Notación científica

Aquí aprenderá acerca de la notación científica.

Las cantidades y medidas muy grandes o muy pequeñas se suelen usar para proporcionar información en revistas, libros de texto, televisión, periódicos e Internet. Algunos ejemplos son:

La distancia entre el Sol y Neptuno es de 4,500,000,000 km.
El diámetro de un electrón es de aproximadamente 0.00000000000022 pulgadas.

La notación científica es un modo conveniente de representar números como esos. ¿Cómo podría escribir usted los números anteriores utilizando la notación científica?

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Khan Academy Scientific Notation (Notación científica) *Este video solo está disponible en inglés

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Khan Academy Scientific Notation Examples (Ejemplos de notación científica) *Este video solo está disponible en inglés

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Guía

Representar un número en notación científica significa expresar el número como un producto de dos factores: un número entre 1 y 10 (incluyendo a 1) y una potencia de 10. Se dice que un número real positivo “ $x$ ” está escrito en notación científica si está expresado como $x=a \times 10^n$ donde $1 \le a < 10 \ \text{and} \ n \ \in \ Z.$ En otras palabras, un número en notación científica es un solo dígito distinto de cero seguido por un separador decimal y otros dígitos, todo multiplicado por una potencia de 10.

Al trabajar con números escritos en notación científica, puede aplicar las siguientes reglas. Estas reglas están comprobadas en el Ejemplo B y el Ejemplo C.

$\boxed{(A \times 10^n)+(B \times 10^n)=(A+B)\times 10^n}$

$\boxed{(A \times 10^n)-(B \times 10^n)=(A-B)\times 10^n}$

$\boxed{(A \times 10^m) \times (B \times 10^n)=(A \times B) \times (10^{m+n})}$

$\boxed{(A \times 10^m) \div (B \times 10^n)=(A \div B) \times (10^{m-n})}$

Ejemplo A

Escriba los siguientes números en notación científica.

i) 2,679,000

ii) 0.00005728

Soluciones:

$2,679,000&=2.679 \times 1,000,000\\\2.679 \times 1,000,000&=2.679 \times 10^{{\color{red}6}}$

El exponente, $n = 6$ , representa el separador decimal que está 6 lugares a la derecha de la posición estándar del separador decimal.

ii)

$0.00005728&=5.728 \times 0.00001\\\5.728 \times 0.00001&=5.728 \times \frac{1}{100,000}\\\5.728 \times \frac{1}{100,000}&=5.728 \times \frac{1}{10^{\color{red}5}}\\\5.728 \times \frac{1}{100,000}&=5.728 \times 10^{\color{red}-5}$

El exponente, $n = -5$ representa el separador decimal que está 5 lugares a la izquierda de la posición estándar del separador decimal.

Una ventaja de la notación científica es que los cálculos con números grandes o pequeños se pueden hacer aplicando las leyes de los exponentes.

Ejemplo B

Complete la siguiente tabla.

Expresión en notación científica	Expresión en forma estándar	Resultado en forma estándar	Resultado en notación científica
$1.3 \times 10^5+2.5 \times 10^5$
$3.7 \times 10^{-2}+5.1 \times 10^{-2}$
$4.6 \times 10^4-2.2 \times 10^4$
$7.9 \times 10^{-2}-5.4 \times 10^{-2}$

Solución:

Expresión en notación científica	Expresión en forma estándar	Resultado en forma estándar	Resultado en notación científica
$1.3 \times 10^5+2.5 \times 10^5$	$130,000+250,000$	380,000	$3.8 \times 10^5$
$3.7 \times 10^{-2}+5.1 \times 10^{-2}$	$0.037+0.051$	0.088	$8.8 \times 10^{-2}$
$4.6 \times 10^4-2.2 \times 10^4$	$46,000-22,000$	24,000	$2.4 \times 10^4$
$7.9 \times 10^{-2}-5.4 \times 10^{-2}$	$0.079-0.054$	0.025	$2.5 \times 10^{-2}$

Observe que los números de la última columna tienen la misma potencia de 10 que aquellos de la primera columna.

Ejemplo C

Complete la siguiente tabla.

