Casos particulares de factorización cuadrática

Aquí aprenderá a reconocer dos clases particulares de expresiones cuadráticas y a factorizarlas rápidamente.

Se debe diseñar una caja para empaquetar cuya longitud de un lado estará representada por la expresión cuadrática $9b^2 - 64$ . Si esta es la caja más económica, ¿cuáles son sus dimensiones?

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Khan Academy Factoring the Sum and Difference of Squares (Factorización de la suma y diferencia de cuadrados) *Este video solo está disponible en inglés

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Guía

Al factorizar expresiones cuadráticas, hay casos particulares que se pueden factorizar más rápidamente. Hay dos expresiones cuadráticas particulares que debe aprender a reconocer:

Caso particular 1 (Trinomio cuadrado perfecto): $x^2 \pm 2xy + y^2=(x\pm y)^2$

Ejemplo: $x^2 + 10x +25=(x+5)^2$
Ejemplo: $4x^2 -32x + 64=(2x-8)^2$

Caso particular 2 (Diferencia de cuadrados perfectos): $x^2 - y^2=(x+y)(x-y)$

Ejemplo: $25x^2 - 100=(5x+10)(5x-10)$
Ejemplo: $4x^2-25=(2x-5)(2x+5)$

Tenga en cuenta que siempre puede usar el método del cuadro para factorizar si no se percata de que el problema es un caso particular.

Ejemplo A

Factorice $2x^2+28x+98$ .

Solución: Observe primero que hay un factor común de 2. Extraiga el factor común:

$2x^2+28x+98=2(x^2+14x+49)$

Luego, observe que el primer y el último término son, ambos, cuadrados perfectos ( $x^2=x\cdot x$ y $49=7\cdot 7$ ), y el término del medio es 2 veces el producto de las raíces de los otros términos ( $14x=2\cdot x\cdot 7$ ). Esto significa que $x^2+14x+49$ es un trinomio cuadrado perfecto (Caso particular 1): Usando el patrón:

$x^2+14x+49=(x+7)^2$

Así, la factorización completa es $2x^2+28x+98=2(x+7)^2$ .

Ejemplo B

Factorice $8a^2-24a+18$ .

Solución: Observe primero que hay un factor común de 2. Extraiga el factor común:

$8a^2-24a+18=2(4a^2-12a+9)$

Luego, observe que el primer y el último término son, ambos, cuadrados perfectos y el término del medio es 2 veces el producto de las raíces de los otros términos ( $12a=2\cdot 2a\cdot 3$ ). Esto significa que $4a^2-12a+9$ es un trinomio cuadrado perfecto (Caso particular 1): Dado que el término del medio es negativo, habrá un signo negativo en el binomio. Usando el patrón:

$4a^2-12a+9=(2a-3)^2$

Así, la factorización completa es $8a^2-24a+18=2(2a-3)^2$ .

Ejemplo C

Factorice $x^2-16$ .

Solución: Observe que no hay factores comunes. Falta el término típico del medio de la expresión cuadrática y cada término presente es un cuadrado perfecto y se restan. Esto significa que $x^2-16$ es una diferencia de cuadrados perfectos (Caso particular 2). Usando el patrón:

$x^2-16=(x-4)(x+4)$

Observe que también sería correcto decir $x^2-16=(x+4)(x-4)$ . No importa si coloca primero la versión + del binomio o la versión – del binomio.

Revisión del problema de concepto

Se debe diseñar una caja para empaquetar cuya longitud de un lado estará representada por la expresión cuadrática $9b^2 - 64$ . Si esta es la caja más económica, ¿cuáles son sus dimensiones?

Primero: factorice la expresión cuadrática para hallar el valor de $b$ .

$9b^2-64$

Ésta es una diferencia de cuadrados perfectos (Caso particular 2). Use el patrón:

$9b^2-64=(3b-8)(3b+8)$

Para terminar este problema debemos resolver una ecuación cuadrática. Esta idea se explora con más detalle en otro concepto.

$& 9b^2-64=(3b+8)(3b-8)\\\& \qquad \qquad \quad \swarrow \qquad \qquad \searrow\\\& \ \quad 3b+8=0 \qquad \qquad 3b-8=0\\\& \ \qquad \ \ 3b=-8 \qquad \qquad \quad 3b=8\\\& \ \qquad \quad b=\frac{-8}{3} \qquad \qquad \quad \ b=\frac{8}{3}$

La caja más económica es un cubo. Por lo tanto, las dimensiones son $\frac{8}{3} \times \frac{8}{3} \times \frac{8}{3}$

Vocabulario

Diferencia de cuadrados perfectos: La diferencia de cuadrados perfectos es un caso particular de una expresión cuadrática donde no hay un término en el medio y los dos términos presentes son, ambos, cuadrados perfectos. La ecuación general para la diferencia de dos cuadrados es:

$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$

Trinomio cuadrado perfecto: Los trinomios cuadrados perfectos son el resultado de un binomio multiplicado por sí mismo. Las dos variaciones del trinomio cuadrado perfecto son:

$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$
$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$

Práctica guiada

1. Factorice completamente $s^2-18s+81$

2. Factorice completamente $50-98x^2$

3. Factorice completamente $4x^2+48x+144$

Respuestas:

1. Éste es el Caso particular 1. $s^2-18s+81=(s-9)^2$

2. Primero se extrae el factor común 2. Entonces, es el Caso particular 2. $50-98x^2=2(5-7x)(5+7x)$

3. Primero se extrae el factor común 4. Entonces, es el Caso particular 1. $4x^2+48x+144=4(x+6)^2$

Práctica

Factorice cada una de las siguientes expresiones:

$s^2+18s+81$
$x^2+12x+36$
$y^2-14y+49$
$4a^2+20a+25$
$9s^2-48s+64$
$s^2-81$
$x^2-49$
$4t^2-25$
$25w^2-36$
$64-81a^2$
$y^2-22y+121$
$16t^2-49$
$9a^2+30a+25$
$100-25b^2$
$4s^2-28s+49$

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