Funciones exponenciales avanzadas

Aquí aprenderá más sobre las funciones exponenciales de la forma $y=a(b)^{\left ( \frac{x}{c} \right )}$ y $y=a(b)^{\left ( \frac{x}{c} \right )}+d$ .

Andrea invirtió dinero en un fondo de inversión. Cada tres meses recibía el estado de cuenta que indicaba el crecimiento de su inversión. Andrea registró los siguientes datos de sus estados de cuenta:

$&\text{Time} \ (months) \ \ 0 \qquad \ 3 \qquad \quad 6 \qquad \qquad 9 \qquad \quad 12 \qquad \quad \ 15\\\&\text{Value (\$)} \qquad \ 1200 \quad 1224 \quad 1248.48 \quad 1273.45 \quad 1298.92 \quad 1324.90$

i) ¿Cuál fue la inversión inicial?

ii) ¿Cuál era la tasa de interés que el banco aplicaba a su inversión? Exprese esto como un porcentaje.

iii) ¿Cuál es la función exponencial que mejor representa el valor de la inversión de Andrea?

iv) ¿Cuál será el valor del fondo de inversión en dos años?

v) ¿Puede usar tecnología para determinar el período de tiempo que llevará al fondo de inversión duplicar el valor?

Mire este video

James Sousa: Find the Equation of a Transformed Exponential Function From a Graph (Hallar la ecuación de una función exponencial transformada a partir de su representación gráfica) *Este video solo está disponible en inglés

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Guía

Ha aprendido sobre funciones exponenciales de la forma $y=ab^x$ donde el valor de $x$ aumentaba en incrementos de uno. Sin embargo, los datos se suelen reunir usando otros intervalos tales como cada tres meses, cada dos horas, cada quince minutos, etc. Usted aún desea obtener la función exponencial para representar dicha situación, pero la función se debe modificar para adaptarse a este cambio de intervalo.

Ahora, la función exponencial se expresará de la forma $y=a(b)^{\frac{x}{c}}$ donde:

‘ $a$ ” representa el valor inicial (intersección con y)
‘ $b$ ” representa la razón común (la razón de crecimiento o decrecimiento)
‘ $c$ ” representa el incremento de valor de $x$ .

Con las funciones exponenciales de la forma $y=ab^x$ , la asíntota horizontal es el eje $x$ . Una asíntota horizontal es una línea horizontal a la que una función se acerca cada vez más. Observe la representación de la función $y=2^x$ . La curva de crecimiento se acerca cada vez más al eje $x$ , así que ésta es la asíntota horizontal. La ecuación de la asíntota horizontal es $\boxed{y=0}$ .

Ahora observe la representación de la función $y=2^x+1$ . La curva de crecimiento se acerca cada vez más a la línea $y=1$ , así que ésta es la asíntota horizontal.

En las funciones exponenciales de la forma $y=a(b)^{\frac{x}{c}}+d$ :

‘ $a+d$ ” representa el valor inicial (intersección con y)
‘ $b$ ” representa la razón común (la razón de crecimiento o decrecimiento)
‘ $c$ ” representa el incremento de valor de $x$ .
‘ $y=d$ ” representa la asíntota horizontal.

Ejemplo A

Escriba una función exponencial de la forma $y=a(b)^{\frac{x}{c}}$ para describir la tabla de valores.

$& X \qquad 0 \qquad 2 \qquad 4 \qquad 6 \quad \ 8 \quad \ \ 10\\\& Y \qquad 3 \qquad 6 \quad \ \ 12 \quad \ \ 24 \quad 48 \quad \ 96$

Solución:

El valor inicial “ $a$ ” es 3. La razón común es:

$& \boxed{r=\frac{t_{n+1}}{t_n}=\frac{6}{3}=2} && \boxed{r=\frac{t_{n+1}}{t_n}=\frac{12}{6}=2} && \boxed{r=\frac{t_{n+1}}{t_n}=\frac{24}{12}=2}\\\&\boxed{r=\frac{t_{n+1}}{t_n}=\frac{48}{24}=2} && \boxed{r=\frac{t_{n+1}}{t_n}=\frac{96}{48}=2}$

El incremento del valor de $x$ es 2. La función exponencial para describir la tabla de valores es $\boxed{y=3(2)^{\frac{x}{2}}}$ .