Expresión en notación científica	Expresión en forma estándar	Resultado en forma estándar	Resultado en notación científica
$(3.6 \times 10^2) \times (1.4 \times 10^3)$
$(2.5 \times 10^3) \times (1.1 \times 10^{-6})$
$(4.4 \times 10^4) \div (2.2 \times 10^2)$
$(6.8 \times 10^{-4}) \div (3.2 \times 10^{-2})$

Solución:

Expresión en notación científica	Expresión en forma estándar	Resultado en forma estándar	Resultado en notación científica
$(3.6 \times 10^2) \times (1.4 \times 10^3)$	$360 \times 1400$	504,000	$5.04 \times 10^5$
$(2.5 \times 10^3) \times (1.1 \times 10^{-6})$	$2500 \times 0.0000011$	0.00275	$2.75 \times 10^{-3}$
$(4.4 \times 10^4) \div (2.2 \times 10^2)$	$44,000 \div 220$	200	$2.0 \times 10^2$
$(6.8 \times 10^{-4}) \div (3.2 \times 10^{-2})$	$0.00068 \div 0.032$	0.02125	$2.125 \times 10^{-2}$

Observe que para la multiplicación, la potencia de 10 es el resultado de sumar los exponentes de las potencias de la primera columna. Para la división, la potencia de 10 es el resultado de restar los exponentes de las potencias de la primera columna.

Ejemplo D

Calcule cada una de las siguientes expresiones:

i) $4.6 \times 10^4+5.3 \times 10^5$

ii) $4.7 \times 10^{-3} - 2.4 \times 10^{-4}$

iii) $(7.3 \times 10^5) \times (6.8 \times 10^4)$

iv) $(4.8 \times 10^9) \div (5.79 \times 10^7)$

Solución:

i) Antes de aplicar la regla $\boxed{(A \times 10^n) + (B \times 10^n)=(A+B) \times 10^n}$ , se debe volver a escribir uno de los números de modo que las potencias de 10 sean iguales.

Vuelva a escribir $4.6 \times 10^4$

$4.6 \times 10^4=(0.46 \times 10^{\color{red}1}) \times 10^4$ La potencia $10^{\color{red}1}$ indica la cantidad de lugares a la derecha que se debe mover el separador decimal para volver 0.46 al número original 4.6.

$(0.46 \times 10^1) \times 10^4=0.46 \times 10^{\color{red}5}$ Sume los exponentes de la potencia.

Vuelva a escribir el problema y reemplace $4.6 \times 10^4$ con $0.46 \times 10^5$ .

$0.46 \times 10^5+5.3 \times 10^5$

Aplique la regla $\boxed{(A \times 10^n)+(B \times 10^n)=(A+B) \times 10^n}$ .

$&(0.46 \times 10^5) + (5.3 \times 10^5)=(0.46+5.3) \times 10^5\\\&(0.46+5.3) \times 10^5=5.76 \times 10^5\\\&\boxed{4.6 \times 10^4 + 5.3 \times 10^5=5.76 \times 10^5}$

ii) Antes de aplicar la regla $\boxed{(A \times 10^n)-(B \times 10^n)=(A-B) \times 10^n}$ , se debe volver a escribir uno de los números de modo que las potencias de 10 sean iguales.

Vuelva a escribir $4.7 \times 10^{-3}$

$4.7 \times 10^{-3}=(47 \times 10^{{\color{red}-1}}) \times 10^{-3}$ La potencia $10^{{\color{red}-1}}$ indica la cantidad de lugares a la izquierda que se debe mover el separador decimal para volver 47 al número original 4.7.

$(47 \times 10^{-1}) \times 10^{-3} = 47 \times 10^{{\color{red}-4}}$ Sume los exponentes de la potencia.

Vuelva a escribir el problema y reemplace $4.7 \times 10^{-3}$ con $47 \times 10^{-4}$ .

$47 \times 10^{-4}-2.4 \times 10^{-4}$

Aplique la regla $\boxed{(A \times 10^n)-(B \times 10^n)=(A-B) \times 10^n}$ .

$(47 \times 10^{-4})-(2.4 \times 10^{-4})&=(47-2.4)\times 10^{-4}\\\(47 \times 10^{-4})-(2.4 \times 10^{-4})&=44.6 \times 10^{-4}$

La respuesta se debe escribir en notación científica.

