Reglas del producto para los exponentes

Aquí aprenderá a multiplicar dos términos con la misma base y a hallar la potencia de un producto.

Suponga que tiene la expresión:

$x\cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot y \cdot y \cdot y \cdot y \cdot y \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x$

¿Cómo podría escribir esta expresión de manera más concisa?

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James Sousa: Exponential Notation (Notación exponencial) *Este video solo está disponible en inglés

Guía

En la expresión $x^3$ , la $x$ se llama base y el $3$ se llama exponente . Los exponentes suelen llamarse potencias . Cuando un exponente es un número entero positivo, indica cuántas veces se debe multiplicar la base por sí misma. Por ejemplo:

$x^3=x\cdot x \cdot x$
$2^4=2\cdot 2 \cdot 2 \cdot 2=16$ .

Hay muchas reglas que tienen que ver con los exponentes (usualmente llamadas las Leyes de los exponentes ) que es útil conocer para poder trabajar de forma más sencilla con expresiones y ecuaciones que tienen exponentes. Aquí aprenderá dos reglas que tienen que ver con exponentes y productos.

REGLA: Para multiplicar dos términos con la misma base, sume los exponentes.

$& a^m \times a^n = \underleftrightarrow{(a \times a \times \ldots \times a)} \ \underleftrightarrow{(a \times a \times \ldots \times a)}\\\& \qquad \qquad \qquad \qquad \ {\color{red}\downarrow} \qquad \qquad \qquad \quad \ {\color{red}\downarrow}\\\& \qquad \qquad \qquad {\color{red} m \ \text{factors}} \qquad \qquad {\color{red} n \ \text{factors}}\\\& a^m \times a^n = \underleftrightarrow{(a \times a \times a \ldots \times a)}\\\& \qquad \qquad \qquad \qquad \ {\color{red}\downarrow}\\\& \qquad \qquad \qquad {\color{red} m+n \ \text{factors}}\\\& a^m \times a^n=a^{{\color{red}m+n}}$

REGLA: Para elevar un producto a una potencia, eleve cada uno de los factores a la potencia.

$&(ab)^n=\underleftrightarrow{(ab) \times (ab) \times \ldots \times (ab)}\\\& \qquad \qquad \qquad \qquad {\color{red}\downarrow}\\\& \qquad \qquad \qquad {\color{red}n} \ {\color{red}\text{factors}}\\\& (ab)^n=\underleftrightarrow{(a \times a \times \ldots \times a)} \times \underleftrightarrow{(b \times b \times \ldots \times b)}\\\& \qquad \qquad \qquad \quad {\color{red}\downarrow} \qquad \qquad \qquad \qquad {\color{red}\downarrow}\\\& \qquad \qquad \quad \ {\color{red}n} \ {\color{red}\text{factors}} \qquad \qquad \ {\color{red}n} \ {\color{red}\text{factors}}\\\& (ab)^n=a^{{\color{red}n}} b^{{\color{red}n}}$

Ejemplo A

Simplifique $3^2 \times 3^3$ .

Solución:

$& 3^2 \times 3^3 && \text{The base is} \ 3.\\\& 3^{2+3} && \text{Keep the base of} \ 3 \ \text{and add the exponents.}\\\& 3^{\color{red}5} && \text{This answer is in exponential form.}$

Se puede avanzar un paso más con la respuesta. La base es numérica, así que se puede calcular el valor del término.

$& 3^5=3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3\\\& {\color{red}3^5}={\color{red}243}\\\& \boxed{3^2 \times 3^3 = 3^5=243}$

Ejemplo B

Simplifique $(x^3) (x^6)$ .

Solución:

$& (x^3)(x^6) && \text{The base is} \ x.\\\& x^{3+6} && \text{Keep the base of} \ x \ \text{and add the exponents.}\\\& x^{\color{red}9} && \text{The answer is in exponential form.}\\\& \boxed{(x^3)(x^6)=x^9}$

Ejemplo C

Simplifique $y^5 \cdot y^2$ .

