Factorización de expresiones cuadráticas

Aquí aprenderá a factorizar expresiones cuadráticas.

Jack desea construir un borde alrededor de dos lados de su jardín. El jardín mide 5 yardas por 18 yardas. Tiene piedras suficientes como para construir un borde con un área total de 30 yardas cuadradas. El borde medirá el doble de ancho en el extremo más corto. ¿Cuáles son las dimensiones del borde?

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Khan Academy Factoring trinomials with a leading 1 coefficient (Factorización de trinomios con un primer coeficiente 1) *Este video solo está disponible en inglés

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James Sousa: Factoring Trinomials using Trial and Error and Grouping (Factorización de trinomios mediante ensayo y error y por agrupación) *Este video solo está disponible en inglés

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Guía

Factorizar un polinomio significa escribir el polinomio como producto de otros polinomios. Aquí, se centrará en factorizar expresiones cuadráticas. Las expresiones cuadráticas son polinomios de grado 2, de la forma $ax^2+bx+c$ . Considere los pasos para hallar el producto de los siguientes binomios:

$(2x+3)(3x-5)&=6x^2-10x+9x-15\\\ &=6x^2-x-15$

Al factorizar una expresión cuadrática, lo que deberá hacer es tomar una expresión como $6x^2-x-15$ y escribirla de la forma $(2x+3)(3x-5)$ . Puede ver la factorización como lo inverso a la multiplicación. Observe que al factorizar, $6x^2$ se factoriza en $2x$ y $3x$ . El $-15$ se factoriza en $-5$ y $3$ . Así, generalmente, se puede decir que con el trinomio $ax^2+bx+c$ , debe factorizar tanto “ $a$ ” como “ $c$ ”.

$& ax^2+bx+c=({\color{red}d}x+{\color{blue}e})({\color{red}f}x+{\color{blue}g}) \text{ where} \ a={\color{red}d} \times {\color{red}f} \ \text{and} \ c={\color{blue}e} \times {\color{blue}g}$
El término del medio $(b)$ es $b = {\color{red}d} {\color{blue}g} + {\color{blue}e} {\color{red}f}$

Aquí ejercitará con una cantidad de ejemplos para desarrollar el dominio de la factorización de trinomios mediante el método del cuadro.

Ejemplo A

Factorice: $2x^2+11x+15$

Solución: Observe primero que no hay un factor común en este trinomio. Si lo hubiera, comenzaría extrayendo el factor común. En este trinomio, el valor “ $a$ ” es 2 y el valor “ $c$ ” es 15. Comience trazando un cuadro y coloque estos valores en el cuadro como muestra la imagen.

El producto de 2 y 15 es 30. Para seguir completando el cuadro, debe hallar dos números que multiplicados sean igual a 30, pero que sumen +11 (el valor de $b$ en la ecuación original). Los dos números que funcionan son 5 y 6: $5+6=11$ y $5\cdot 6=30$ . Escriba el 5 y el 6 en el cuadro.

Luego, halle el MFC de los números en cada fila y en cada columna y agregue los números nuevos al cuadro. La primera fila, 2 y 6, tiene el MFC 2. La segunda fila, 5 y 15, tiene el MFC 5.

La primera columna, 2 y 5, tiene el MFC 1. La segunda columna, 6 y 15, tiene el MFC 3.

Observe que los productos del MFC de cada fila con el MFC de cada columna son los 4 números originales del cuadro. Los MFC representan los coeficientes de sus factores. Sus factores son $(1x + 3)$ y $(2x + 5)$ . Puede comprobar que esos binomios se multiplican para crear el trinomio original: $(x+3)(2x+5)=2x^2+5x+6x+15=2x^2+11x+15$ .

La forma factorizada de $2x^2+11x+15$ es $(x+3)(2x+5)$ .

Ejemplo B

Factorice: $3x^2-8x-3$

Solución: Observe primero que no hay un factor común en este trinomio. Si lo hubiera, comenzaría extrayendo el factor común. En este trinomio, el valor “ $a$ ” es 3 y el valor “ $c$ ” es -3. Comience trazando un cuadro y coloque estos valores en el cuadro como muestra la imagen.

El producto de 3 y -3 es -9. Para seguir completando el cuadro, debe hallar dos números que multiplicados sean igual a -9, pero que sumen -8 (el valor de $b$ en la ecuación original). Los dos números que sirven son –9 y 1. $-9+1=-8$ y $-9\cdot 1=-9$ . Escriba –9 y 1 en el cuadro.

Luego, halle el MFC de los números en cada fila y en cada columna y agregue los números nuevos al cuadro. La primera fila, 3 y 1, tiene el MFC 1. La segunda fila, -9 y -3, tiene el MFC -3.

La primera columna, 3 y 9, tiene el MFC 3. La segunda columna, 1 y 3, tiene el MFC 1.

Observe que los productos del MFC de cada fila con el MFC de cada columna son los 4 números originales del cuadro. Los MFC representan los coeficientes de sus factores. Sus factores son $(3x + 1)$ y $(1x-3)$ . Puede comprobar que esos binomios se multiplican para crear el trinomio original: $(3x+1)(x-3)=3x^2-9x+1x-3=3x^2-8x-3$ .