$&44.6 \times 10^{-4}=(4.46 \times 10^{{\color{red}1}}) \times 10^{-4} && \text{Apply the law of exponents }-\text{ add the exponents of the power.}\\\&4.46 \times 10 \times 10^{-4}=4.46 \times 10^{{\color{red}-3}}\\\&\boxed{4.7 \times 10^{-3}-2.4 \times 10^{-4}=4.46 \times 10^{-3}}$

iii) $(7.3 \times 10^5) \times (6.8 \times 10^4)$

$&7.3 \times 10^5 \times 6.8 \times 10^4 && \text{Apply the rule } \boxed{(A \times 10^m) \times (B \times 10^n)=(A \times B) \times (10^{m+n})}.\\\&(7.3 \times 10^5) \times (6.8 \times 10^4)=(7.3 \times 6.8) \times (10^{{\color{red}5+4}})\\\&(7.3 \times 6.8) \times (10^{{\color{red}5+4}})=({\color{red}49.64}) \times (10^{{\color{red}9}})\\\&({\color{red}49.64}) \times (10^{{\color{red}9}})=49.64 \times 10^9 && \text{Write the answer in scientific notation.}\\\&49.64 \times 10^9=(4.964 \times 10^{{\color{red}1}}) \times 10^9 && \text{Apply the law of exponents }-\text{ add the exponents of the power.}\\\&49.64 \times 10^9=4.964 \times 10^{{\color{red}10}}\\\&\boxed{(7.3 \times 10^5) \times (6.8 \times 10^4)=4.964 \times 10^{10}}$

iv) $(4.8 \times 10^9) \div (5.79 \times 10^7)$

$&(4.8 \times 10^9) \div (5.79 \times 10^7) && \text{Apply the rule } \boxed{(A \times 10^m)\div(B \times 10^n)=(A \div B) \times (10^{m-n})}.\\\&(4.8 \times 10^9) \div (5.79 \times 10^7) = (4.8 \div 5.79) \times 10^{{\color{red}9-7}} && \text{Apply the law of exponents }- \text{subtract the exponents of the power.}\\\&(4.8 \div 5.79) \times 10^{{\color{red}9-7}}=(0.829) \times 10^{{\color{red}2}} && \text{Write the answer in scientific notation.}\\\&(0.829) \times 10^{{\color{red}2}}=(8.29 \times 10^{{\color{red}-1}}) \times 10^{{\color{red}2}} && \text{Apply the law of exponents }-\text{ add the exponents of the power.}\\\& \boxed{(8.29 \times 10^{{\color{red}-1}}) \times 10^2 = 8.29 \times 10^1}$

Revisión del problema de concepto

La distancia entre el Sol y Neptuno se escribiría $4.5 \times 10^9 \ km$ y el diámetro de un electrón se escribiría $2.2 \times 10^{-13} \ in$ .

Vocabulario

Notación científica: La notación científica es un modo de escribir números en la forma de un número entre 1 y 10 multiplicado por una potencia de 10. El número 196.5 escrito en notación científica es $1.965 \times 10^2$ y el número 0.0760 escrito en notación científica es $7.60 \times 10^{-2}$ .

Práctica guiada

1. Exprese el siguiente producto en notación científica: $(4 \times 10^{12})(9.2 \times 10^7)$

2. Exprese el siguiente cociente en notación científica: $\frac{6,400,000}{0.008}$

3. Si $a=0.000415, b=521,$ y $c=71,640$ , halle un valor aproximado para $\frac{ab}{c}$ . Exprese la respuesta en notación científica.

Respuestas:

1. Aplique la regla $\boxed{(A \times 10^m) \times (B \times 10^n) =(A \times B) \times (10^{m+n})}$

$&(4 \times 10^{12}) \times (9.2 \times 10^7) = (4 \times 9.2) \times (10^{12+7})\\\&(4 \times 9.2) \times (10^{{\color{red}12+7}})={\color{red}36.8} \times 10^{{\color{red}19}}$

Exprese la respuesta en notación científica.

