Propiedad del producto cero en ecuaciones cuadráticas

Aquí aprenderá a resolver una ecuación lineal factorizando y aplicando la propiedad del producto cero.

Se calculó que el área de un rectángulo particular era $A(w)=w^2-8w-58$ . Determine las dimensiones del rectángulo si se sabe que el área es de 7 unidades.

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Khan Academy Factoring Special Products (Factorización de productos especiales) *Este video solo está disponible en inglés

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Guía

Recuerde que al resolver una ecuación, intenta determinar los valores de la variable que verifican la ecuación. Para la ecuación $2x^2+10x+8=0$ , $x=-1$ y $x=-4$ son soluciones las dos. Puede verificar esto:

$2(-1)^2+10(-1)+8=2(1)-10+8=0$
$2(-4)^2+10(-4)+8=2(16)-40+8=32-40+8=0$

Aquí se centrará en resolver ecuaciones cuadráticas. Uno de los métodos aplicados en las ecuaciones cuadráticas usa sus habilidades de factorización y una propiedad llamada la propiedad del producto cero .

Si $a\cdot b=0$ , ¿qué puede decir sobre $a$ o $b$ ? Lo que debería notar es que ya sea $a$ o $b$ tienen que ser iguales a 0, porque es el único modo de que su producto sea 0. Si tanto $a$ y $b$ fueran diferentes de cero, entonces su producto debería ser diferente de cero. Ésta es la idea de la propiedad del producto cero. La propiedad del producto cero establece que si el producto de dos cantidades es cero, entonces una o ambas cantidades deben ser cero.

La propiedad del producto cero tiene que ver con productos que son igual a cero. Cuando factoriza, convierte una expresión cuadrática en un producto. Si tiene una expresión cuadrática igual a cero, puede factorizarla y aplicar la propiedad del producto cero para resolverla. Entonces, si tuviera la ecuación $2x^2+5x-3=0$ , primero debe factorizar la expresión cuadrática para convertirla en un producto:

$2x^2+5x-3=(x+3)(2x-1)$

Puede volver a escribir la ecuación que intenta resolver como $(x+3)(2x-1)=0$ .

Ahora tiene el producto de dos binomios iguales a cero. Eso significa que al menos uno de esos binomios debe ser igual a cero. Así, tiene dos ecuaciones pequeñas que puede resolver para hallar los valores de $x$ que hacen que cada binomio sea igual a cero.

$x+3=0$ , lo que significa que $x=-3$ O BIEN
$2x-1=0$ , lo que significa que $x=\frac{1}{2}$

Las dos soluciones de la ecuación $2x^2+5x-3=0$ son $x=-3$ y $x=\frac{1}{2}$ .

Tenga en cuenta que solo puede aplicar la propiedad del producto cero si la ecuación está igualada a cero. Si tiene una ecuación que no está igualada a cero, vuelva a escribirla para igualarla a cero. Luego factorice y aplique la propiedad del producto cero.

Ejemplo A

Halle $x$ : $x^2+5x+6=0$ .

Solución: Primero, convierta $x^2+5x+6$ en un producto para poder aplicar la propiedad del producto cero. Convierta la expresión en un producto factorizando:

$x^2+5x+6=(x+3)(x+2)$

Luego vuelva a escribir la ecuación que intenta resolver:

$x^2+5x+6=0$ se convierte en $(x+3)(x+2)=0$ .

Finalmente, establezca dos ecuaciones pequeñas para resolverlas y hallar los valores de $x$ que hacen que cada binomio sea igual a cero.

$x+3=0$ , lo que significa que $x=-3$
$x+2=0$ , lo que significa que $x=-2$

Las soluciones son $x=-3$ o $x=-2$ .

Ejemplo B

Calcule: $x$ : $6x^2+x-15=0$ .

Para calcular $x$ debe factorizar el polinomio.

Solución: Primero, convierta $6x^2+x-15$ en un producto para poder aplicar la propiedad del producto cero. Convierta la expresión en un producto factorizando:

$6x^2+x-15=(3x+5)(2x-3)$

Luego vuelva a escribir la ecuación que intenta resolver:

$6x^2+x-15=0$ se convierte en $(3x+5)(2x-3)=0$ .

Finalmente, establezca dos ecuaciones pequeñas para resolverlas y hallar los valores de $x$ que hacen que cada binomio sea igual a cero.

