Exponentes cero y negativos

Aquí aprenderá a trabajar con exponentes cero y negativos.

¿Cómo puede usar las reglas de cocientes para exponentes para entender el significado de un exponente cero o negativo?

Mire este video

Khan Academy Negative Exponent Intuition (Intuición de los exponentes negativos) *Este video solo está disponible en inglés

Para obtener más información, haga clic en la imagen anterior. (requiere conexión a internet)

Guía

Exponente cero

Recuerde que $\boxed{\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}}$ . Si $m = n$ , entonces lo siguiente sería verdadero:

$\frac{a^m}{a^n}&=a^{{\color{red}m-n}}=a^{\color{red}0}\\\\frac{3^3}{3^3} &= 3^{{\color{red}3-3}}=3^{\color{red}0}$

Sin embargo, cualquier cantidad dividida por sí misma es igual a uno. Por lo tanto, $\frac{3^3}{3^3}=1$ , lo que significa que $3^{\color{red}0}={\color{red}1}$ . Esto es verdadero de forma general:

$\boxed{a^{\color{red}0}=1 \ \text{if} \ a \neq 0.}$

Observe que si $a=0, \ 0^{\color{red}0}$ no está definido.

Exponentes negativos

$4^2 \times 4^{-2}=4^{\color{red}2+(-2)}=4^{\color{red}0}={\color{red}1}$

Por lo tanto:

$& 4^2 \times 4^{-2}=1\\\& \frac{4^2 \times 4^{-2}}{4^2}=\frac{1}{4^2} && \text{Divide both sides by} \ 4^2.\\\& \frac{\cancel{4^2} \times 4^{-2}}{\cancel{4^2}}=\frac{1}{4^2} && \text{Simplify the equation.}\\\& \boxed{4^{{\color{red}-2}}=\frac{1}{4^{\color{red}2}}}$

Esto es verdadero de forma general y genera las siguientes leyes para exponentes negativos:

$\boxed{a^{{\color{red}-m}}=\frac{1}{a^{\color{red}m}}}$
$\boxed{\frac{1}{a^{{\color{red}-m}}}=a^{\color{red}m}}$

Estas leyes para exponentes negativos se pueden expresar de muchas formas:

Si un término tiene un exponente negativo, escríbalo con un 1 sobre el término con un exponente positivo. Por ejemplo: $a^{\color{red}-m}=\frac{1}{a^{\color{red}m}}$ y $\frac{1}{a^{\color{red}-m}}=a^{\color{red}m}$
Si un término tiene un exponente negativo, escriba la recíproca con un exponente positivo. Por ejemplo: $\left(\frac{2}{3}\right)^{{\color{red}-2}}=\left(\frac{3}{2}\right)^{\color{red}2}$ y $a^{{\color{red}-m}}=\frac{a^{-m}}{1}=\frac{1}{a^{\color{red}m}}$
Si el término es un factor en el numerador con un exponente negativo, escríbalo en el denominador con un exponente positivo. Por ejemplo: $3x^{{\color{red}-3}}y=\frac{3y}{x^{\color{red}3}}$ y $a^{{\color{red}-m}}b^n=\frac{1}{a^{\color{red}m}}(b^n)=\frac{b^n}{a^{\color{red}m}}$
Si el término es un factor en el denominador con un exponente negativo, escríbalo en el numerador con un exponente positivo. Por ejemplo: $\frac{2x^3}{x^{-2}}=2x^3(x^2)$ y $\frac{b^n}{a^{{\color{red}-m}}}=b^n \left(\frac{a^{{\color{red}m}}}{1}\right)=b^na^{\color{red}m}$

Estas formas de comprender los exponentes negativos proporcionan métodos abreviados para llegar a soluciones sin hacer cálculos tediosos. Los resultados serán los mismos.

Ejemplo A

Calcule el valor de la siguiente expresión aplicando las leyes de los exponentes.

$\left(\frac{3}{4}\right)^{-2}$

Solución:

Se pueden usar dos métodos para calcular el valor de la expresión.

