Exponentes fraccionarios

Aquí aprenderá a trabajar con exponentes que son fracciones.

Si un exponente indica la cantidad de veces que se multiplica la base por sí misma, ¿qué significa que el exponente sea una fracción? ¿Cómo puede analizar y calcular $4^{\frac{3}{2}}$ ?

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Khan Academy Level 3 Exponents (Exponentes nivel 3) *Este video solo está disponible en inglés

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Guía

Un exponente fraccionario está relacionado con una raíz. Elevar un número a la potencia de $\frac{1}{2}$ es lo mismo que resolver la raíz cuadrada de ese número. Si tiene $a^{\frac{m}{n}}$ , puede considerar esta expresión de diversas maneras:

$a^{\frac{m}{n}}=(a^m)^{{\color{red}\frac{1}{n}}} \quad \text{or} \quad a^{\frac{m}{n}}=\left(a^{{\color{red}\frac{1}{n}}}\right)^m$

$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[{\color{red}n}]{a^{\color{red}m}} \quad \text{or} \quad a^{\frac{m}{n}}=(\sqrt[{\color{red}n}]{a})^{\color{red}m}$

Todas estas ideas se pueden resumir en la siguiente regla para exponentes fraccionarios:

$\boxed{a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}=(\sqrt[n]{a})^m \ m, n \in N}$

Ejemplo A

Simplifique lo siguiente:

$(125)^{-\frac{2}{3}}$

Solución:

$& (125)^{-\frac{2}{3}} && \text{Apply the law of exponents for negative exponents} \ \boxed{a^{-m}=\frac{1}{a^m}}.\\\& \frac{1}{125^{{\color{red}\frac{2}{3}}}} && \text{Apply the law of exponents for rational exponents} \ \boxed{a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}=\left( \sqrt[n]{a}\right)^{m} \ m,n \in N.}\\\& \frac{1}{\left(\sqrt[{\color{red}3}]{125}\right)^{\color{red}2}}$

La raíz cúbica de 125 es “ 5? ? ’.

$\frac{1}{{\color{red}5}^2}$

Calcule el valor del denominador.

$& {\color{red}\frac{1}{25}}\\\& \boxed{(125)^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{25}}$

Ejemplo B

Simplifique lo siguiente:

$(2a^2b^4)^{\frac{3}{2}}$

Solución:

$& (2a^2b^4)^{\frac{3}{2}} && \text{Apply the law of exponents for raising a power to a power} \ \boxed{(a^m)^n=a^{mn}}.\\\& (2a^2b^4)^{\frac{3}{2}}=2^{{\color{red}1 \times \frac{3}{2}}}(a^2)^{{\color{red}\frac{3}{2}}}(b^4)^{{\color{red}\frac{3}{2}}} && \text{Simplify the expression}.\\\& 2^{{\color{red}1 \times \frac{3}{2}}} (a^2)^{{\color{red}\frac{3}{2}}} (b^4)^{{\color{red}\frac{3}{2}}}=2^{{\color{red}\frac{3}{2}}}(a)^{{\color{red}2 \times \frac{3}{2}}}(b)^{{\color{red}4 \times \frac{3}{2}}} && \text{Simplify. Apply the rule for rational exponents} \ \boxed{a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m \ m,n \in N}.\\\& 2^{\color{red}\frac{3}{2}}(a)^{{\color{red}\cancel{2} \times \frac{3}{\cancel{2}}}} (b)^{{\color{red}\overset{2}{\cancel{4}} \times \frac{3}{\cancel{2}}}}=\sqrt{2^{{\color{red}3}}} (a)^{\color{red}3}(b)^{\color{red}6} && \text{Simplify}\\\& \sqrt{2^{\color{red}3}}(a)^{\color{red}3}(b)^{\color{red}6}=\sqrt{{\color{red}8}}a^3b^6\\\& \sqrt{{\color{red}8}}a^3b^6={\color{red}2} \sqrt{{\color{red}2}} a^3b^6\\\& \boxed{(2a^2b^4)^{\frac{3}{2}}=2 \sqrt{2}a^3b^6}$

