Multiplicación de polinomios

Aquí aprenderá a multiplicar polinomios aplicando la propiedad distributiva.

Se le pidió a Jack que enmarcara una foto. Le dijeron que el ancho del marco debía medir 5 pulgadas más que el ancho del vidrio y que la altura del marco debía medir 7 pulgadas más que la altura del vidrio. Jack mide el vidrio y halla que la relación entre altura y ancho es de 4:3. Escriba la expresión para determinar el área del marco de la foto.

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Khan Academy Multiplying Polynomials (Multiplicación de polinomios) *Este video solo está disponible en inglés

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Guía

Para multiplicar polinomios deberá aplicar la propiedad distributiva. Recuerde que la propiedad distributiva establece que si usted comienza con una expresión como $3(5x+2)$ , puede simplificarla multiplicando ambos términos dentro del paréntesis por 3 para obtener una respuesta final de $15x+6$ .

Al multiplicar polinomios, deberá aplicar la propiedad distributiva más de una vez para cada problema.

Ejemplo A

Halle el producto: $(x+6)(x+5)$

Solución: Para responder este problema debe usar la propiedad distributiva. De acuerdo con la propiedad distributiva, deberá multiplicar $x$ en el primer par de paréntesis por todo el contenido del segundo par de paréntesis, luego deberá multiplicar 6 del primer par de paréntesis por todo el contenido del segundo par de paréntesis. Hágalo de esta manera:

Ejemplo B

Halle el producto: $(2x+5)(x-3)$

Solución: Use nuevamente la propiedad distributiva. De acuerdo con la propiedad distributiva, deberá multiplicar $2x$ en el primer par de paréntesis por todo el contenido del segundo par de paréntesis y luego deberá multiplicar 5 del primer par de paréntesis por todo el contenido del segundo par de paréntesis. Hágalo de esta manera:

Ejemplo C

Halle el producto: $(4x+3)(2x^2+3x-5)$

Solución: Aunque al principio este problema puede parecer diferente, sí puede aplicar la propiedad distributiva para hallar el producto. De acuerdo con la propiedad distributiva, deberá multiplicar $4x$ del primer par de paréntesis por todo el contenido del segundo par de paréntesis y luego deberá multiplicar 3 del primer par de paréntesis por todo el contenido del segundo par de paréntesis. Hágalo de esta manera:

Revisión del problema de concepto

¿Qué datos se conocen?

El ancho tiene 5 pulgadas más que el vidrio
La altura tiene 7 pulgadas más que el vidrio
El vidrio tiene una proporción entre altura y ancho de 4:3

Las ecuaciones:

La altura del marco de la foto es $4x + 7$
El ancho del marco de la foto es $3x + 5$

La fórmula:

$\text{Area} &= w \times h \\\\text{Area} &= (3x + 5) (4x + 7) \\\\text{Area} &= 12x^2 + 21x + 20x + 35 \\\\text{Area} &= 12x^2 + 41x + 35$

Vocabulario

Propiedad distributiva: La propiedad distributiva establece que el producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos individuales del número por los sumandos. Por ejemplo, en la expresión: ${\color{red}\frac{2}{3}} ({\color{blue}x + 5})$ , la propiedad distributiva establece que el producto de un número $\left({\color{red}\frac{2}{3}}\right)$ por una suma $({\color{blue}x+5})$ es igual a la suma de los productos individuales del número $\left({\color{red}\frac{2}{3}}\right)$ por los sumandos $({\color{blue}x}$ y ${\color{blue}5})$ .

Términos semejantes: Términos semejantes son los términos donde coinciden los grados y coinciden las variables. Por ejemplo $3x$ y $4x$ son términos semejantes. Los términos semejantes también se conocen como términos similares .

Práctica guiada

1. Halle el producto: $(x+3)(x-6)$

2. Halle el producto: $(2x+5)(3x^2-2x-7)$

3. Un campo de fútbol promedio tiene las dimensiones de 160 pies por 360 pies. Si las expresiones para hallar estas dimensiones fueran $(3x+7)$ y $(7x+3),$ ¿qué valor de $x$ daría las dimensiones del campo de fútbol?

Respuestas:

1. $(x+3)(x-6)$

2. $(2x + 5)(3x^2 - 2x - 7)$

3. $\text{Area} = l \times w$

$\text{Area} &= 360 \times 160 \\\(7x+3) &= 360 \\\7x &= 360 - 3 \\\7x &= 357 \\\x &= 51 \\\ \\\(3x +7) &= 160 \\\3x &= 160 - 7 \\\3x &= 153 \\\x &= 51$

El valor de $x$ que satisface estas expresiones es 51.

Práctica

Aplique la propiedad distributiva para hallar el producto de cada uno de los siguientes polinomios:

$(x+4)(x+6)$
$(x+3)(x+5)$
$(x+7)(x-8)$
$(x-9)(x-5)$
$(x-4)(x-7)$
$(x+3)(x^2+x+5)$
$(x+7)(x^2-3x+6)$
$(2x+5)(x^2-8x+3)$
$(2x-3)(3x^2+7x+6)$
$(5x-4)(4x^2-8x+5)$
$9a^2(6a^3+3a+7)$
$-4s^2(3s^3+7s^2+11)$
$(x+5)(5x^3+2x^2+3x+9)$
$(t-3)(6t^3+11t^2+22)$
$(2g-5)(3g^3+9g^2+7g+12)$

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