Método 1: Aplique la regla del exponente negativo $\boxed{a^{-m}=\frac{1}{a^m}}$

$& \left(\frac{3}{4}\right)^{-2}=\frac{1}{{\color{red}\left(\frac{3}{4}\right)^2}} && \text{Write the expression with a positive exponent by applying} \ \boxed{a^{-m}=\frac{1}{a^m}}.\\\& \frac{1}{\left(\frac{3}{4}\right)^2}=\frac{1}{{\color{red}\frac{3^2}{4^2}}} && \text{Apply the law of exponents for raising a quotient to a power.} \ \boxed{\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}}\\\& \frac{1}{\frac{3^2}{4^2}}=\frac{1}{{\color{red}\frac{9}{16}}} && \text{Evaluate the powers.}\\\& \frac{1}{\frac{9}{16}}=1 \div \frac{9}{16} && \text{Divide}\\\& 1 \div \frac{9}{16}=1 \times \frac{16}{9}={\color{red}\frac{16}{9}}\\\& \boxed{\left(\frac{3}{4}\right)^{-2}=\frac{16}{9}}$

Método 2: Aplique el método abreviado y escriba la recíproca con un exponente positivo.

$& \left(\frac{3}{4}\right)^{-2}={\color{red}\left(\frac{4}{3}\right)^2} && \text{Write the reciprocal with a positive exponent.}\\\& \left(\frac{4}{3}\right)^2={\color{red}\frac{4^2}{3^2}} && \text{Apply the law of exponents for raising a quotient to a power.} && \boxed{\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}}\\\& \frac{4^2}{3^2}={\color{red}\frac{16}{9}} && \text{Simplify.}\\\& \boxed{\left(\frac{3}{4}\right)^{-2}=\frac{16}{9}}$

La aplicación del modo rápido abreviado el proceso para obtener la solución.

Ejemplo B

Resuelva lo siguiente aplicando solo exponentes negativos: (Si es posible, use métodos abreviados)

i) $y^{-6}$

ii) $\left(\frac{a}{b}\right)^{-3}$

iii) $\frac{x^5}{y^{-4}}$

iv) $a^2 \times a^{-5}$

Soluciones:

$& y^{-6} && \text{Write the expression with a positive exponent by applying} && \boxed{a^{-m}=\frac{1}{a^m}}.\\\& \boxed{y^{-6}=\frac{1}{y^6}}$

ii)

$& \left(\frac{a}{b}\right)^{-3} && \text{Write the reciprocal with a positive exponent.}\\\& \left(\frac{a}{b}\right)^{-3}={\color{red}\left(\frac{b}{a}\right)^3} && \text{Apply the law of exponents for raising a quotient to a power.} && \boxed{\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}}\\\& \left(\frac{b}{a}\right)^3={\color{red}\frac{b^3}{a^3}}\\\& \boxed{\left(\frac{a}{b}\right)^{-3}=\frac{b^3}{a^3}}$

iii)

$& \frac{x^5}{y^{-4}} && \text{Apply the negative exponent rule.} \ \boxed{\frac{1}{a^{{\color{red}-m}}}=a^{\color{red}m}}\\\& \frac{x^5}{y^{-4}}=x^5 \left(\frac{y^{\color{red}4}}{1}\right) && \text{Simplify}.\\\& \boxed{\frac{x^5}{y^{-4}}=x^5 y^4}$

iv)

$& a^2 \times a^{-5} && \text{Apply the product rule for exponents} \ \boxed{a^m \times a^n=a^{m+n}}.\\\& a^2 \times a^{-5}=a^{{\color{red}2+(-5)}} && \text{Simplify}.\\\& a^{2+(-5)}=a^{{\color{red}-3}} && \text{Write the expression with a positive exponent by applying} \ \boxed{a^{-m}=\frac{1}{a^m}}.\\\& a^{-3}={\color{red}\frac{1}{a^3}}\\\& \boxed{a^2 \times a^{-5}=\frac{1}{a^3}}$

Ejemplo C

Calcule el valor: $\frac{7^{-2}+7^{-1}}{7^{-3}+7^{-4}}$

Solución:

Se pueden usar dos métodos para calcular el valor del problema.

Método 1: Trabaje con los términos del problema en forma exponencial.

