá lugar en uno de los vértices de la región factible.

Práctica guiada

1. Para la siguiente región graficada y para la expresión $z=5x+7y-1$ , encuentre un punto donde “ $z$ ” tenga un valor máximo y un punto donde “ $z$ ” tenga un valor mínimo.

2. La siguiente tabla muestra el tiempo requerido en tres máquinas para que una compañía produzca cafeteras de filtro Súper 1 y Súper 2. La tabla también muestra la cantidad de tiempo que cada máquina está disponible durante un período de una hora. La compañía está intentando determinar cuántas de cada una se debe hacer para maximizar la ganancia si obtienen $30 por cada modelo Súper 1 y $35 por cada modelo Súper 2. Enumere las restricciones y escriba una expresión de las ganancias que represente la información.

	Súper 1	Súper 2	Tiempo disponible
Máquina A	1 minuto	3 minutos	24 minutos
Máquina B	3 minutos	2 minutos	36 minutos
Máquina C	3 minutos	4 minutos	44 minutos

3. Una compañía de pintura local creó dos colores de pintura nuevos. La compañía tiene 28 unidades de tinte amarillo y 22 unidades de tinte rojo y su intención es mezclar tantos cuartos como sea posible de color X y color Y. Cada cuarto de color X requiere 4 unidades de tinte amarillo y 1 unidad de tinte rojo. Cada cuarto de color Y requiere 1 unidad de tinte amarillo y 4 unidades de tinte rojo. ¿Cuántos cuartos de cada color se pueden mezclar con las unidades de tinte que la compañía tiene disponible? Enumere las restricciones, complete el gráfico y determine la solución utilizando programación lineal.

Respuestas:

1. Los vértices de la región poligonal son (–7, –1); (2, 5); (6, 1); y (0, –4).

$& (-7, -1) && z=5x+7y-1 \rightarrow z=5(-7)+7(-1)-1 \rightarrow z=-35-7-1 \rightarrow z=-43\\\& && \text{Therefore} \ 5x+7y-1=-43\\\\\\& (2, 5) && z=5x+7y-1 \rightarrow z=5(2)+7(5)-1 \rightarrow z=10+35-1 \rightarrow z=44\\\& && \text{Therefore} \ 5x+7y-1=44\\\\\\& (6, 1) && z=5x+7y-1 \rightarrow z=5(6)+7(1)-1 \rightarrow z=30+7-1 \rightarrow z=36\\\& && \text{Therefore} \ 5x+7y-1=36\\\\\\& (0, -4) && z=5x+7y-1 \rightarrow z=5(0)+7(-4)-1 \rightarrow z=0-28-1 \rightarrow z=-29\\\& && \text{Therefore} \ 5x+7y-1=-29$

El valor máximo de “ $z$ ” tuvo lugar en el vértice (2, 5). El valor mínimo de “ $z$ ” tuvo lugar en el vértice (–7, –1).

2. Si “ $x$ ” representa la cantidad de cafeteras de filtro Súper 1. Si “ $y$ ” representa la cantidad de cafeteras de filtro Súper 2.

La cantidad de cafeteras de filtro Súper 1 que se hacen debe ser cero o mayor que cero. Por lo tanto, la restricción es $\boxed{x \ge 0}$ .

La cantidad de cafeteras de filtro Súper 2 que se hacen debe ser cero o mayor que cero. Por lo tanto, la restricción es $\boxed{y \ge 0}$ .

La cantidad total de tiempo en la que tanto el modelo Súper 1 y el Súper 2 pueden procesarse en la Máquina A es menor o igual que 24 minutos. Por lo tanto, la restricción es $\boxed{x+3y \le 24}$ .

La cantidad total de tiempo en la que tanto el modelo Súper 1 y el Súper 2 pueden procesarse en la Máquina B es menor o igual que 36 minutos. Por lo tanto, la restricción es $\boxed{3x+2y \le 36}$ .