$3x+5=0$ , lo que significa que $x=-\frac{5}{3}$
$2x-3=0$ , lo que significa que $x=\frac{3}{2}$

Las soluciones son $x=-\frac{5}{3}$ o $x=\frac{3}{2}$ .

Ejemplo C

Calcule: $x$ : $x^2+2x-35=0$ .

Solución: Primero, convierta $x^2+2x-35$ en un producto para poder aplicar la propiedad del producto cero. Convierta la expresión en un producto factorizando:

$x^2+2x-35=(x+7)(x-5)$

Luego vuelva a escribir la ecuación que intenta resolver:

$x^2+2x-35=0$ se convierte en $(x+7)(x-5)=0$ .

Finalmente, establezca dos ecuaciones pequeñas para resolverlas y hallar los valores de $x$ que hacen que cada binomio sea igual a cero.

$x+7=0$ , lo que significa que $x=-7$
$x-5=0$ , lo que significa que $x=5$

Las soluciones son $x=-7$ o $x=5$ .

Revisión del problema de concepto

Se calculó que el área de un rectángulo particular era $A(w)=w^2-8w-58$ . Determine las dimensiones del rectángulo si se sabe que el área es de 7 unidades.

En otras palabras, le piden que resuelva el problema:

$& w^2-8w-58=7\\\& OR\\\& w^2-8w-65=0$

Puede resolver el problema factorizando y aplicando la propiedad del producto cero.

$w^2-8w-65=0$ se convierte en $(w+5)(w-13)=0$

$& \quad (w+5)(w-13)=0\\\&\qquad \swarrow \qquad \quad \searrow\\\& w + 5 = 0 \qquad \quad w - 13 = 0\\\&\quad \ \ w = -5 \quad or \qquad \ \ w = 13$

Dado que se le piden las dimensiones, un ancho de –5 unidades no tiene sentido. Por lo tanto, el ancho del rectángulo sería 13 unidades.

Vocabulario

Ecuación cuadrática: Una ecuación cuadrática es una ecuación donde la máxima potencia de una variable es 2. La estructura estándar de una ecuación cuadrática es $ax^2+bx+c=0$ .

Propiedad del producto cero: La propiedad del producto cero establece que si dos factores se multiplican entre sí y su producto es cero, uno de los factores debe ser igual a cero.

Práctica guiada

1. Calcule la variable del polinomio: $x^2+4x-21=0$

2. Calcule la variable del polinomio: $20m^2+11m-4=0$

3. Calcule la variable del polinomio: $2e^2+7e+6=0$

Respuestas:

1. $x^2+4x-21=(x-3)(x+7)$

$& \qquad (x-3)(x+7)=0\\\&\quad \qquad \swarrow \qquad \quad \searrow\\\&(x - 3) = 0 \qquad (x+7) = 0\\\&\qquad \ x = 3 \quad \qquad \quad \ \ x = -7$

2. $20m^2+11m-4=(4m-1)(5m+4)$

$& \qquad (4m-1)(5m+4)=0\\\&\quad \qquad \swarrow \qquad \quad \searrow\\\&4m - 1 = 0 \qquad 5m+4 = 0\\\&\quad \ \ 4m = 1 \quad \qquad \ \ 5m = -4\\\&\qquad m = \frac{1}{4} \quad \qquad \quad m = \frac{-4}{5}$

3. $2e^2+7e+6=(2e+3)(e+2)$

$& \qquad (2e+3)(e+2)=0\\\&\quad \qquad \swarrow \qquad \quad \searrow\\\ & 2e+3 = 0 \qquad \quad e+2 = 0\\\&\quad \ \ 2e = -3 \quad \qquad \quad e = -2\\\&\qquad e = \frac{-3}{2}$

Práctica

Calcule la variable en cada una de las siguientes ecuaciones.

$(x+1)(x-3)=0$
$(a+3)(a+5)=0$
$(x-5)(x+4)=0$
$(2t-4)(t+3)=0$
$(x-8)(3x-7)=0$
$x^2+x-12=0$
$b^2+2b-24=0$
$t^2+3t-18=0$
$w^2+3w-108=0$
$e^2-2e-99=0$
$6x^2-x-2=0$
$2d^2+14d-16=0$
$3s^2+20s+12=0$
$18x^2+12x+2=0$
$3j^2-17j+10=0$

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