Funciones exponenciales

Aquí aprenderá a bosquejar y reconocer funciones exponenciales básicas. También aprenderá una aplicación de la vida real de las funciones exponenciales.

Roberta invirtió $600 en un fondo de inversión que paga 4% de interés cada año compuesto anualmente.

i) Complete una tabla que muestre el valor del fondo de inversión en los primeros cinco años.

ii) Escriba una función exponencial de la forma $y=a\cdot b^x$ para describir el valor del fondo de inversión.

iii) Use la función exponencial para determinar el valor del fondo de inversión en 15 años.

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Khan Academy Exponential Growth Functions (Funciones de crecimiento exponencial) *Este video solo está disponible en inglés

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Khan Academy Exponential Decay Functions (Funciones de decrecimiento exponencial) *Este video solo está disponible en inglés

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Guía

Una función exponencial es una función con una variable en el exponente. Los siguientes son dos ejemplos de funciones exponenciales:

$\boxed{y=2^x}$

$\boxed{y=\left(\frac{1}{2}\right)^x}$

Estos son algunos datos de interés sobre las funciones y sus representaciones:

La representación de $y=2^x$ es una curva ascendente. Indica crecimiento.
Cada valor de "y" en $y=2^x$ es 2 veces el valor del "y" anterior (para los valores enteros de "x"). Por ejemplo, los puntos de la representación van de (0, 1) a (1, 2) a (2, 4). El punto siguiente sería (3, 8). Los valores de "y" se siguen multiplicando por 2.
La representación de $y=\left(\frac{1}{2}\right)^x$ es una curva decreciente. Indica decrecimiento.
Cada valor de "y" en $y=\left(\frac{1}{2}\right)^x$ es $\frac{1}{2}$ del valor del "y" anterior (para los valores enteros de "x"). Por ejemplo, los puntos de la representación van de (0, 1) a $(1, \frac{1}{2})$ a $(2, \frac{1}{4})$ . Los valores de "y" se siguen multiplicando por $\frac{1}{2}$ .
Ambas representaciones tienen una intersección con "y" en 1. Esto se debe a que todo elemento elevado a la potencia cero es igual a 1.
El dominio de cada función es $D=\{x| x \in R\}$ .
El rango de cada función es $R=\{y | y>0, \ y \in R \}$ .

Según las observaciones anteriores, puede deducir que una función exponencial de la forma $y=ab^x$ donde $b >0$ tiene las siguientes propiedades:

Propiedades de una función exponencial de la forma $y=ab^x \ (b>0)$

" $b$ " es el valor de la razón común. Dentro de la función, a medida que el valor de x aumenta de a 1, el valor de y se multiplica por la razón común.
Si $b > 1$ entonces la curva representará un crecimiento exponencial.
Si $0 < b < 1$ entonces la curva representará un decrecimiento exponencial.
Toda función exponencial de la forma $y=ab^x$ pasará por el punto $(0, a)$ . $a$ siempre será la intersección de la función con "y" o su valor en el tiempo 0.
Toda función exponencial de la forma $y=ab^x$ tendrá el dominio y rango: $D=\{x| x \in R \} \ and \ R=\{y | y>0, \ y \in R \}$

Ejemplo A

Para las siguientes tablas de valores que representan funciones exponenciales, determine la razón común:

$& x \quad 0 \quad 1 \quad 2 \quad 3 \quad \ 4 \quad \cdots\\\& y \quad 1 \quad 2 \quad 4 \quad 8 \quad 16 \quad \cdots$

ii)

$& x \quad \ 0 \qquad 1 \quad \ 2 \qquad 3 \qquad \ 4 \quad \ \cdots\\\& y \quad 100 \quad 50 \quad 25 \quad 12.5 \quad 6.25 \quad \cdots$

Soluciones:

i) La razón común es una constante que está determinada por $r=\frac{t_{n+1}}{t_n}$ .