Numerador:

$& 7^{-2}=\frac{1}{7^2} \ \text{and} \ 7^{-1}=\frac{1}{7} && \text{Apply the definition} \ a^{-m}=\frac{1}{a^m}\\\& \frac{1}{7^2}+\frac{1}{7} && \text{A common denominator is needed to add the fractions.}\\\& \frac{1}{7^2}+\frac{1}{7} {\color{red}\left(\frac{7}{7}\right)} && \text{Multiply} \ \frac{1}{7} \ \text{by} \ \frac{7}{7} \ \text{to obtain the common denominator of} \ 7^2\\\& \frac{1}{7^2}+\frac{{\color{red}7}}{7^2}=\frac{1+7}{7^2}={\color{red}\frac{8}{7^2}} && \text{Add the fractions.}$

Denominador:

$& 7^{-3}=\frac{1}{7^3} \ \text{and} \ 7^{-4}=\frac{1}{7^4} && \text{Apply the definition} \ a^{-m}=\frac{1}{a^m}\\\& \frac{1}{7^3}+\frac{1}{7^4} && \text{A common denominator is needed to add the fractions.}\\\& {\color{red}\left(\frac{7}{7}\right)} \frac{1}{7^3}+\frac{1}{7^4} && \text{Multiply} \ \frac{1}{7^3} \ \text{by} \ \frac{7}{7} \ \text{to obtain the common denominator of} \ 7^4\\\& \frac{{\color{red}7}}{7^4}+\frac{1}{7^4}=\frac{1+{\color{red}7}}{7^4}={\color{red}\frac{8}{7^4}} && \text{Add the fractions.}$

Numerador y denominador:

$& \frac{8}{7^2} \div \frac{8}{7^4} && \text{Divide the numerator by the denominator.}\\\& \frac{8}{7^2} \times \frac{7^4}{8} && \text{Multiply by the reciprocal.}\\\& \frac{\cancel{8}}{7^2} \times \frac{7^4}{\cancel{8}}=\frac{7^4}{7^2}=7^{\color{red}2}={\color{red}49} && \text{Simplify.}\\\& \boxed{\frac{7^{-2}+7^{-1}}{7^{-3}+7^{-4}}=49}$

Método 2: Multiplique el numerador y el denominador por $7^4$ . Esto transformará todos los exponentes negativos en exponentes positivos. Aplique la regla del producto para exponentes y trabaje con los términos en forma exponencial.

$& \frac{7^{-2}+7^{-1}}{7^{-3}+7^{-4}}\\\& {\color{red}\left(\frac{7^4}{7^4}\right)} \frac{7^{-2}+7^{-1}}{7^{-3}+7^{-4}} && \text{Apply the distributive property with the product rule for exponents.}\\\& \frac{7^{\color{red}2}+7^{\color{red}3}}{7^{\color{red}1}+7^{\color{red}0}} && \text{Evaluate the numerator and the denominator.}\\\& \frac{49+343}{7+1}=\frac{392}{8}={\color{red}49}\\\& \boxed{\frac{7^{-2}+7^{-1}}{7^{-3}+7^{-4}}=49}$

Cualquiera que sea el método que utilice, el resultado será el mismo.

Revisión del problema de concepto

Según la regla del cociente para exponentes, $\frac{x^m}{x^m}=x^{m-m}=x^0$ . Dado que todo número dividido por sí mismo es igual a 1 (salvo el 0), $\frac{x^m}{x^m}=1$ . Por lo tanto, $x^0=1$ siempre y cuando $x\neq 0$ .

También, según la regla del cociente para exponentes, $\frac{x^2}{x^5}=x^{2-5}=x^{-3}$ . Si expandiera y redujera la expresión original, tendría $\frac{x^2}{x^5}=\frac{x\cdot x}{x\cdot x \cdot x\cdot x \cdot x}=\frac{1}{x^3}$ . Por lo tanto, $x^{-3}=\frac{1}{x^3}$ . Esto se generaliza así: $x^{-a}=\frac{1}{x^a}$ .

Vocabulario

Base: En una expresión algebraica, la base es la variable, el número, el producto o el cociente al que se refiere el exponente. Algunos ejemplos son: En la expresión $2^5$ , “2” es la base. En la expresión $(-3y)^4$ , ‘ $-3y$ ” es la base.

Exponente: En una expresión algebraica, el exponente es el número que está a la derecha superior de la base, que indica cuántas veces se debe multiplicar la base por sí misma. Algunos ejemplos son:

En la expresión $2^5$ , “5” es el exponente. Significa que se debe multiplicar el 2 por sí mismo 5 veces como se ve aquí: $2^5=2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2$ .

