Ecuaciones exponenciales

Aquí aprenderá a resolver ecuaciones básicas que contienen exponentes.

En la siguiente ecuación exponencial, la variable aparece en el exponente.

$9^{x+1}=\sqrt{27}$

¿Cómo puede resolver este tipo de ecuación donde no puede aislar la variable?

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James Sousa: Solving Exponential Equations (Resolución de ecuaciones exponenciales) *Este video solo está disponible en inglés

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Guía

Cuando una ecuación tiene exponentes, a veces la variable estará en el exponente y a veces no. Hay diferentes estrategias para resolver cada tipo de ecuación.

Cuando la variable está en el exponente: Vuelva a escribir cada lado de la ecuación de modo que las bases del exponente sean iguales. Luego, cree una ecuación nueva donde usted iguale los exponentes y resuelva (ver Ejemplo A).
Cuando la variable no está en el exponente: Manipule la ecuación de modo que el exponente ya no esté ahí (ver Ejemplo B). O vuelva a escribir cada lado de la ecuación de modo que ambos lados tengan el mismo exponente. Luego, cree una ecuación nueva donde las bases sean iguales de cada lado y resuelva (ver Ejemplo C).

Ejemplo A

Resuelva las siguientes ecuaciones exponenciales:

$25^{x-3}=\left(\frac{1}{5}\right)^{3x+18}$

Solución: La variable aparece en el exponente. Escriba ambos lados de la ecuación como una potencia de 5.

$({\color{red}5^2})^{x-3}=({\color{red}5^{-1}})^{3x+18}$

Aplique la ley de los exponentes para elevar una potencia a otra potencia $\boxed{(a^m)^n=a^{mn}}$ .

$& 5^{{\color{red}2(x-3)}}=5^{{\color{red}-1(3x+18)}} && \text{Simplify the exponents}.\\\& 5^{{\color{red}2x-6}}=5^{{\color{red}-3x-18}} && \text{The bases are the same so the exponents are equal quantities}.\\\& 2x-6=-3x-18 && \text{Set the exponents equal to each other and solve the equation}.\\\& 2x-6 {\color{red}+6}=-3x-18 {\color{red}+6}\\\& 2x=-3x {\color{red}-12}\\\& 2x {\color{red}+3x}=-3x {\color{red}+3x}-12\\\& {\color{red}5x}=-12\\\& \frac{5x}{{\color{red}5}}=\frac{-12}{{\color{red}5}}\\\& \frac{\cancel{5}x}{\cancel{5}}={\color{red}\frac{-12}{5}}\\\& \boxed{x=\frac{-12}{5}}$

Ejemplo B

Resuelva las siguientes ecuaciones exponenciales:

$4(x-2)^{\frac{1}{2}}=16$

Solución: La variable aparece en la base.

$& 4(x-2)^{\frac{1}{2}}=16 && \text{Divide both sides of the equation by} \ 4.\\\& \frac{4(x-2)^{\frac{1}{2}}}{{\color{red}4}}=\frac{16}{{\color{red}4}}\\\& \frac{\cancel{4}(x-2)^{\frac{1}{2}}}{\cancel{4}}=\frac{\overset{{\color{red}4}}{\cancel{16}}}{\cancel{4}}\\\& (x-2)^{\frac{1}{2}}=4 && \text{Multiply the exponents on each side of the equation by the reciprocal of} \ \frac{1}{2}.\\\& \left[(x-2)^{\frac{1}{2}}\right]^{{\color{red}2}} && \text{Apply the law of exponents} \ \boxed{(a^m)^n=a^{mn}}.\\\& (x-2)^{{\color{red}\frac{1}{2} \times 2}}=(4)^{{\color{red}1 \times 2}} && \text{Simplify the exponents}.\\\& (x-2)^{\color{red}1}={\color{red}4^2}\\\& {\color{red}x-2}={\color{red}16} && \text{Solve the equation}.\\\& x-2 {\color{red}+2}=16 {\color{red}+2}\\\& x={\color{red}18}\\\& \boxed{x=18}$

Ejemplo C

Resuelva la siguiente ecuación exponencial:

$(2x-4)^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{9}$

Solución: La variable aparece en la base.