$& r=\frac{t_{n+1}}{t_n}=\frac{2}{1}=2\\\& r=\frac{t_{n+1}}{t_n}=\frac{4}{2}=2\\\& r=\frac{t_{n+1}}{t_n}=\frac{8}{4}=2\\\& r=\frac{t_{n+1}}{t_n}=\frac{16}{8}=2\\\& \boxed{\text{The common ratio is} \ 2.}$

ii) La razón común es una constante que está determinada por $r=\frac{t_{n+1}}{t_n}$ .

$& r=\frac{t_{n+1}}{t_n}\\\& r=\frac{50}{100}=\frac{1}{2}\\\& r=\frac{25}{50}=\frac{1}{2}\\\& r=\frac{12.5}{25}=\frac{1}{2}\\\& r=\frac{6.25}{12}=\frac{1}{2}\\\& \boxed{\text{The common ratio is } \frac{1}{2}.}$

Ejemplo B

Empleando la función exponencial $\boxed{f(x)=3^x}$ , determine el valor de cada una de las siguientes expresiones:

i) $f(2)$

ii) $f(3)$

iii) $f(0)$

iv) $f(4)$

v) $f(-2)$

Soluciones: $f(x)=3^x$ es otro modo de expresar $y=3^x$ . Para determinar el valor de la función para los valores dados, reemplace el exponente con ese valor y calcule el valor de la expresión.

$& f(x)=3^x\\\& f({\color{red}2})=3^{\color{red}2}\\\& f(2)={\color{red}9}\\\& \boxed{f(2)=9}$

ii)

$& f(x)=3^x\\\& f({\color{red}3})=3^{\color{red}3}\\\& f(3)={\color{red}27}\\\& \boxed{f(3)=27}$

iii)

$& f(x)=3^x\\\& f({\color{red}0})=3^{\color{red}0}\\\& f(0)={\color{red}1}\\\& \boxed{f(0)=1}$

iv)

$& f(x)=3^x\\\& f({\color{red}4})=3^{\color{red}4}\\\& f(4)={\color{red}81}\\\& \boxed{f(4)=81}$

$& f(x)=3^x\\\& f({\color{red}-2})=3^{\color{red}-2}\\\& f(-2)={\color{red}\frac{1}{3^2}}\\\& \boxed{f(-2)=\frac{1}{9}}$

Ejemplo C

El 1 de enero, Juan invirtió $1.00 en su banco a una tasa de interés del 10%, compuesto diariamente.

i) Cree una tabla de valores para los primeros 8 días de la inversión.

ii) ¿Cuál es la razón común?

iii) Determine la ecuación de la función que mejor representaría la inversión de Juan.

iv) ¿Cuánto dinero tendrá Juan en su cuenta el 31 de enero?

v) Si Juan hubiera invertido originalmente $100 en vez de $1.00 al 10%, ¿qué ecuación exponencial describiría la inversión? ¿Cuánto dinero tendría en la cuenta el 31 de enero?

Solución:

$&1.00(.10)=0.10 && 1.10(.10)=0.11 && 1.21(.10)=0.12 && 1.33(.10)=0.13\\\&1.00+0.10=1.10 && 1.10+0.11=1.21 && 1.21+0.12=1.33 && 1.33+0.13=1.46\\\\\\&1.46(.10)=0.15 && 1.61(.10)=0.16 && 1.77(.10)=0.18 && 1.95(.10)=0.20\\\&1.46+0.15=1.61 && 1.61+0.16=1.77 && 1.77+0.18=1.95 && 1.95+0.20=2.15$

$&\# \ \text{ of days} \qquad 0 \quad \ \ 1 \qquad 2 \qquad \ 3 \qquad \ 4 \qquad \ 5 \qquad \ 6 \qquad \ 7 \qquad \ 8\\\&\text{Money } (\$) \qquad 1 \quad 1.10 \quad 1.21 \quad 1.33 \quad 1.46 \quad 1.61 \quad 1.77 \quad 1.95 \quad 2.15$

ii) La razón común es una constante que está determinada por $\frac{t_{n+1}}{t_n}$ . Por lo tanto, la razón común para este problema es $r=\frac{t_{n+1}}{t_n} \rightarrow \frac{1.10}{1}=1.10 \rightarrow \frac{1.21}{1.10}=1.10 \rightarrow \frac{1.33}{1.21}=1.10$ .