Ejemplo B

Un radioisótopo decae exponencialmente con el tiempo según la ecuación $A(t)=42\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{20}}$ , donde $A(t)$ es la cantidad de isótopos presentes en el tiempo $t$ , en días.

i) ¿Cuál es el período de semidesintegración del isótopo?

ii) Explique en palabras lo que representa la ecuación.

iii) ¿Qué cantidad de isótopo permanecerá luego de 35 días?

Soluciones:

i) El período de semidesintegración es el tiempo que demora para que solo quede la mitad de la cantidad original de isótopos. Dado que $b=\frac{1}{2}$ , el período de semidesintegración del isótopo es el incremento del valor de $x$ que es “ $c$ ’. El período de semidesintegración es 20 días.

ii) La ecuación representa la cantidad $(A)$ que queda de un isótopo en desintegración en cualquier momento $x$ , en días. Hay 42 unidades presentes al comienzo y el período de semidesintegración es 20 días.

iii)

$A(t)&=42\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{20}}\\\A(t)&=42\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{35}{20}}=12.5 \ units$

Ejemplo C

Brian compró una taza de café en la cafetería y la colocó sobre el suelo mientras registraba el cambio de temperatura (ese día la temperatura era $0^{\circ} C$ ). Registró la temperatura del café cada 3 minutos; los resultados figuran en la siguiente tabla:

$&\text{Time } (min) \qquad 0 \qquad \ 3 \qquad \ 6 \qquad \ 9 \quad \ \ 12 \quad \ \ 15\\\&\text{Temp }(0^{\circ} C) \quad 90.0 \quad 81.0 \quad 72.9 \quad 65.6 \quad 59.0 \quad 53.1$

i) Escriba una función exponencial para describir la temperatura del café después de “ $t$ ” minutos.

i) Determine la temperatura del café después de 30 minutos.

iii) Determine la temperatura del café después de 1 hora.

Soluciones:

i) El valor inicial “ $a$ ” es 90.

La razón común es

$&\boxed{r=\frac{81}{90}=0.9} && \boxed{r=\frac{t_{n+1}}{t_n}=\frac{72.9}{81}=0.9} && \boxed{r=\frac{t_{n+1}}{t_n}=\frac{65.6}{72.9}=0.899=0.9}\\\&\boxed{r=\frac{t_{n+1}}{t_n}=\frac{59.0}{65.6}=0.899=0.9} && \boxed{r=\frac{t_{n+1}}{t_n}=\frac{53.1}{59}=0.9}$

El incremento del valor de $x$ es 3.

La función exponencial para describir la tabla de valores es $\boxed{y=90(0.9)^{\frac{x}{3}}}$ .

ii) Reemplace “ $x$ ” en el exponente con “30” y calcule el valor de la función. $y=90(0.9)^{\frac{30}{3}}=31.4^{\circ} C$

iii) Una hora equivale a 60 minutos. Reemplace “ $x$ ” en el exponente con “60” y calcule el valor de la función. $y=90(0.9)^{\frac{60}{3}}=10.9^{\circ} C$

Ejemplo D

En el ejemplo anterior, la temperatura exterior era $0^{\circ} C$ . Esta temperatura se eligió para que el valor de la asíntota horizontal fuera cero. Y lo más importante es que esto nos permitió determinar el valor de la razón común.

Ahora investigará nuevamente el mismo problema teniendo como temperatura exterior $15^{\circ} C$ . ¿Cómo afectará esto al valor de la razón común? ¿Cómo se puede determinar el valor de “ $b$ ” de modo que se pueda crear una función exponencial para representar los datos?