La forma factorizada de $3x^2-8x-3$ es $(3x+1)(x-3)$ .

Ejemplo C

Factorice: $5w^2-21w+18$

Solución: Observe primero que no hay un factor común en este trinomio. Si lo hubiera, comenzaría extrayendo el factor común. En este trinomio, el valor “ $a$ ” es 5 y el valor “ $c$ ” es 18. Comience trazando un cuadro y coloque estos valores en el cuadro como muestra la imagen.

El producto de 5 y 18 es 90. Para seguir completando el cuadro, debe hallar dos números que multiplicados sean igual a 90, pero que sumen -21 (el valor de $b$ en la ecuación original). Los dos números que sirven son –6 y –15. $-6+(-15)=-21$ y $-6\cdot -15=90$ . Coloque –6 y –15 en el cuadro.

Luego, halle el MFC de los números en cada fila y en cada columna y agregue los números nuevos al cuadro. La primera fila, 5 y –6, tiene el MFC 1. La segunda fila, –15 y 18, tiene el MFC 3.

La primera columna, 5 y –15, tiene el MFC 5. La segunda columna, –6 y 18, tiene el MFC 6.

Observe que debe convertir en negativos dos de los MFC para que los productos del MFC de cada fila y el MFC de cada columna sean los 4 números originales del cuadro. Los MFC representan los coeficientes de sus factores. Sus factores son $(5w-6)$ y $(w-3)$ . Puede comprobar que esos binomios se multiplican para crear el trinomio original: $(5w-6)(w-3)=5w^2-15w-6w+18=5w^2-21w+18$ .

La forma factorizada de $5w^2-21w+18$ es $(5w-6)(w-3)$ .

Revisión del problema de concepto

$\text{Area of Garden} &= 18 \times 5 = 90 \ yd^2\\\\text{Area of border} &= 30 \ yd^2\\\\text{Area of Garden} + \text{border} &= (18 + 2x)(5 + x)\\\\text{Area of border} &= (\text{Area of garden} + \text{border}) - \text{Area of garden}\\\30 &= (18 + 2x)(5 + x) - 90\\\30 &= 90+18x+10x+2x^2-90\\\30 &= 28x+2x^2\\\0 &= 2x^2+28x-30$

Este trinomio tiene un factor común de 2. Primero, extraiga este factor común:

$2x^2+28x-30=2(x^2+14x-15)$

Ahora puede usar el método del cuadro para factorizar el trinomio restante. Luego de usar el método del cuadro, el resultado debería ser:

$2(x^2+14x-15)=2(x+15)(x-1)$

Para hallar las dimensiones del borde, debe resolver una ecuación cuadrática. Esto se explora con más detalle en otro concepto:

$& \ 2(x+15)(x-1)=0\\\& \ \swarrow \qquad \qquad \searrow\\\& x+15=0 \ \ x-1=0\\\& x=-15 \quad \ \ x=1$

Dado que $x$ no puede ser negativo, $x$ debe ser igual a $1$ .

Ancho del borde: $2x = 2(1) = 2 \ yd$

Largo del borde: $x = 1 \ yd$

Vocabulario

Máximo factor común: El máximo factor común (o MFC ) es el monomio más grande que divide de manera exacta, o es factor de, cada uno de los términos del polinomio.

Expresión cuadrática: Una expresión cuadrática es un polinomio de grado 2. La forma general de una expresión cuadrática es $ax^2 + bx + c$ .

Práctica guiada

Factorice el siguiente trinomio: $8c^2-2c-3$
Factorice el siguiente trinomio: $3m^2+3m-60$
Factorice el siguiente trinomio: $5e^3+30e^2+40e$

Respuestas:

1. Al usar el método del cuadro hallará que $8c^2-2c-3=(2c+1)(4c-3)$

2. Primero puede extraer el 3 del polinomio. Luego, use el método del cuadro. La respuesta final es $3m^2+3m-60=3(m-4)(m+5)$ .

3. Primero puede extraer el factor $5e$ del polinomio. Luego, use el método del cuadro. La respuesta final es $5e^3+30e^2+40e=5e(e+2)(e+4)$ .

Práctica

Factorice los siguientes trinomios.

$x^2+5x+4$
$x^2+12x+20$
$a^2+13a+12$
$z^2+7z+10$
$w^2+8w+15$
$x^2-7x+10$
$x^2-10x+24$
$m^2-4m+3$
$s^2-6s+7$
$y^2-8y+12$
$x^2-x-12$
$x^2+x-12$
$x^2-5x-14$
$x^2-7x-44$
$y^2+y-20$
$3x^2+5x+2$
$5x^2+9x-2$
$4x^2+x-3$
$2x^2+7x+3$
$2y^2-15y-8$
$2x^2-5x-12$
$2x^2+11x+12$
$6w^2-7w-20$
$12w^2+13w-35$
$3w^2+16w+21$
$16a^2-18a-9$
$36a^2-7a-15$
$15a^2+26a+8$
$20m^2+11m-4$
$3p^2+17p-20$

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