La cantidad total de tiempo en la que tanto el modelo Súper 1 y el Súper 2 pueden procesarse en la Máquina C es menor o igual que 44 minutos. Por lo tanto, la restricción es $\boxed{3x+4y \le 44}$ .

La ecuación de ganancia es $\boxed{P=30x+35y}$

3. Tabla:

	Color X	Color Y	Unidades disponibles
Tinte amarillo	4 unidades	1 unidad	28
Tinte rojo	1 unidad	4 unidades	22

Restricciones: Si “ $x$ ” representa la cantidad de cuartos de la pintura de Color X a preparar. Si “ $y$ ” representa la cantidad de cuartos de pintura de Color Y a preparar.

La cantidad de cuartos de pintura de Color X que se mezclan debe ser cero o mayor que cero. Por lo tanto, la restricción es $\boxed{x \ge 0}$ .

La cantidad de cuartos de pintura de Color Y que se mezclan debe ser cero o mayor que cero. Por lo tanto, la restricción es $\boxed{y \ge 0}$ .

La cantidad total de tinte amarillo que se utiliza para mezclar el Color X y el Color Y debe ser menor o igual que 28. Por lo tanto, la restricción es $\boxed{4x+y \le 28}$ .

La cantidad total de tinte rojo que se utiliza para mezclar el Color X y el Color Y debe ser menor o igual que 22. Por lo tanto, la restricción es $\boxed{x+4y \le 22}$ .

Ecuación La compañía quiere mezclar la mayor cantidad de cuartos posible. Quieren maximizar el valor de $Q$ dado por $Q=x+y$ .

Gráfico:

Vértices:

$& 4x+y =28 \quad \rightarrow && \qquad 4x+y=28 \quad \rightarrow \qquad \ \ \cancel{4x}+y=28 && 4x+y=28\\\& x+4y=22 && -4(x+4y=22) \ \rightarrow \quad -\underline{\cancel{4x}-16y=-88} && 4x+({\color{red}4})=28\\\& && \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ -15y=-60 \quad \rightarrow && 4x=24\\\& && \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \frac{\cancel{-15}y}{\cancel{-15}} = \frac{\overset{{\color{red}4}}{\cancel{-60}}}{\cancel{-15}} && \frac{\cancel{4}x}{\cancel{4}} = \frac{\overset{{\color{red}6}}{\cancel{24}}}{\cancel{4}}\\\& && \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad y=4 && x=6$

$\boxed{l_1 \cap l_2 @ (6,4)}$

Los tres puntos de la región factible son $(6, 4), (7,0), (0, 5.5)$ . La compañía quiere maximizar $Q=x+y$ . El punto que produce el valor máximo es $(6, 4)$ .

La compañía debería mezclar 6 cuartos de pintura de Color X y 4 cuartos de pintura de Color Y.

Práctica

Para cada región graficada y su correspondiente ecuación, encuentre un punto en el que “ $z$ ” tenga un valor máximo y un punto en el que “ $z$ ” tenga un valor mínimo.

$\boxed{z=7x-2y}$
$\boxed{z=3y-4x}$
$\boxed{z=4x-2y}$
$\boxed{z=10x+20y}$
$\boxed{z=20x-15y+4}$

Una pequeña compañía manufacturera obtiene una ganancia de $125 por cada reproductor de DVD y de $100 por cada televisor a color que produce. Cada reproductor de DVD y cada televisor deben procesarse mediante una máquina de corte (A), una máquina de equipamiento (B) y una máquina de pulido (C). Cada reproductor de DVD debe procesarse en la Máquina A durante una hora, en la Máquina B durante una hora y en la Máquina C durante cuatro horas. Cada televisor debe procesarse en la Máquina A durante dos horas, en la Máquina B durante una hora y en la Máquina C durante una hora. Las máquinas A, B y C están disponibles 16, 9 y 24 horas por día respectivamente. ¿Cuántos reproductores de DVD y televisores se deben hacer por día para maximizar las ganancias?

