Regla de la potencia para los exponentes

Aquí aprenderá a hallar la potencia de una potencia.

¿Puede simplificar una expresión donde un exponente tiene un exponente? Por ejemplo, ¿cómo simplificaría $[(2^3)^2]^4$ ?

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James Sousa: Properties of Exponents (Propiedades de exponentes) *Este video solo está disponible en inglés

Guía

En la expresión $x^3$ , la $x$ se llama base y el $3$ se llama exponente . Los exponentes suelen llamarse potencias . Cuando un exponente es un número entero positivo, indica cuántas veces se debe multiplicar la base por sí misma. Por ejemplo:

$x^3=x\cdot x \cdot x$
$2^4=2\cdot 2 \cdot 2 \cdot 2=16$ .

Hay muchas reglas que tienen que ver con los exponentes (usualmente llamadas las Leyes de los exponentes ) que es útil conocer para poder trabajar de forma más sencilla con expresiones y ecuaciones que tienen exponentes. Aquí aprenderá una regla que tiene que ver con elevar una potencia a otra potencia.

REGLA: Para elevar una potencia a una nueva potencia, multiplique los exponentes.

$& (a^m)^n = \underleftrightarrow{(a \times a \times \ldots \times a)^n}\\\& \qquad \qquad \qquad \quad {\color{red}\downarrow}\\\& \qquad \qquad \quad {\color{red}m} \ \text{{\color{red} factors}}\\\& (a^m)^n=\underleftrightarrow{(a \times a \times \ldots \times a)} \times \underleftrightarrow{(a \times a \times \ldots \times a)} \ \underleftrightarrow{(a \times a \times \ldots \times a)}\\\& \qquad \qquad \qquad \quad \ {\color{red}\downarrow} \qquad \qquad \qquad \qquad {\color{red}\downarrow} \qquad \qquad \qquad \quad {\color{red}\downarrow}\\\& \qquad \quad \quad \underleftrightarrow{\quad {\color{red}m} \ \text{{\color{red}factors}} \qquad \qquad \ \ {\color{red}m} \ \text{{\color{red}factors}} \qquad \quad \ {\color{red}m} \ \text{{\color{red}factors}} \ \ }\\\& \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\color{red}n \ times}\\\& (a^m)^n=\underleftrightarrow{a \times a \times a \ldots \times a}\\\& \qquad \qquad {\color{red}mn \ \text{factors}}\\\& (a^m)^n = a^{\color{red}mn}$

Ejemplo A

Calcule el valor de $(2^3)^2$ .

Solución: $(2^3)^2=2^6=64$ .

Ejemplo B

Simplifique $(x^7)^4$ .

Solución: $(x^7)^4=x^{28}$ .

Ejemplo C

Calcule el valor de $(3^2)^3$ .

Solución: $(3^2)^3=3^6=729$ .

Ejemplo D

Simplifique $(x^2y^4)^2\cdot(xy^4)^3$ .

Solución: $(x^2y^4)^2\cdot(xy^4)^3=x^4y^8\cdot x^3y^{12}=x^7y^{20}$ .

Revisión del problema de concepto

$[(2^3)^2]^4=[2^6]^4=2^{24}$ . Observe que la regla de potencias se aplica cuando un número ha sido elevado a más de una potencia. El exponente total es 24, que es $3\cdot 2 \cdot 4$ .

Vocabulario

Base: En una expresión algebraica, la base es la variable, el número, el producto o el cociente al que se refiere el exponente. Algunos ejemplos son: En la expresión $2^5$ , “2” es la base. En la expresión $(-3y)^4$ , ‘ $-3y$ ” es la base.

Exponente: En una expresión algebraica, el exponente es el número que está a la derecha superior de la base, que indica cuántas veces se debe multiplicar la base por sí misma. Algunos ejemplos son:

En la expresión $2^5$ , “5” es el exponente. Significa que se debe multiplicar el 2 por sí mismo 5 veces como se ve aquí: $2^5=2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2$ .

En la expresión $(-3y)^4$ , “4” es el exponente. Significa que se debe multiplicar $-3y$ por sí mismo 4 veces como se ve aquí: $(-3y)^4=-3y \times -3y \times -3y \times -3y$ .

Leyes de los exponentes: Las leyes de los exponentes son las reglas y fórmulas algebraicas que nos indican la operación a realizar con los exponentes al trabajar con expresiones exponenciales.

Práctica guiada

Usted sabe que puede volver a escribir $2^4$ como $2 \times 2 \times 2 \times 2$ y luego calcular para hallar que $\boxed{2^4=16}$ . Este concepto también se puede invertir. Para escribir 32 como una potencia de 2, $32=2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2$ . Hay 5 dos; por lo tanto, $\boxed{32=2^{\color{red}5}}$ . Aplique esta idea para completar los siguientes problemas.

1. Escriba 81 como una potencia de 3.

2. Escriba $(9)^3$ como una potencia de 3.

3. Escriba $(4^3)^2$ como una potencia de 2.

Respuestas:

1. $81={\color{red}3} \times {\color{red}3}=9 \times {\color{red}3}=27 \times {\color{red}3}=81$

Hay 4 tres. Por lo tanto $\boxed{81=3^{\color{red}4}}$

2. $9={\color{red}3} \times {\color{red}3}=9$

Hay 2 tres. Por lo tanto $\boxed{9=3^{\color{red}2}}$ .

$(3^2)^3$ Aplique las leyes de los exponentes para potencias elevadas a una potencia: multiplique los exponentes.

$3^{2 \times 3}=3^{\color{red}6}$

Por lo tanto $\boxed{(9)^3=3^{\color{red}6}}$

3. $4={\color{red}2} \times {\color{red}2}=4$

Hay 2 dos. Por lo tanto $\boxed{4=2^{\color{red}2}}$

$\left((2^2)^3\right)^2$ Aplique las leyes de los exponentes para potencias elevadas a una potencia: multiplique los exponentes.

$\boxed{2^{2 \times 3}=2^{\color{red}6}}$

$(2^6)^2$ Aplique las leyes de los exponentes para potencias elevadas a una potencia: multiplique los exponentes.

$\boxed{2^{6 \times 2}=2^{\color{red}12}}$

Por lo tanto $\boxed{(4^3)^2=2^{\color{red}12}}$

Práctica

Simplifique cada una de las expresiones siguientes.

$\left(\frac{x^4}{y^3}\right)^5$
$\frac{(5x^2y^4)^5}{(5xy^2)^3}$
$\frac{x^8y^9}{(x^2y)^3}$
$(x^2y^4)^3$
$(3x^2)^2\cdot(4xy^4)^2$
$(2x^3y^5)(5x^2y)^3$
$(x^4y^6z^2)^2(3xyz)^3$
$\left(\frac{x^2}{2y^3}\right)^4$
$\frac{(4xy^3)^4}{(2xy^2)^3}$
Verdadero o falso: $(x^2+y^3)^2=x^4+y^6$
Verdadero o falso: $(x^2y^3)^2=x^4y^6$
Escriba 64 como una potencia de 4.
Escriba $(16)^3$ como una potencia de 2.
Escriba $(9^4)^2$ como una potencia de 3.
Escriba $(81)^2$ como una potencia de 3.
Escriba $(25^3)^4$ como una potencia de 5.

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