Solución:

$& y^5 \cdot y^2 && \text{The base is} \ y.\\\& y^{5+2} && \text{Keep the base of} \ y \ \text{and add the exponents.}\\\& y^{\color{red}7} && \text{The answer is in exponential form.}\\\& \boxed{y^5 \cdot y^2=y^7}$

Ejemplo D

Simplifique $5x^2 y^3 \cdot 3xy^2$ .

Solución:

$& 5x^2 y^3 \cdot 3xy^2 && \text{The bases are} \ x \ \text{and} \ y.\\\& 15(x^2 y^3)(xy^2) && \text{Multiply the coefficients -} \ 5 \times 3=15. \ \text{Keep the base of} \ x \ \text{and} \ y \ \text{and add}\\\& && \text{the exponents of the same base. If a base does not have a written}\\\& && \text{exponent, it is understood as} \ 1.\\\& 15x^{2+1} y^{3+2}\\\& 15x^{\color{red}3} y^{\color{red}5} && \text{The answer is in exponential form.}\\\& \boxed{5x^2 y^3 \cdot 3xy^2=15x^3y^5}$

Revisión del problema de concepto

$x\cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot y \cdot y \cdot y \cdot y \cdot y \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x$ se puede volver a escribir como $x^9 y^5 x^4$ . Entonces, puede aplicar las reglas para exponentes para simplificar la expresión a $x^{13} y^5$ . ¡Esto definitivamente se escribe mucho más rápido!

Vocabulario

Base: En una expresión algebraica, la base es la variable, el número, el producto o el cociente al que se refiere el exponente. Algunos ejemplos son: En la expresión $2^5$ , “2” es la base. En la expresión $(-3y)^4$ , ‘ $-3y$ ” es la base.

Exponente: En una expresión algebraica, el exponente es el número que está a la derecha superior de la base, que indica cuántas veces se debe multiplicar la base por sí misma. Algunos ejemplos son:

En la expresión $2^5$ , “5” es el exponente. Significa que se debe multiplicar el 2 por sí mismo 5 veces como se ve aquí: $2^5=2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2$ .

En la expresión $(-3y)^4$ , “4” es el exponente. Significa que se debe multiplicar $-3y$ por sí mismo 4 veces como se ve aquí: $(-3y)^4=-3y \times -3y \times -3y \times -3y$ .

Leyes de los exponentes: Las leyes de los exponentes son las reglas y fórmulas algebraicas que nos indican la operación a realizar con los exponentes al trabajar con expresiones exponenciales.

Práctica guiada

Simplifique cada una de las expresiones siguientes.

1. $(-3x)^2$

2. $(5xy)^3$

3. $(2^3 \cdot 3^2)^2$

Respuestas:

1. $9x^2$ . Estos son los pasos:

$(-3x)^2&=(-3)^2\cdot(x)^2\\\&=9x^2$

2. $125x^3y^3$ . Estos son los pasos:

$(5x^2 y^4)^3&=(5)^3\cdot (x)^3\cdot (y)^3\\\&=125x^3y^3$

3. $5184$ . Estos son los pasos:

$(2^3 \cdot 3^2)^2&=(8\cdot 9)^2\\\&=(72)^2\\\&=5184$

$(2^3 \cdot 3^2)^2&=(8\cdot 9)^2\\\&=8^2\cdot 9^2 \\\&=64\cdot 81\\\&=5184$

Práctica

Simplifique cada una de las expresiones siguientes, si es posible.

$4^2\times 4^4$
$x^4\cdot x^{12}$
$(3x^2y^4)(9xy^5z)$
$(2xy)^2(4x^2y^3)$
$(3x)^5(2x)^2(3x^4)$
$x^3y^2z\cdot 4xy^2z^7$
$x^2y^3+xy^2$
$(0.1xy)^{4}$
$(xyz)^6$
$2x^4(x^2-y^2)$
$3x^5-x^2$
$3x^8(x^2-y^4)$

Expanda y luego simplifique cada una de las expresiones siguientes.

$(x^5)^3$
$(x^6)^8$
$(x^a)^b$ Consejo: Busque un patrón en los dos problemas anteriores.

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