La razón común es $\boxed{1.10}$ .

iii) La ecuación de la función para representar la inversión de Juan es $y=1.10^x$

iv)

$y=1.10^x \rightarrow y=1.10^{31} \rightarrow \boxed{y=\$ 19.19}$ .

El 31 de enero, Juan tendrá $19.19 en la cuenta.

$y&=100(1.10)^x\\\y&=100(1.10)^{31} \rightarrow y={\color{red}\$1919.43} \rightarrow \boxed{y=\$1919.43}.$

El 31 de enero, Juan tendría $1919.43 en la cuenta si hubiera invertido $100 en vez de $1.00.

Revisión del problema de concepto

Roberta invirtió $600 en un fondo de inversión que paga 4% de interés cada año compuesto anualmente.

$& 600(.04)=24 && 624(.04)=24.96 && 648.96(.04)=25.96 \\\&600+24=624 && 624+24.96=648.96 && 648.96+25.96=674.92\\\\\\&674.92(.04)=27.00 && 701.92(.04)=28.08\\\&674.92+27.00=701.92 && 701.92+28.08=730.00$

$&\text{Time} \ (years) \ \ 0 \qquad 1 \qquad \ \ 2 \qquad \quad \ 3 \qquad \quad \ 4 \qquad \quad \ 5\\\&\text{Value (\$)} \qquad 600 \quad 624 \quad 648.96 \quad 674.92 \quad 701.92 \quad 730.00$

ii) El valor inicial es $600. La razón común es 1.04, que representa la inversión inicial y la tasa de interés es el 4%. El exponente es el tiempo en años. La función exponencial es $y=600(1.04)^x$ o $v=600(1.04)^t$ .

iii)

$& v=600(1.04)^t\\\& v=600(1.04)^{\color{red}15}\\\& v={\color{red}\$1080.57}\\\&\boxed{v=\$1080.57}$

El valor del fondo de inversión en quince años será $1080.57.

Vocabulario

Razón común: La razón común es la constante que existe entre términos consecutivos y se determina aplicando la fórmula $r=\frac{t_{n+1}}{t_n}$ . En una función exponencial de la forma $y=b^x$ , ‘ $b$ ” representa la razón común.

Curva de decrecimiento: Se llama curva de decrecimiento a la representación de una función exponencial donde la razón común es tal que $0 < b < 1$ . La curva es decreciente ya que el valor de la función cae a medida que el valor de “ $x$ ” aumenta. La siguiente es una curva de decrecimiento:

Función exponencial: Una función exponencial es una función $(y)$ de la forma $y=b^x$ , donde “ $b$ ” es la razón común y “ $x$ ” es un exponente que representa a la variable.

Curva de crecimiento: Se llama curva de crecimiento a la representación de una función exponencial donde la razón común es tal que $b>1$ . La curva es creciente ya que el valor de la función aumenta a medida que el valor de “ $x$ ” aumenta. La siguiente es una curva de crecimiento:

Práctica guiada

1. El siguiente gráfico muestra el cambio en el valor de la compra de dos revistas de historietas en el año 2000. Se estimaba que ambas revistas serían una buena inversión, pero una de ellas no fue tan buena como se esperaba. Use las representaciones gráficas para responder las preguntas.

a) ¿Cuál fue el precio de compra de cada revista de historietas?

b) ¿Qué revista de historietas muestra un crecimiento exponencial?

c) ¿Qué revista de historietas muestra un decrecimiento exponencial?

d) ¿En qué año ambas revistas de historietas tenían el mismo valor?

e) Establezca el dominio y rango de cada revista.

