Expresiones exponenciales

Aquí aprenderá a usar todas las leyes de los exponentes para simplificar y calcular el valor de expresiones exponenciales.

¿Puede simplificar la siguiente expresión de modo que solo tenga exponentes positivos?

$\frac{8x^3y^{-2}}{(-4a^2b^4)^{-2}}$

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James Sousa: Simplify Exponential Expressions (Simplificación de expresiones exponenciales) *Este video solo está disponible en inglés

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Guía

La siguiente tabla resume todas las reglas de exponentes.

Leyes de los exponentes

Si $a \in R, a \ge 0$ y $m, n \in Q$ , entonces

$a^m \times a^n=a^{m+n}$
$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n} \ (\text{if} \ m > n, a \neq 0)$
$(a^m)^n=a^{mn}$
$(ab)^n=a^nb^n$
$\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n} \ (b \neq 0)$
$a^0=1 \ (a \neq 0)$
$a^{-m}=\frac{1}{a^m}$
$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m$

Ejemplo A

Calcule el valor de $81^{-\frac{1}{4}}$ .

Solución: Primero, vuelva a escribir con un exponente positivo:

$81^{-\frac{1}{4}}=\frac{1}{81^{\frac{1}{4}}}=\left(\frac{1}{81}\right)^{\frac{1}{4}}$ .

Luego, calcule el valor del exponente fraccionario:

$\left(\frac{1}{81}\right)^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{\frac{1}{81}}=\frac{1}{3}$

Ejemplo B

Simplifique $(4x^3 y) (3x^5 y^2 )^4$ .

Solución:

$(4x^3 y) (3x^5 y^2 )^4&=(4x^3 y) (81x^{20} y^8 )\\\ & =324x^{23}y^9$

Ejemplo C

Simplifique $\left(\frac{x^{-2}y}{x^4y^3}\right)^{-2}$ .

Solución:

$\left(\frac{x^{-2}y}{x^4y^3}\right)^{-2}&=\left(\frac{x^4y^3}{x^{-2}y}\right)^{2}\\\ &=(x^6y^2)^{2}\\\ &=x^{12}y^4$

Revisión del problema de concepto

$\frac{8x^3y^{-2}}{(-4x^2y^4)^{-2}}&=(8x^3y^{-2})(-4x^2y^4)^2\\\&=(8x^3y^{-2})(16x^4y^8) \\\ &=8\cdot 16 \cdot x^3 \cdot x^4 \cdot y^{-2} \cdot y^8\\\ &=128x^7y^6$

Vocabulario

Base: En una expresión algebraica, la base es la variable, el número, el producto o el cociente al que se refiere el exponente. Algunos ejemplos son: En la expresión $2^5$ , “2” es la base. En la expresión $(-3y)^4$ , ‘ $-3y$ ” es la base.

Exponente: En una expresión algebraica, el exponente es el número que está a la derecha superior de la base, que indica cuántas veces se debe multiplicar la base por sí misma. Algunos ejemplos son:

En la expresión $2^5$ , “5” es el exponente. Significa que se debe multiplicar el 2 por sí mismo 5 veces como se ve aquí: $2^5=2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2$ .

En la expresión $(-3y)^4$ , “4” es el exponente. Significa que se debe multiplicar $-3y$ por sí mismo 4 veces como se ve aquí: $(-3y)^4=-3y \times -3y \times -3y \times -3y$ .

Leyes de los exponentes: Las leyes de los exponentes son las reglas y fórmulas algebraicas que nos indican la operación a realizar con los exponentes al trabajar con expresiones exponenciales.

Práctica guiada

Aplique las leyes de los exponentes para simplificar cada una de las siguientes expresiones:

1. $(-2x)^5 (2x^2)$

2. $(16x^{10}) \left(\frac{3}{4}x^5\right)$

3. $\frac{(x^{15})(x^{24})(x^{25})}{(x^7)^8}$

Respuestas:

1. $(-2x)^5 (2x^2)=(-32x^5)(2x^2)=-64x^7$

2. $(16x^{10}) \left(\frac{3}{4}x^5\right)=12x^{15}$

3. $\frac{(x^{15})(x^{24})(x^{25})}{(x^7)^8}=\frac{x^{64}}{x^{56}}=x^8$

Práctica

Simplifique cada expresión.

$(x^{10}) (x^{10})$
$(7x^3)(3x^7)$
$(x^3 y^2) (xy^3) (x^5 y)$
$\frac{(x^3)(x^2)}{(x^4)}$
$\frac{x^2}{x^{-3}}$
$\frac{x^6 y^8}{x^4 y^{-2}}$
$(2x^{12})^3$
$(x^5 y^{10})^7$
$\left(\frac{2x^{10}}{3y^{20}}\right)^3$

Exprese cada una de las siguientes expresiones como una potencia de 3. No calcule el valor.

$(3^3)^5$
$(3^9)(3^3)$
$(9)(3^7)$
$9^4$
$(9)(27^2)$

Aplique las leyes de los exponentes para calcular el valor de cada una de las siguientes expresiones sin usar la calculadora.

$(2^3)(2^2)$
$6^6 \div 6^5$
$-(3^2)^3$
$(1^2)^3+(1^3)^2$
$\left(\frac{1}{3}\right)^6 \div \left(\frac{1}{3}\right)^8$

Aplique las leyes de los exponentes para simplificar cada una de las siguientes expresiones.

$(4x)^2$
$(-3x)^3$
$(x^3)^4$
$(3x)(x^7)$
$(5x)(4x^4)$
$(-3x^2)(-6x^3)$
$(10x^8) \div (2x^4)$

Simplifique cada una de las siguientes expresiones aplicando las leyes de los exponentes.

$5^{\frac{1}{2}} \times 5^{\frac{1}{3}}$
$(d^4 e^8 f^{12})^{\frac{1}{4}}$
$\sqrt[4]{\frac{y^{\frac{1}{2}} \sqrt{xy}}{x^{\frac{2}{3}}}}$
$(32a^{20}b^{-15})^{\frac{1}{5}}$
$(729x^{12}y^{-6})^{\frac{2}{3}}$

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