Factores monomio de polinomios

Aquí aprenderá a hallar un factor común en un polinomio y a extraerlo del polinomio.

¿Puede escribir el siguiente polinomio como producto de un monomio y un polinomio?

$12x^4 + 6x^3 + 3x^2$

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Khan Academy Factoring and the Distributive Property (Factorización y propiedad distributiva) *Este video solo está disponible en inglés

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Guía

Ya estudió los factores comunes de dos números. Considere los números 25 y 35. Un factor común de 25 y 35 es 5 porque 5 es un divisor exacto de 25 y 35.

Esta idea se puede extender a los polinomios. Un factor común de un polinomio es un número o una variable que es factor en todos los términos del polinomio. El máximo factor común (o MFC) es el monomio más grande que es factor de cada uno de los términos del polinomio.

Factorizar un polinomio significa escribir el polinomio como producto de otros polinomios. Un modo de factorizar un polinomio es:

Buscar el máximo factor común.
Escribir el polinomio como un producto del máximo factor común y el polinomio que resulta de dividir todos los términos del polinomio original por el máximo factor común.

Un modo de ver este tipo de factorización es que esencialmente está aplicando la propiedad distributiva de manera inversa.

Ejemplo A

Factorice el siguiente binomio: $5a + 15$

Solución: Paso 1: Identifique el MFC. Al mirar cada número, verá que tanto 5 como 15 se pueden dividir por 5. El MFC de este binomio es 5.

Paso 2: Factorice el MFC de cada término del binomio.

$5a + 15 = 5(a + 3)$

Ejemplo B

Factorice el siguiente polinomio: $4x^2+8x-2$

Solución: Paso 1: Identifique el MFC. Al mirar los términos, verá que 4, 8 y 2 se pueden dividir por 2. El MFC de este polinomio es 2.

Paso 2: Factorice el MFC de cada término del polinomio:

$4x^2+8x-2=2(2x^2+4x-1)$

Ejemplo C

Factorice el siguiente polinomio: $3x^5-9x^3-6x^2$

Solución: Paso 1: Identifique el MFC. Al mirar los términos, verá que 3, 9 y 6 se pueden dividir por 3. Observe también que cada término tiene una $x^2$ en común. El MFC de este polinomio es $3x^2$ .

Paso 2: Factorice el MFC de cada término del polinomio:

$3x^5-9x^3-6x^2=3x^2(x^3-3x-2)$

Revisión del problema de concepto

Para escribir como un producto, se debe intentar factorizar el polinomio: $12x^4 + 6x^3 + 3x^2$ .

Paso 1: Identifique el MFC del polinomio. Al mirar los términos, verá que 12, 6 y 3 se pueden dividir por 3. Observe también que cada término tiene una $x^2$ en común. El MFC de este polinomio es $3x^2$ .

Paso 2: Factorice el MFC de cada término del polinomio:

$& 12x^4+6x^3+3x^2=3x^2(4x^2+2x+1)$

Vocabulario

Factor común: Los factores comunes son números (coeficientes numéricos) o letras (coeficientes literales) que son un factor que está en todas las partes del polinomio.

Máximo factor común: El máximo factor común (o MFC ) es el monomio más grande que divide de manera exacta, o es factor de, cada uno de los términos del polinomio.

Práctica guiada

Halle los factores comunes de: $a^2(b+7)-6(b+7)$
Factorice el siguiente polinomio: $5k^6+15k^4+10k^3+25k^2$
Factorice el siguiente polinomio: $27x^3y+18x^2y^2+9xy^3$

Respuestas:

1. Paso 1: Identifique el MFC

Este problema es un poco diferente porque si observa la expresión, verá que $(b + 7)$ es común a ambos términos. Por lo tanto $(b + 7)$ es el factor común. El MFC de esta expresión es $(b + 7)$ .

Paso 2: Factorice el MFC de cada término de la expresión:

$a^2 (b+7)-6(b+7)=(a^2-6)(b+7)$

2. Paso 1: Identifique el MFC. Al mirar los términos, verá que 5, 15, 10 y 25 se pueden dividir por 5. Observe también que cada término tiene una $k^2$ en común. El MFC de este polinomio es $5k^2$ .

Paso 2: Factorice el MFC de cada término del polinomio:

$5k^6+15k^4+10k^3+25k^2=5k^2(k^4+3k^2+2k+5)$

3. Paso 1: Identifique el MFC. Al mirar los términos, verá que 27, 18 y 9 se pueden dividir por 9. Observe también que cada término tiene una $xy$ en común. El MFC de este polinomio es $9xy$ .

Paso 2: Factorice el MFC de cada término del polinomio:

$27x^3y+18x^2y^2+9xy^3=9xy(3x^2+2xy+y^2)$

Práctica

Factorice los siguientes polinomios buscando un factor común:

$7x^2 + 14$
$9c^2+3$
$8a^2+4a$
$16x^2+24y^2$
$2x^2-12x+8$
$32w^2x+16xy+8x^2$
$12abc+6bcd+24acd$
$15x^2y-10x^2y^2+25x^2y$
$12a^2b-18ab^2-24a^2b^2$
$4s^3t^2-16s^2t^3+12st^2-24st^3$

Halle los factores comunes de las siguientes expresiones y luego factorice:

$2x(x-5)+7(x-5)$
$4x(x-3)+5(x-3)$
$3x^2(e+4)-5(e+4)$
$8x^2(c-3)-7(c-3)$
$ax(x-b)+c(x-b)$

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