2. Paulette compró una tarjeta coleccionable de Bobby Orr por $300. El valor de la tarjeta se aprecia (aumenta) un 30% cada año.

a) Complete una tabla de valores para mostrar los primeros cinco años de la inversión.

b) Determine la razón común para los términos consecutivos.

c) Determine la ecuación de la función exponencial que representa esta inversión.

3. Debido al cierre del molino de pulpa de celulosa y de papel, la población de la pequeña ciudad disminuye a razón del 12% anual. Si ahora viven 2400 personas en la ciudad, ¿cuál será la población proyectada de la ciudad en ocho años?

Respuestas:

1. a) El precio de compra de cada revista de historietas es la intersección con $y$ . La intersección con $y$ es el valor inicial de las revistas. La revista de historietas de Spiderman costaba $30.00 y la revista de historietas de Superman costaba $5.00.

b) La revista de historietas de Superman muestra un crecimiento exponencial.

c) La revista de historietas de Spiderman muestra un decrecimiento exponencial.

d) En 2005 ambas revistas de historietas tenían el mismo valor. La intersección entre las curvas es aproximadamente en (5, $12.50), donde 5 representa cinco años después de que se compraron las revistas.

e) El dominio y rango de cada revista es $D=\{x| x \in R\}$ y $R=\{y|y>0, \ y \in R\}$

$&300(.30)=90 && 390(.30)=117 && 507(.30)=152.10\\\&300+90=390 && 390+117=507 && 507+152.10=659.10\\\\\\&659.10(.30)=197.73 && 856.83(.30)=257.05\\\&659.10+197.73=856.83 && 856.83+257.05=1113.88$

$&\text{Time} \ (years) \ \ 0 \qquad 1 \qquad 2 \qquad \quad 3 \qquad \quad 4 \qquad \quad \ 5\\\&\text{Value (\$)} \qquad 300 \quad 390 \quad 507 \quad 659.10 \quad 856.83 \quad 1113.88$

$& r=\frac{t_{n+1}}{t_n}\\\& r=\frac{390}{300}=1.3\\\& r=\frac{507}{390}=1.3\\\& r=\frac{659.10}{507}=1.3\\\& r=\frac{856.83}{659.10}=1.3\\\& r=\frac{1113.88}{856.83}=1.3$

c) La función exponencial que representaría la inversión de Paulette es $\boxed{y=300(1.3)^x \ or \ v=300(1.3)^t}$

3. La población de la ciudad está disminuyendo un 12% anual. El modo más sencillo de aplicar esto en una función exponencial es usar el porcentaje de la población que aún existe cada año (88%).

Por lo tanto, la función exponencial consistiría en la población actual $(a)$ , la razón común es 0.88 $(b)$ y el tiempo en años sería el exponente $(x)$ . La función es $p=2400(0.88)^t$

Dentro de ocho años, la población sería

$& p=2400(0.88)^t\\\& p=2400(0.88)^8\\\& p=863.123\\\& p \approx 863 \ people$

Práctica

Brandon compró un automóvil a $13,000. El valor del automóvil se deprecia 20% cada año.

Complete una tabla de valores para mostrar los valores del automóvil durante los primeros cinco años.
Determine la función exponencial que representaría la depreciación del automóvil de Brandon.

Para cada una de las siguientes funciones exponenciales, establezca la razón común y la intersección con $y$ e indique si la función representa una curva de crecimiento o decrecimiento.

$y=4(5)^x$
$y=13(2.3)^x$
$y=0.85(0.16)^x$
$y=1.6(0.5)^x$
$y=0.4(2.1)^x$

Asocie cada una de las siguientes curvas con la ecuación correspondiente:

$y=2^x$
$y=3^x$
$y=2(3)^x$
$y=3(2)^x$
¿Representan estas curvas crecimiento o decrecimiento?