Brian compró una taza de café en la cafetería y la colocó sobre el suelo mientras registraba el cambio de temperatura (ese día la temperatura era $15^{\circ} C$ ). Registró la temperatura del café cada 3 minutos; los resultados figuran en la siguiente tabla:

$&\text{Time } (min) \qquad \ 0 \qquad \ \ 3 \qquad \ 6 \qquad 9 \qquad 12 \quad \ \ 15\\\&\text{Temp }(0^{\circ} C) \quad 105.0 \quad 96.0 \quad 87.9 \quad 80.6 \quad 74.0 \quad 68.1$

i) Determine la razón de enfriamiento del café.

ii) Escriba una función exponencial para describir la temperatura del café después de “ $t$ ” minutos.

iii) Determine la temperatura del café después de 1 hora.

Soluciones:

i) Primero puede intentar determinar la razón común usando los valores de la tabla proporcionada.

$&\boxed{r=\frac{96}{105}=0.914} && \boxed{r=\frac{t_{n+1}}{t_n}=\frac{87.9}{96}=0.916} && \boxed{r=\frac{t_{n+1}}{t_n}=\frac{80.6}{87.9}=0.917}\\\& \boxed{r=\frac{t_{n+1}}{t_n}=\frac{74.0}{80.6}=0.918} && \boxed{r=\frac{t_{n+1}}{t_n}=\frac{68.1}{74.0}=0.920}$

Observe que esto no funciona. La razón común debe ser uniforme. Para eliminar la dificultad de identificar la razón común, simplemente reste el valor de la asíntota horizontal (15) a cada uno de los valores de $y$ . Entonces, busque la razón común.

La razón común es 0.9. Por lo tanto, la temperatura del café disminuye un 10% cada 3 minutos.

ii) El valor de “ $a$ ” es la temperatura inicial menos la temperatura exterior. $a=105.0^{\circ} C - 15.0^{\circ} C = 90^{\circ} C$

El valor inicial “ $a$ ” es 90. La razón común “ $b$ ” es 0.9. El incremento de los valores de $x$ es 3. Por lo tanto, $c = 3$ . La temperatura más fría que alcanzará el café es la de la temperatura exterior. Por lo tanto $d = 15$ . La función exponencial que representa el problema es $\boxed{y=90(0.9)^{\frac{x}{3}}+15}$

iii) Una hora equivale a 60 minutos. Reemplace “ $x$ ” en el exponente con “60” y calcule el valor de la función. $\boxed{y=90(0.9)^{\frac{60}{3}}+15=25.9^{\circ} C}$

Revisión del problema de concepto

i) La inversión inicial fue de $1200.

ii) La tasa de interés que el banco aplicó a su inversión fue:

$& r=\frac{t_{n+1}}{t_n} && r=\frac{t_{n+1}}{t_n} && r=\frac{t_{n+1}}{t_n} && r=\frac{t_{n+1}}{t_n} && r=\frac{t_{n+1}}{t_n}\\\& r=\frac{1224}{1200} && r=\frac{1248.48}{1224} && r=\frac{1273.45}{1248.48} && r=\frac{1298.92}{1273.45} && r=\frac{1324.90}{1298.92}\\\& \boxed{r=1.02} && \boxed{r=1.02} && \boxed{r=1.02} && \boxed{r=1.02} && \boxed{r=1.02}$

La razón común es 1.02. Por lo tanto la tasa de interés era del 2%.

iii) El incremento del valor de $x$ es 3. Por lo tanto “ $c$ ’? $= 3$ ? . La función exponencial para representar la inversión de Andrea es $\boxed{y=1200(1.02)^{\frac{x}{3}}}$ .

iv) El valor de “ $c$ ” es 3. Esto representa el período de 3 meses en que el banco aplica el interés a la inversión. Por lo tanto, el valor de “ $x$ ” debe estar en meses. En dos años hay 24 meses. El valor de la inversión de Andrea en un período de dos años será:

$\boxed{y=1200(1.02)^{\frac{24}{3}}=\$ 1405.99}$

v) Presione $y=$ e ingrese las ecuaciones $y=1200(1.02)^{\frac{x}{3}}$ y $y=2400$ como se indica a continuación.

