Reglas del cociente para los exponentes

Aquí aprenderá a dividir dos términos con la misma base y a hallar la potencia de un cociente.

Suponga que tiene la expresión:

$\frac{x\cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot y \cdot y \cdot y \cdot y \cdot y}{x\cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot y \cdot y \cdot y}$

¿Cómo podría escribir esta expresión de manera más concisa?

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James Sousa: Simplify Exponential Expressions- Quotient Rule (Simplificación de expresiones exponenciales: Regla del cociente) *Este video solo está disponible en inglés

Guía

En la expresión $x^3$ , $x$ se llama base y $3$ se llama exponente . Los exponentes suelen llamarse potencias . Cuando un exponente es un número entero positivo, indica cuántas veces se debe multiplicar la base por sí misma. Por ejemplo:

$x^3=x\cdot x \cdot x$
$2^4=2\cdot 2 \cdot 2 \cdot 2=16$ .

Hay muchas reglas que tienen que ver con los exponentes (usualmente llamadas las Leyes de los exponentes ) que es útil conocer para poder trabajar de forma más sencilla con expresiones y ecuaciones que tienen exponentes. Aquí aprenderá dos reglas que tienen que ver con exponentes y cocientes.

REGLA: Para dividir dos potencias con la misma base, reste los exponentes.

$& \qquad \qquad \ {\color{red} m \ \text{factors}}\\\& \qquad \qquad \qquad {\color{red}\uparrow}\\\& \frac{a^m}{a^n}=\frac{\overleftrightarrow{(a \times a \times \ldots \times a)}}{\underleftrightarrow{(a \times a \times \ldots \times a)}} \ m>n;a \neq 0\\\& \qquad \qquad \qquad {\color{red}\downarrow}\\\& \qquad \qquad \ {\color{red} n \ \text{factors}}\\\& \frac{a^m}{a^n}=\underleftrightarrow{(a \times a \times \ldots \times a)}\\\& \qquad \qquad \qquad {\color{red}\downarrow}\\\& \qquad \qquad \ {\color{red} m-n \ \text{factors}}\\\& \frac{a^m}{a^n}=a^{\color{red}m-n}$

REGLA: Para elevar un cociente a una potencia, eleve tanto el numerador como el denominador a la potencia.

$& \left(\frac{a}{b} \right)^n= \underleftrightarrow{\frac{a}{b} \times \frac{a}{b} \times \ldots \times \frac{a}{b}}\\\& \qquad \qquad \qquad \quad \ {\color{red}\downarrow}\\\& \qquad \qquad \quad \quad {\color{red}n} \ {\color{red}\text{factors}}\\\& \qquad \qquad \quad \quad {\color{red}n} \ {\color{red}\text{factors}}\\\& \qquad \qquad \qquad \quad \ {\color{red}\uparrow}\\\& \left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{\overleftrightarrow{(a \times a \times \ldots \times a)}}{\underleftrightarrow{(b \times b \times \ldots \times b)}}\\\& \qquad \qquad \qquad \quad \ {\color{red}\downarrow}\\\& \qquad \qquad \quad \quad {\color{red}n} \ {\color{red}\text{factors}}\\\& \left(\frac{a}{b} \right)^n=\frac{a^{\color{red}n}}{b^{\color{red}n}} \ (b \neq 0)$

Ejemplo A

Simplifique $2^7 \div 2^3$ .

Solución:

$& 2^7 \div 2^3 && \text{The base is} \ 2.\\\& 2^{7-3} && \text{Keep the base of} \ 2 \ \text{and subtract the exponents}.\\\& 2^{\color{red}4} && \text{The answer is in exponential form}.$

Se puede avanzar un paso más con la respuesta. La base es numérica, así que se puede calcular el valor del término.

$& 2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2\\\&{\color{red}2^4} = {\color{red}16}\\\& \boxed{2^7 \div 2^3 =2^4=16}$

Ejemplo B

Simplifique $\frac{x^8}{x^2}$ .