$& (2x-4)^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{9} && \text{Apply} \ \boxed{a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m \ m,n \in N} \ \text{to the right side of the equation}.\\\& (2x-4)^{\frac{2}{3}}=(9)^{\color{red}\frac{1}{3}} && \text{Write} \ 9 \ \text{as a power of} \ 3.\\\& (2x-4)^{\frac{2}{3}}=({\color{red}3^2})^{\frac{1}{3}} && \text{Apply the law of exponents} \ \boxed{(a^m)^n=a^{mn}} \ \text{to the right side of the equation}.\\\& (2x-4)^{\frac{2}{3}}=(3)^{\color{red}2 \times \frac{1}{3}} && \text{Simplify the exponents}.\\\& (2x-4)^{\frac{2}{3}}=(3)^{\color{red}\frac{2}{3}} && \text{The exponents are equal so the bases are equal quantities}.\\\& 2x-4=3 && \text{Solve the equation}.\\\& 2x-4 {\color{red}+4}=3 {\color{red}+4}\\\& 2x={\color{red}7}\\\& \frac{2x}{{\color{red}2}}=\frac{7}{{\color{red}2}}\\\& \frac{\cancel{2}x}{\cancel{2}}={\color{red}\frac{7}{2}}\\\& \boxed{x=\frac{7}{2}}$

Revisión del problema de concepto

$9^{x+1}=\sqrt{27}$

Para comenzar, escriba cada lado de la ecuación con una base común. Tanto 9 como 27 se pueden escribir como una potencia de “3”. Por lo tanto, $({\color{red}3^2})^{x+1}=\sqrt{{\color{red}3^3}}$ .

Aplique $\boxed{(a^m)^n=a^{mn}}$ al lado izquierdo de la ecuación. $3^{{\color{red}2x+2}}=\sqrt{3^3}$

Exprese el lado derecho de la ecuación de forma exponencial y aplique $\boxed{(a^m)^n=a^{mn}}$ .

$& 3^{2x+2}=(3^3)^{{\color{red}\frac{1}{2}}}\\\& 3^{2x+2}=3^{{\color{red}\frac{3}{2}}}$

Ahora que las bases son iguales, los exponentes deben ser iguales.

${\color{red}2x+2}={\color{red}\frac{3}{2}}$

Resuelva la ecuación.

${\color{red}2}(2x+2)={\color{red}2} \left(\frac{3}{2}\right)$ Multiplique ambos lados de la ecuación por “2”. Simplifique y resuelva.

$& {\color{red}4x+4}=\cancel{2} \left(\frac{{\color{red}3}}{\cancel{2}}\right)\\\& 4x+4=3\\\& 4x+4 {\color{red}-4}=3{\color{red}-4}\\\& \frac{\cancel{4}x}{\cancel{4}}={\color{red}\frac{-1}{4}}\\\& \boxed{x=-\frac{1}{4}}$

Vocabulario

Ecuación exponencial: Una ecuación exponencial es una ecuación donde la variable aparece en el exponente o en la base. La ecuación se resuelve aplicando las leyes de los exponentes.

Práctica guiada

1. Aplique las leyes de los exponentes para resolver la siguiente ecuación exponencial: $27^{1-x}=\left(\frac{1}{9}\right)^{2-x}$

2. Aplique las leyes de los exponentes para resolver la siguiente ecuación exponencial: $(x-3)^{\frac{1}{2}}=(25)^{\frac{1}{4}}$

3. Aplique las leyes de los exponentes para resolver $\frac{(8^{x-4})(2^x)(4^{2x+3})}{32^x}=16$ .

Respuestas:

$& 27^{1-x}=\left(\frac{1}{9}\right)^{2-x} && \text{The variable appears in the exponent}.\\\& ({\color{red}3^3})^{1-x}=({\color{red}3^{-2}})^{2-x} && \text{Write each side of the equation as a power of} \ 3.\\\& (3^3)^{1-x}=(3^{-2})^{2-x} && \text{Apply the law of exponents} \ \boxed{(a^m)^n=a^{mn}}.\\\& (3)^{{\color{red}3(1-x)}}=(3)^{{\color{red}-2(2-x)}} && \text{Simplify the exponents}.\\\& 3^{{\color{red}3-3x}}=3^{{\color{red}-4+2x}} && \text{The bases are the same so the exponents are equal quantities}.\\\& 3-3x=-4+2x && \text{Solve the equation}.\\\& 3{\color{red}-3}-3x=-4{\color{red}-3}+2x\\\& -3x={\color{red}-7}+2x\\\& -3x{\color{red}-2x}=-7x+2x{\color{red}-2x}\\\& {\color{red}-5x}=-7\\\& \frac{-5x}{{\color{red}5}}=\frac{-7}{{\color{red}5}}\\\& \frac{\cancel{-5}x}{\cancel{-5}}={\color{red}\frac{7}{5}}\\\& \boxed{x=\frac{7}{5}}$