Represente las ecuaciones:

Determine el punto de intersección de la curva de crecimiento y la línea horizontal usando $\boxed{2^{nd} \ \text{TRACE}} \ \boxed{5} \ \boxed{\text{ENTER}} \ \boxed{\text{ENTER}} \ \boxed{\text{ENTER}}$

El punto de intersección es $(105.00837, 2400)$ . La inversión de Andrea demorará 105 meses (8 años y 9 meses) en duplicar su valor.

Vocabulario

Asíntota horizontal: Una asíntota horizontal es una línea horizontal a la que una curva se acerca cada vez más.

Razón común: La razón común es la constante que existe entre términos consecutivos y se determina aplicando la fórmula $r=\frac{t_{n+1}}{t_n}$ . En una función exponencial de la forma $y=b^x$ , ‘ $b$ ” representa la razón común.

Curva de decrecimiento: Se llama curva de decrecimiento a la representación de una función exponencial donde la razón común es tal que $0 < b < 1$ . La curva es decreciente ya que el valor de la función cae a medida que el valor de “ $x$ ” aumenta. La siguiente es una curva de decrecimiento:

Función exponencial: Una función exponencial es una función $(y)$ de la forma $y=b^x$ , donde “ $b$ ” es la razón común y “ $x$ ” es un exponente que representa a la variable.

Curva de crecimiento: Se llama curva de crecimiento a la representación de una función exponencial donde la razón común es tal que $b>1$ . La curva es creciente ya que el valor de la función aumenta a medida que el valor de “ $x$ ” aumenta. La siguiente es una curva de crecimiento:

Práctica guiada

1. Para reparar un techo que gotea, se calienta al aire libre un cubo de alquitrán. Una vez que se ha reparado la pérdida, el alquitrán restante se deja enfriar en el cubo para usarlo después nuevamente. Su cambio en temperatura, $T$ , medido en $^{\circ} C$ , con respecto al tiempo, $t$ , en minutos, se puede representar con la función $\boxed{T=95(0.72)^{\frac{t}{15}}+30}$ .

i) ¿Cuál es la temperatura inicial del alquitrán?

ii) ¿Cuál es la temperatura exterior?

iii) ¿Cuál es la razón de cambio de la temperatura del alquitrán con el tiempo?

iv) Determine la temperatura del alquitrán después de 30 minutos.

v) Determine la temperatura del alquitrán después de 2 horas.

vi) Haga un bosquejo para indicar el cambio de temperatura del alquitrán con el paso del tiempo.

2. El radiador del automóvil de Roberto siempre se recalienta. Ha decidido monitorear su cambio de temperatura. La temperatura exterior era $73.4^{\circ} F$ , así que no le molestó realizar esta tarea. Roberto registró la temperatura que se determinaba cada cinco minutos. La siguiente tabla muestra las temperaturas registradas.

$&\text{Time } (min) \qquad 0 \qquad \quad 5 \qquad \quad 10 \qquad \ 15 \qquad \ 20 \qquad \ 25\\\&\text{Temp } (0^{\circ} F) \quad 224.6 \quad 197.42 \quad 175.1 \quad 156.7 \quad 141.8 \quad 129.4$

i) Determine la razón de enfriamiento del radiador.

ii) Determine el valor de “ $a$ ” en $y=a(b)^{\frac{x}{c}}+d$ para este problema.

iii) ¿Cuál es la ecuación de la asíntota horizontal?

iv) Escriba una función exponencial para indicar la temperatura del radiador después de “ $t$ ” minutos.

v) ¿Cuál era la temperatura del radiador después de una hora?

vi) Haga un bosquejo del cambio de temperatura del radiador con el paso del tiempo.

