Productos especiales de polinomios

Aquí aprenderá sobre casos especiales de multiplicación de binomios.

Una flor es homocigota azul (RR) y otra es homocigota blanca (rr). Use un cuadrado de Punnett para mostrar que una combinación de ambas puede producir una flor blanca.

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Khan Academy Special Products of Binomials (Productos especiales de binomios) *Este video solo está disponible en inglés

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Guía

Hay dos casos particulares de multiplicación de binomios. Si puede aprender a reconocerlos, podrá multiplicar más rápidamente estos binomios.

Estos son los dos productos particulares que debe aprender a reconocer:

Caso particular 1 (Binomio al cuadrado): $(x\pm y)^2 = x^2 \pm 2xy + y^2$

Ejemplo: $(x+5)^2 = x^2 + 10x +25$
Ejemplo: $(2x-8)^2 = 4x^2 -32x + 64$

Caso particular 2 (Diferencia de cuadrados perfectos): $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$

Ejemplo: $(5x+10)(5x-10) =25x^2 - 100$
Ejemplo: $(2x-4)(2x+4)=4x^2-16$

Tenga en cuenta que siempre puede aplicar la propiedad distributiva para hacer las multiplicaciones si no se da cuenta de que el problema es un caso particular.

Ejemplo A

Halle el producto: $(x+11)^2$

Solución: Este es un ejemplo del Caso particular 1. Puede usar ese patrón para multiplicar rápidamente.

$(x+11)^2&=x^2+2\cdot x\cdot 11 +11^2\\\&=x^2+22x+121$

Puede aplicar la propiedad distributiva para verificar que ésta es la respuesta correcta:

Ejemplo B

Halle el producto: $(x-7)^2$

Solución: Este es otro ejemplo del Caso particular 1. Puede usar ese patrón para multiplicar rápidamente.

$(x-7)^2&=x^2-2\cdot x\cdot 7 +7^2\\\&=x^2-14x+49$

Puede aplicar la propiedad distributiva para verificar que ésta es la respuesta correcta:

Ejemplo C

Halle el producto: $(x+9)(x-9)$

Solución: Este es un ejemplo del Caso particular 2. Puede usar ese patrón para multiplicar rápidamente.

$(x+9)(x-9)&=x^2-9^2\\\&=x^2-81$

Puede aplicar la propiedad distributiva para verificar que ésta es la respuesta correcta:

Revisión del problema de concepto

Cada flor tendrá una mitad de genes azules y una mitad de genes blancos. Por lo tanto, la ecuación formada será:

$0.5B + 0.5W$

El vástago tendrá la estructura genética (la combinación producida) según la ecuación:

$(0.5B + 0.5W)^2$

Observe que éste es un ejemplo del Caso particular 1. Puede expandir la ecuación de la estructura genética de los vástagos para hallar el porcentaje de vástagos (o flores) que serán azules, blancas o celestes.

Así, 25% de los vástagos o flores resultantes serán azules, 50% serán celestes y 25% serán blancas.

Vocabulario

Propiedad distributiva: La propiedad distributiva es una forma matemática de agrupar términos. Establece que el producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos individuales del número por los sumandos. Por ejemplo, en la expresión: ${\color{red}3}({\color{blue}x + 5})$ , la propiedad distributiva establece que el producto de un número $({\color{red}3})$ por una suma $({\color{blue}x + 5})$ es igual a la suma de los productos individuales del número $({\color{red}3})$ por los sumandos $({\color{blue}x}$ y ${\color{blue}5})$ .

Práctica guiada

1. Expanda el siguiente binomio: $(x+4)^2$ .

2. Expanda el siguiente binomio: $(5x -3)^2$ .

3. Determine si cada una de las siguientes es una diferencia de dos cuadrados perfectos:

a) $a^2-16$

b) $9b^2-49$

c) $c^2-60$

Respuestas:

1. $(x+4)^2=x^2+4x+4x+16=x^2+8x+16$ .

2. $(5x-3)^2=25x^2-15x-15x+9=25x^2-30x+9$

3. a) Sí, $a^2 - 16 = (a+4)(a-4)$

b) Sí, $9b^2 - 49 = (3b +7)(3b - 7)$

c) No, $60$ no es un cuadrado perfecto.

Práctica

Expanda los siguientes binomios:

$(t+12)^2$
$(w+15)^2$
$(2e+7)^2$
$(3z+2)^2$
$(7m+6)^2$
$(g-6)^2$
$(d-15)^2$
$(4x-3)^2$
$(2p-5)^2$
$(6t-7)^2$

Halle el producto de los siguientes binomios:

$(x+13)(x-13)$
$(x+6)(x-6)$
$(2x+5)(2x-5)$
$(3x+4)(3x-4)$
$(6x+7)(6x-7)$

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