Ejemplo C

Exprese lo siguiente usando radicales:

i) $2^{\frac{3}{8}}$

ii) $7^{-\frac{1}{5}}$

iii) $3^{\frac{3}{4}}$

Soluciones:

i) $2^{\frac{3}{8}}=\sqrt[{\color{red}8}]{2^{\color{red}3}}=\sqrt[{\color{red}8}]{8}$

ii) $7^{-\frac{1}{5}}=\frac{1}{\sqrt[{\color{red}5}]{7}}$

iii) $3^{\frac{3}{4}}=\sqrt[{\color{red}4}]{3^{\color{red}3}}=\sqrt[{\color{red}4}]{27}$

Ejemplo D

Exprese lo siguiente usando exponentes:

i) $\sqrt[3]{7^2}$

ii) $\frac{1}{\left(\sqrt[4]{5}\right)^3}$

iii) $\left(\sqrt[5]{a}\right)^2$

Soluciones:

i) $\sqrt[3]{7^2}=7^{\color{red}\frac{2}{3}}$

ii)

$& \frac{1}{\left(\sqrt[4]{5}\right)^3}\\\& \frac{1}{\left(\sqrt[4]{5}\right)^3}=\frac{1}{5^{\color{red}\frac{3}{4}}}\\\& \frac{1}{5^{\color{red}\frac{3}{4}}}=5^{{\color{red}-\frac{3}{4}}}$

iii) $\left(\sqrt[5]{a}\right)^2=a^{\color{red}\frac{2}{5}}$

Revisión del problema de concepto

$4^{\frac{3}{2}}=(\sqrt{4})^3=2^3=8$

Vocabulario

Base: En una expresión algebraica, la base es la variable, el número, el producto o el cociente al que se refiere el exponente. Algunos ejemplos son: En la expresión $2^5$ , “2” es la base. En la expresión $(-3y)^4$ , ‘ $-3y$ ” es la base.

Exponente: En una expresión algebraica, el exponente es el número que está a la derecha superior de la base, que indica cuántas veces se debe multiplicar la base por sí misma. Algunos ejemplos son:

En la expresión $2^5$ , “5” es el exponente. Significa que se debe multiplicar el 2 por sí mismo 5 veces como se ve aquí: $2^5=2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2$ .

En la expresión $(-3y)^4$ , “4” es el exponente. Significa que se debe multiplicar $-3y$ por sí mismo 4 veces como se ve aquí: $(-3y)^4=-3y \times -3y \times -3y \times -3y$ .

Leyes de los exponentes: Las leyes de los exponentes son las reglas y fórmulas algebraicas que nos indican la operación a realizar con los exponentes al trabajar con expresiones exponenciales.

Práctica guiada

1. Use las leyes de los exponentes para calcular el siguiente valor: $9^{\frac{3}{2}} \div 36^{-\frac{1}{2}}$

2. Simplifique lo siguiente usando las leyes de los exponentes. $(20a^2b^3c^{-1})^{\frac{3}{2}}$

3. Use las leyes de los exponentes para calcular el siguiente valor: $\frac{64^{\frac{2}{3}}}{216^{-\frac{1}{3}}}$

Respuestas:

1. $9^{\frac{3}{2}} \div 36^{-\frac{1}{2}}$

$& 9^{\frac{3}{2}} \div 36^{-\frac{1}{2}}=\left({\color{red}\sqrt{9}}\right)^{\color{red}3} \div \frac{1}{36^{\color{red}\frac{1}{2}}} \\\& \left(\sqrt{9}\right)^3 \div \frac{1}{36^{\frac{1}{2}}}=({\color{red}3})^3 \div \frac{1}{{\color{red}\sqrt{36}}} && \text{Simplify}\\\& (3)^3 \div \frac{1}{\sqrt{36}}={\color{red}27} \div \frac{1}{6} && \text{Perform the indicated operation of division.}\\\& 27 \div \frac{1}{6}=27 \times \frac{6}{1}={\color{red}162}\\\& \boxed{9^{\frac{3}{2}} \div 36^{-\frac{1}{2}}=162}$