Enumere las restricciones y establezca la ecuación de ganancias.
Cree un gráfico e identifique la región factible.
Determine lo que la compañía debe hacer para maximizar sus ganancias.

April tiene un pequeño negocio durante los meses de invierno: hace sombreros y bufandas. Un sombrero requiere 2 horas en la Máquina A, 4 horas en la Máquina B y 2 horas en la Máquina C. Una bufanda requiere 3 horas en la Máquina A, 3 horas en la Máquina B y 1 hora en la Máquina C. La Máquina A está disponible 36 horas por semana, la Máquina B está disponible 42 horas por semana y la Máquina C está disponible 20 horas por semana. La ganancia en un sombrero es $7.00 y en una bufanda es $4.00. ¿Cuántos debe hacer de cada uno para maximizar las ganancias?

Enumere las restricciones y establezca la ecuación de ganancias.
Cree un gráfico e identifique la región factible.
Determine qué debe hacer April para maximizar sus ganancias.

Beth está tejiendo mitones y guantes. Cada par debe procesarse en tres máquinas. Cada par de mitones requiere 2 horas en la Máquina A, 2 horas en la Máquina B y 4 horas en la Máquina C. Cada par de guantes requiere 4 horas en la Máquina A, 2 horas en la Máquina B y 1 hora en la Máquina C. Las máquinas A, B y C están disponibles 32, 18 y 24 minutos al día, respectivamente. La ganancia en un par de manoplas es $8.00 y en un par de guantes es $10.00. ¿Cuántos pares de cada uno debe hacer por día para maximizar las ganancias?

Enumere las restricciones y establezca la ecuación de ganancias.
Cree un gráfico e identifique la región factible.
Determine qué debe hacer Beth para maximizar sus ganancias.

A un paciente se le prescribe una píldora que contiene vitaminas A, B y C. Estas vitaminas están disponibles en dos marcas diferentes de píldoras. El primer tipo se llama Marca X y el segundo tipo se llama Marca Y. La siguiente tabla muestra la cantidad de cada vitamina que las marcas X e Y contienen. La tabla también muestra la cantidad diaria mínima que necesita el paciente. Cada píldora de la Marca X cuesta $\$0.32$ y cada píldora de la Marca Y cuesta $\$0.29$ . ¿Cuántas píldoras de cada marca debe tomar el paciente por día para minimizar el costo?

	Marca X	Marca Y	Necesidad diaria mínima
Vitamina A	2 mg	1 mg	5 mg
Vitamina B	3 mg	3 mg	12 mg
Vitamina C	25 mg	50 mg	125 mg

Enumere las restricciones y establezca la ecuación de costo.
Cree un gráfico e identifique la región factible.
Determine qué debe hacer el paciente para minimizar su costo.

Una compañía de fundición local puede proveer a sus clientes con plomo, cobre y hierro fundiendo cualquiera de dos minerales, X o Y. Los minerales llegan a la compañía en vagones de ferrocarril. Cada vagón del mineral X contiene 5 toneladas de plomo, 1 tonelada de cobre y 1 tonelada de hierro. Cada vagón del mineral Y contiene 1 tonelada de plomo, 1 tonelada de cobre y 2 toneladas de hierro. La compañía de fundición recibe un pedido y debe hacer al menos 20 toneladas de plomo, 12 toneladas de cobre y 20 toneladas de hierro. El costo de compra y el proceso de carga del mineral X es $6000 mientras que el costo para el mineral Y es $5000. Si la compañía quiere cumplir con el pedido al costo mínimo, ¿cuántas cargas de cada mineral debe comprar?

Enumere las restricciones y establezca la ecuación de costo.
Cree un gráfico e identifique la región factible.
Determine lo que la compañía debe hacer para minimizar sus costos.