Solución:

$& \frac{x^8}{x^2} && \text{The base is} \ x.\\\& x^{8-2} && \text{Keep the base of} \ x \ \text{and subtract the exponents.}\\\& x^{\color{red}6} && \text{The answer is in exponential form.}\\\& \boxed{\frac{x^8}{x^2}=x^6}$

Ejemplo C

Simplifique $\frac{16x^5 y^5}{4x^2 y^3}$ .

Solución:

$& \frac{16x^5 y^5}{4x^2 y^3} && \text{The bases are} \ x \ \text{and} \ y.\\\& 4 \left( \frac{x^5 y^5}{x^2 y^3} \right) && \text{Divide the coefficients -} \ 16 \div 4=4. \ \text{Keep the base of} \ x \ \text{and} \ y \ \text{and}\\\& && \text{subtract the exponents of the same base.}\\\& 4x^{5-2}y^{5-3}\\\& 4x^{{\color{red}3}} y^{\color{red}2}$

Revisión del problema de concepto

$\frac{x\cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot y \cdot y \cdot y \cdot y \cdot y}{x\cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot y \cdot y \cdot y}$ se puede volver a escribir como $\frac{x^9y^5}{x^6y^3}$ y simplificar a: $x^3y^2$ .

Vocabulario

Base: En una expresión algebraica, la base es la variable, el número, el producto o el cociente al que se refiere el exponente. Algunos ejemplos son: En la expresión $2^5$ , “2” es la base. En la expresión $(-3y)^4$ , ‘ $-3y$ ” es la base.

Exponente: En una expresión algebraica, el exponente es el número que está a la derecha superior de la base, que indica cuántas veces se debe multiplicar la base por sí misma. Algunos ejemplos son:

En la expresión $2^5$ , “5” es el exponente. Significa que se debe multiplicar el 2 por sí mismo 5 veces como se ve aquí: $2^5=2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2$ .

En la expresión $(-3y)^4$ , “4” es el exponente. Significa que se debe multiplicar $-3y$ por sí mismo 4 veces como se ve aquí: $(-3y)^4=-3y \times -3y \times -3y \times -3y$ .

Leyes de los exponentes: Las leyes de los exponentes son las reglas y fórmulas algebraicas que nos indican la operación a realizar con los exponentes al trabajar con expresiones exponenciales.

Práctica guiada

Simplifique cada una de las expresiones siguientes.

1. $\left(\frac{2}{3}\right)^2$

2. $\left(\frac{x}{6}\right)^3$

3. $\left(\frac{3x}{4y}\right)^2$

Respuestas:

1. $\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{2^2}{3^2}=\frac{4}{9}$

2. $\left(\frac{x}{6}\right)^3=\frac{x^3}{6^3}=\frac{x^3}{216}$

3. $\left(\frac{3x}{4y}\right)^2=\frac{3^2x^2}{4^2y^2}=\frac{9x^2}{16y^2}$

Práctica

Simplifique cada una de las expresiones siguientes, si es posible.

$\left(\frac{2}{5}\right)^6$
$\left(\frac{4}{7}\right)^3$
$\left(\frac{x}{y}\right)^4$
$\frac{20x^4y^5}{5x^2y^4}$
$\frac{42x^2y^8z^2}{6xy^4z}$
$\left(\frac{3x}{4y}\right)^3$
$\frac{72x^2y^4}{8x^2y^3}$
$\left(\frac{x}{4}\right)^5$
$\frac{24x^{14}y^8}{3x^5y^7}$
$\frac{72x^3y^9}{24xy^6}$
$\left(\frac{7}{y}\right)^3$
$\frac{20x^{12}}{-5x^8}$

Simplifique usando las leyes de los exponentes: $\frac{2^3}{2^5}$
Calcule el valor del numerador y el denominador por separado y luego simplifique la fracción: $\frac{2^3}{2^5}$
Use el resultado del problema anterior para determinar el valor de $a$ : $\frac{2^3}{2^5}=\frac{1}{2^{a}}$
Use el resultado de los tres problemas anteriores para poder determinar el valor de $2^{-4}$ .

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