3. Una bacteria mortal amenaza a la pequeña ciudad de Norman. Las bacterias se duplican cada 3 horas. Si inicialmente había 250 esporas, ¿cuántas habrá en 12 horas?

Respuestas:

1. i) La temperatura inicial es la temperatura “ $a$ ” más la temperatura exterior de $30^{\circ} C$ .

La función exponencial es de la forma $y=a(b)^{\frac{x}{c}}+d$ . La temperatura inicial es $\boxed{a+d=95^{\circ} C + 30^{\circ} C=125^{\circ} C}$ .

ii) La temperatura exterior es la asíntota horizontal (“ $d$ ”) de la función. La temperatura exterior es $\boxed{30^{\circ} C}$ .

iii) La razón común “ $b$ ” representa la razón expresada como un decimal que mantiene el alquitrán. Por lo tanto, la razón de enfriamiento del alquitrán es $100-0.72=0.28\\\0.28 \times 100 \%=28 \%$ . La temperatura del alquitrán desciende 28% cada 15 minutos.

iv) La temperatura del alquitrán después de 30 minutos se determina reemplazando “ $t$ ” en el exponente con 30 y luego realizando el cálculo.

$T &=95(0.72)^{\frac{t}{15}}+30\\\T &=95(0.72)^{\frac{30}{15}}+30\\\T &=79.2^{\circ} C$

v) En una hora hay 60 minutos y en dos horas hay 120 minutos. La temperatura del alquitrán luego de 2 horas se determina reemplazando “ $t$ ” en el exponente con 120 y luego realizando el cálculo.

$T &=95(0.72)^{\frac{t}{15}}+30\\\T &=95(0.72)^{\frac{120}{15}}+30\\\T &=36.9^{\circ} C$

vi) A continuación se muestra un bosquejo que representa $\boxed{T=95(0.72)^{\frac{t}{15}}+30}$ :

2. i) La razón de enfriamiento del radiador se debe determinar restando, primero, la temperatura exterior de $73.4^{\circ} F$ de cada uno de los valores de temperatura.

$&\text{Time} \ (min) \qquad 0 \qquad \quad 5 \qquad \ \ 10 \qquad \ 15 \qquad \ 20 \qquad 25\\\&\text{Temp}(^{\circ} F) \qquad 224.6 \quad 197.4 \quad 175.1 \quad 156.7 \quad 141.8 \quad 129.4\\\&\text{Temp} - 73.4 \quad \ 151.2 \quad 124.0 \quad 101.7 \quad 83.3 \quad \ \ 68.4 \quad \ 56.0$

Ahora, determine la razón común usando la última fila de la tabla.

$& \boxed{r=\frac{t_{n+1}}{t_n}=\frac{124.0}{151.2}=0.820} && \boxed{r=\frac{t_{n+1}}{t_n}=\frac{101.7}{124.0}=0.820} && \boxed{r=\frac{t_{n+1}}{t_n}=\frac{83.3}{101.7}=0.819}\\\& \boxed{r=\frac{t_{n+1}}{t_n}=\frac{68.4}{83.3}=0.821} && \boxed{r=\frac{t_{n+1}}{t_n}=\frac{56.0}{68.4}=0.818}$

Por lo tanto, la razón común es 0.82. La razón de enfriamiento del radiador es $\boxed{100 \% - 82 \% =18 \%}$ cada cinco minutos.

ii) El valor de “ $a$ ” en $y=a(b)^{\frac{x}{c}}+d$ es la temperatura inicial dada en la tabla menos la temperatura exterior. $\boxed{a=224.6^{\circ} F-73.4^{\circ} F=151.2^{\circ} F}$

iii) La ecuación de la asíntota horizontal es $y =$ la temperatura exterior o $\boxed{y=73.4}$

iv) La función exponencial que representa el cambio de temperatura del radiador es:

$a&=151.2\\\b&=0.82\\\c&=5\\\d&=73.4\\\T&=151.2(0.82)^{\frac{t}{5}}+73.4$

v) En una hora hay 60 minutos. Por lo tanto $\boxed{T=151.2(0.82)^{\frac{60}{5}}+73.4=87.4^{\circ} F}$

vi)

3. Escriba la función exponencial para representar la cantidad de esporas producidas con el paso del tiempo.

$a&=250\\\b&=3\\\x&=12\\\y&=a(b)^x\\\y&=250(3)^{12}$

Use la función exponencial para determinar la cantidad de esporas presentes después de 12 horas.

$\boxed{y=250(3)^{12}=132,860,250 \ spores}$

Práctica

Escriba una función exponencial de la forma $y=a(b)^{\frac{x}{c}}$ para representar cada tabla de valores.

$& X \qquad 0 \qquad 5 \qquad 10 \qquad 15 \quad \ \ 20 \qquad \ 25\\\& Y \qquad 8 \qquad 4 \qquad \ 2 \qquad \ 1 \qquad 0.5 \qquad 0.25$

$& X \qquad 0 \qquad 3 \quad \ \ 6 \qquad 9 \qquad \ 12 \qquad \ 15\\\& Y \qquad 2 \quad \ \ 10 \quad \ 50 \quad \ 250 \quad \ 1250 \quad \ 6250$

$& X \quad -4 \qquad 0 \qquad 4 \qquad \ 8 \qquad \quad 12 \qquad \quad 16\\\& Y \qquad 6 \qquad 2.4 \quad 0.96 \quad 0.384 \quad 0.1536 \quad 0.06144$

$& X \quad -0.6 \quad -0.3 \quad \ \ 0 \qquad 0.3 \qquad 0.6 \qquad \ \ 0.9\\\& Y \qquad \ 10 \qquad \ \ 12 \quad 14.4 \quad 17.28 \quad 20.736 \quad 24.8832$

$& X \qquad 0 \qquad 0.1 \qquad 0.2 \qquad \ 0.3 \qquad \ 0.4 \qquad \ 0.5\\\& Y \qquad 5 \qquad \ 15 \qquad \ 45 \qquad \ 135 \qquad 405 \qquad 1215$

La razón de decaimiento de un radioisótopo es indicada por la función exponencial $A(t)=800\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{1500}}$ , donde “ $t$ ” es el tiempo en años y $A(t)$ es la cantidad de isótopos, en gramos, que quedan.

¿Cuál es la masa inicial del isótopo?
¿Cuánto tiempo puede llevar para que los isótopos queden reducidos a la mitad de su cantidad original?
¿Cuál será la masa del isótopo después de 4500 años?

Para cada una de las siguientes funciones exponenciales, establezca la ecuación de la asíntota horizontal, la intersección con $y$ , el rango y si es una función de crecimiento o de decrecimiento.

$y=2^x+5$
$y=2(3)^x$
$y=6\left(\frac{1}{3}\right)^x+5$
$y=4(0.4)^x+1.8$
$y=12(1.25)^x$

Una taza de café caliente se enfría exponencialmente con el tiempo mientras está en el escritorio del profesor. Su cambio de temperatura, $T$ , medido en $^{\circ}C$ , con respecto al tiempo, $t$ , en minutos, está representado con la siguiente función:

$T=82(0.6)^{\frac{t}{12}}+20$

¿Cuál es la temperatura inicial de la taza de café?
¿Cuál es la temperatura ambiente del salón de clases?
¿Cuál es la razón de cambio de la temperatura de la taza de café con el tiempo?
¿Cuál es la temperatura de la taza de café después de 30 minutos?
¿Cuál es la temperatura de la taza de café después de 1 hora?

Funciones exponenciales avanzadas

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