En la expresión $(-3y)^4$ , “4” es el exponente. Significa que se debe multiplicar $-3y$ por sí mismo 4 veces como se ve aquí: $(-3y)^4=-3y \times -3y \times -3y \times -3y$ .

Leyes de los exponentes: Las leyes de los exponentes son las reglas y fórmulas algebraicas que nos indican la operación a realizar con los exponentes al trabajar con expresiones exponenciales.

Práctica guiada

1. Use las leyes de los exponentes para simplificar lo siguiente: $(-3x^2)^3 (9x^4y)^{-2}$

2. Vuelva a escribir lo siguiente aplicando solo exponentes positivos. $(x^2 y^{-1})^2$

3. Use las leyes de los exponentes para calcular el siguiente valor: $[5^{-4} \times (25)^3]^2$

Respuestas:

$& (-3x^2)^3(9x^4y)^{-2} && \text{Apply the laws of exponents} \ \boxed{(a^m)^n=a^{mn}} \ \text{and} \ \boxed{a^{-m}=\frac{1}{a^m}}\\\& (-3x^2)^3 (9x^4y)^{-2}=(-3^{\color{red}3}x^{\color{red}6}) \left(\frac{1}{(9x^4y)^2}\right) && \text{Simplify and apply} \ \boxed{(ab)^n=a^nb^n}\\\ & (-3^3x^6) \left(\frac{1}{(9x^4y)^2}\right)={\color{red}-27}x^6 \left(\frac{1}{(9^{\color{red}2} x^{\color{red}8} y^{\color{red}2})}\right) && \text{Simplify}.\\\& -27x^6 \left(\frac{1}{(9^2x^8y^2)}\right)=\frac{-27x^6}{{\color{red}81}x^8y^2} && \text{Simplify and apply the quotient rule for exponents } \boxed{\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}}.\\\& \frac{-27x^6}{81x^8y^2}={\color{red}-\frac{1x^{-2}}{3y^2}} && \text{Apply the negative exponent rule} \ \boxed{a^{-m}=\frac{1}{a^m}}\\\& \boxed{(-3x^2)^3 (9x^4y)^{-2}=-\frac{1}{3x^2y^2}}$

$(x^2 y^{-1})^2 &= x^4y^{-2}\\\&=\frac{x^4}{y^2}$

$& [5^{-4} \times (25)^3]^2 && \text{Try to do this one by applying the laws of exponents.}\\\& [5^{-4} \times (25)^3]^2=[5^{-4} \times ({\color{red}5^2})^3]^2\\\& [5^{-4} \times ({\color{red}5^2})^3]^2=[5^{-4} \times 5^{\color{red}6}]^2\\\& [5^{-4} \times 5^{\color{red}6}]^2=(5^{\color{red}2})^2\\\& (5^{\color{red}2})^2=5^{\color{red}4}\\\& 5^4={\color{red}625}\\\& \boxed{[5^{-4} \times (25)^3]^2=5^4=625}$

Práctica

Calcule el valor de las siguientes expresiones:

$-\left(\frac{2}{3}\right)^0$
$\left(-\frac{2}{5}\right)^{-2}$
$(-3)^{-3}$
$6 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{-2}$
$7^{-4} \times 7^4$

Vuelva a escribir lo siguiente aplicando solo exponentes positivos. Simplifique cuando sea posible.

$(4wx^{-2}y^3z^{-4})^3$
$\frac{a^2b^3c^{-2}}{d^{-2}bc^{-6}}$
$x^{-2}(x^2-1)$
$m^4(m^2+m-5m^{-2})$
$\frac{x^{-2}y^{-2}}{x^{-1}y^{-1}}$
$\left(\frac{x^{-2}}{y^4}\right)^3\left(\frac{y^{-4}}{x^6}\right)^{-7}$
$\frac{(x^{-2}y^4)^2}{(x^5y^{-3})^4}$
$\frac{(3xy^2)^3}{(3x^2y)^4}$
$\left(\frac{x^2y^{-25}z^5}{-12.4x^3y}\right)^0$
$\left(\frac{x^{-2}}{y^3}\right)^5\left(\frac{y^{-2}}{x^4}\right)^{-3}$

Prev Next