$& 36.8 \times 10^{19}=(3.68 \times 10^{{\color{red}1}}) \times 10^{{\color{red}19}}\\\&(3.68 \times 10^{{\color{red}1}}) \times 10^{{\color{red}19}}=3.68 \times 10^{{\color{red}20}}\\\& \boxed{(4 \times 10^{12})(9.2 \times 10^7)=3.68 \times 10^{20}}$

2. Comience expresando el numerador y el denominador en notación científica.

$\frac{6.4 \times 10^6}{8.0 \times 10^{-3}}$

Aplique la regla $\boxed{(A \times 10^m) \div (B \times 10^n)=(A \div B) \times (10^{m+n})}$ .

$&(6.4 \times 10^6) \div (8.0 \times 10^{-3})=({\color{red}6.4 \div 8.0}) \times (10^{{\color{red}6--3}}) && \text{Apply the law of exponents }-\text{ subtract the exponents of the powers.}\\\&(6.4 \div 8.0) \times (10^{6--3})=({\color{red}0.8}) \times (10^{{\color{red}9}})\\\&({\color{red}0.8}) \times (10^{\color{red}9})=0.8 \times 10^9 && \text{Express the answer in scientific notation.}\\\&0.8 \times 10^9=({\color{red}8.0} \times 10^{\color{red}-1}) \times 10^9\\\&0.8 \times 10^9=8.0 \times 10^{-1} \times 10^9 && \text{Apply the law of exponents }-\text{ add the exponents of the powers.}\\\& 8.0 \times 10^{-1} \times 10^9 =8.0 \times 10^8\\\& \boxed{\frac{6,400,000}{0.008}=8.0 \times 10^8} && \text{Express the answer in scientific notation.}$

3. Exprese todos los valores en notación científica.

$0.000415 &= 4.15 \times 10^{-4}\\\521 &= 5.21 \times 10^2\\\71,640 &= 7.1640 \times 10^4$

Use los valores en notación científica para determinar un valor aproximado para $\frac{ab}{c}$ .

$\frac{ab}{c}=\frac{(4.15 \times 10^{-4})(5.21 \times 10^2)}{7.1640 \times 10^4}$

En el numerador, aplique la regla $\boxed{(A \times 10^m) \times (B \times 10^n)=(A \times B) \times (10^{m+n})}$

$&\frac{(4.15 \times 10^{-4})(5.21 \times 10^2)}{7.1640 \times 10^4}=\frac{(4.15 \times 5.21) \times (10^{-4} \times 10^2)}{7.1640 \times 10^4}\\\&\frac{(4.15 \times 5.21) \times (10^{-4} \times 10^2)}{7.1640 \times 10^4}=\frac{21.6215 \times 10^{-2}}{7.1640 \times 10^4}\\\& \text{Apply the rule} \ \boxed{(A \times 10^m) \div (B \times 10^n)=(A \div B) \times (10^{m-n})}.\\\& \frac{21.6215 \times 10^{-2}}{7.1640 \times 10^4}=(21.6215 \div 7.1640) \times (10^{-2-4})\\\& \boxed{(21.6215 \div 7.1640) \times (10^{-2} \times 10^4)=3.018 \times 10^{-6}}$

Práctica

Exprese cada uno de los siguientes números en notación científica:

42,000
0.00087
150.64
56,789
0.00947

Exprese cada una de las siguientes expresiones en forma estándar:

$4.26 \times 10^5$
$8 \times 10^4$
$5.967 \times 10^{10}$
$1.482 \times 10^{-6}$
$7.64 \times 10^{-3}$

Realice las operaciones indicadas y exprese la respuesta en notación científica

$8.9 \times 10^4+4.3 \times 10^5$
$8.7 \times 10^{-4} -6.5 \times 10^{-5}$
$(5.3 \times 10^6) \times (7.9 \times 10^5)$
$(3.9 \times 10^8) \div (2.8 \times 10^6)$

Para los valores dados, realice las operaciones indicadas para $\frac{ab}{c}$ y exprese la respuesta en notación científica y en forma estándar.

$a&=76.1\\\b&=818,000,000\\\c&=0.000016$

$a &=9.13 \times 10^9\\\b &=5.45 \times 10^{-23}\\\c &=1.62$

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