$& (20a^2b^3c^{-1})^{\frac{3}{2}} && \text{Apply the law of exponents} \ \boxed{(ab)^n=a^nb^n}.\\\& (20a^2b^3c^{-1})^{\frac{3}{2}}=20^{{\color{red}1 \times \frac{3}{2}}} (a)^{{\color{red}2 \times \frac{3}{2}}} (b)^{{\color{red}3 \times \frac{3}{2}}} (c)^{{\color{red}-1 \times \frac{3}{2}}} && \text{Simplify the exponents}.\\\& 20^{1 \times \frac{3}{2}} (a)^{2 \times \frac{3}{2}} (b)^{3 \times \frac{3}{2}} (c)^{-1 \times \frac{3}{2}}=20^{\color{red}\frac{3}{2}} (a)^{\color{red}3} (b)^{\color{red}\frac{9}{2}} (c)^{\color{red}-\frac{3}{2}}$

$& 20^{\frac{3}{2}} (a)^3 (b)^{\frac{9}{2}} (c)^{-\frac{3}{2}}=\left({\color{red}\sqrt{20}}\right)^{\color{red}3} (a)^3 {\color{red}\sqrt{b^9}} \left({\color{red}\frac{1}{c^{\frac{3}{2}}}}\right) && \text{Simplify}\\\& 20^{\frac{3}{2}} (a)^3 (b)^{\frac{9}{2}} (c)^{-\frac{3}{2}}=\left({\color{red} 2 \sqrt{5}}\right)^{\color{red}3} {\color{red}(a^3) \left ( b^4 \sqrt{b} \right )} \left({\color{red}\frac{1}{\sqrt{c^3}}}\right) && \text{Simplify}\\\& \left(2 \sqrt{5}\right)^3 (a^3) \left ( b^4 \sqrt{b}\right) \left(\frac{1}{\sqrt{c^3}}\right)={\color{red}8\sqrt{125}} a^3b^4 \sqrt{b} \frac{1}{{\color{red}c \sqrt{c}}}\\\& 8\sqrt{125}a^3b^4 \sqrt{b}\frac{1}{c\sqrt{c}}={\color{red}40\sqrt{5}} a^3b^4 \sqrt{b} \left({\color{red}c \sqrt{c}}\right)^{{\color{red}-1}} && \text{Simplify}\\\& \boxed{(20 a^2b^3c^{-1})^{\frac{3}{2}}=40 \sqrt{5}a^3b^4 \sqrt{b} \left(c\sqrt{c}\right)^{-1}}$

3. $\frac{64^{\frac{2}{3}}}{216^{-\frac{1}{3}}}$ .

$& \mathbf{Numerator} && \mathbf{Denominator}\\\& 64^{\frac{2}{3}} && 216^{-\frac{1}{3}}\\\& 64^{\frac{2}{3}}=\left(\sqrt[3]{64}\right)^2 && 216^{-\frac{1}{3}}=\frac{1}{216^{\frac{1}{3}}}\\\& \left(\sqrt[3]{64}\right)^2=(4)^2 && 216^{-\frac{1}{3}}=\frac{1}{\sqrt[3]{216}}\\\& (4)^2=16 && \frac{1}{\sqrt[3]{216}}=\frac{1}{6}$

Numerador dividido por denominador:

$& 16 \div \frac{1}{6}\\\& 16 \times \frac{6}{1}=96\\\& \boxed{\frac{64^{\frac{2}{3}}}{216^{-\frac{1}{3}}}=96}$

Práctica

Exprese cada uno de las siguientes expresiones como un radical y, si es posible, simplifique.

$x^{\frac{1}{2}}$
$5^{\frac{3}{4}}$
$2^{\frac{3}{2}}$
$2^{-\frac{1}{2}}$
$9^{-\frac{1}{5}}$

Exprese cada uno de las siguientes expresiones con exponentes:

$\sqrt{26}$
$\sqrt[3]{5^2}$
$\left(\sqrt[6]{a}\right)^5$
$\sqrt[4]{m}$
$\left(\sqrt[3]{7}\right)^2$

Calcule los siguientes valores usando las leyes de los exponentes:

$3^{\frac{2}{5}} \times 3^{\frac{3}{5}}$
$(6^{0.4})^5$
$2^{\frac{1}{7}} \times 4^{\frac{3}{7}}$
$\left(\frac{64}{125}\right)^{-\frac{1}{2}}$
$(81^{-1})^{-\frac{1}{4}}$

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