$& (x-3)^{\frac{1}{2}}=(25)^{\frac{1}{4}} && \text{The variable appears in the base}.\\\& (x-3)^{\frac{1}{2}}=({\color{red}5^2})^{\frac{1}{4}} && \text{Write} \ 25 \ \text{as a power of} \ 2.\\\& (x-3)^{\frac{1}{2}}=({\color{red}5^2})^{\frac{1}{4}} && \text{Apply the law of exponents} \ \boxed{(a^m)^n=a^{mn}} \ \text{to the right side of the equation}.\\\& (x-3)^{\frac{1}{2}}=(5)^{{\color{red}2 \times \frac{1}{4}}} && \text{Simplify the exponents}.\\\& (x-3)^{\frac{1}{2}}=(5)^{{\color{red}\frac{2}{4}}}\\\& (x-3)^{\frac{1}{2}}=(5)^{{\color{red}\frac{1}{2}}} && \text{The exponents are equal so the bases are equal quantities}.\\\& x-3=5 && \text{Solve the equation}.\\\& x-3 {\color{red}+3}=5 {\color{red}+3}\\\& x={\color{red}8}\\\& \boxed{x=8}$

$& \frac{(8^{x-4})(2^x)(4^{2x+3})}{32^x}=16 && \text{The variable appears in the exponent}.\\\& \frac{[({\color{red}2^3})^{x-4}](2^x)[({\color{red}2^2})^{2x+3}]}{({\color{red}2^5})^x}=2^{\color{red}4} && \text{Write all bases as a power of} \ 2. \ \text{Write} \ 16 \ \text{as a power of} \ 2.\\\& \frac{[({\color{red}2^3})^{x-4}](2^x)[({\color{red}2^2})^{2x+3}]}{({\color{red}2^5})^x}=2^{\color{red}4} && \text{Apply the law of exponents} \ \boxed{(a^m)^n=a^{mn}}.\\\ & \frac{[(2)^{{\color{red}3(x-4)}}](2^x)[(2)^{{\color{red}2(2x+3)}}]}{(2)^{{\color{red}5(x)}}}=2^{\color{red}4}\\\& \frac{[(2)^{{\color{red}3x-12}}](2^x)[(2)^{{\color{red}4x+6}}]}{2^{\color{red}5x}}=2^{\color{red}4} && \text{Simplify the exponents}.\\\& \frac{[2^{{\color{red}3x-12}}](2^x)[2^{{\color{red}4x+6}}]}{2^{{\color{red}5x}}}=2^{{\color{red}4}} && \text{Apply the law of exponents} \ \boxed{a^m \times a^n=a^{m+n}}.\\\& \frac{[2^{{\color{red}3x+x+4x-12+6}}]}{2^{{\color{red}5x}}}=2^{\color{red}4} && \text{Simplify the exponents}.\\\ & \frac{2^{{\color{red}8x-6}}}{2^{{\color{red}5x}}}=2^{{\color{red}4}} && \text{Apply the laws of exponents} \ \boxed{\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}}.\\\& 2^{{\color{red}8x-6-5x}}=2^{\color{red}4} && \text{Simplify the exponents}.\\\& 2^{{\color{red}3x-6}}=2^{\color{red}4} && \text{The bases are the same so the exponents are equal quantities}.\\\& 3x-6=4 && \text{Solve the equation}.\\\& 3x-6 {\color{red}+6}=4 {\color{red}+6}\\\& 3x={\color{red}10}\\\& \frac{3x}{{\color{red}3}}=\frac{10}{{\color{red}3}}\\\& \frac{\cancel{3}x}{\cancel{3}}={\color{red}\frac{10}{3}}\\\& \boxed{x=\frac{10}{3}}$

Práctica

Aplique las leyes de los exponentes para resolver las siguientes ecuaciones exponenciales:

$2^{3x-1}=\sqrt[3]{16}$
$36^{x-2}=\left(\frac{1}{6}\right)^{2x+5}$
$6(x-4)^{\frac{1}{3}}=18$
$(3x-2)^{\frac{2}{5}}=4$
$36^{x+1}=\sqrt{6}$
$3^{5x-1}=\sqrt[3]{9}$
$9^{2x-1}=\left(\sqrt[4]{27}\right)^x$
$(3x-2)^{\frac{3}{2}}=8$
$(x+1)^{-\frac{5}{2}}=32$
$\left(\sqrt{3}\right)^{4x}=27^{x-3}$
$4^{3x-1}=\sqrt[3]{32}$
$(x+2)^{\frac{2}{3}}=(27)^{\frac{2}{9}}$
$(2^{x-3})(8^x)=32$
$(x-2)^{\frac{1}{2}}=9^{\frac{1}{4}}$
$8^{x+12}=\left(\frac{1}{16}\right)^{2x-7}$

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