Aplicaciones de ecuaciones cuadráticas

Aquí aprenderá a aplicar su conocimiento de factorización de expresiones cuadráticas para aplicarlos en la resolución de problemas de la vida real.

Dos automóviles parten de una intersección a la misma hora. Un auto viaja hacia el norte y el otro hacia el oeste. Cuando el auto que iba al norte había viajado 24 millas, la distancia entre los autos era de cuatro millas más que tres veces la distancia recorrida por el auto que iba al oeste. Halle la distancia entre los automóviles en ese momento.

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Khan Academy Applying Quadratic Equations (Aplicación de ecuaciones cuadráticas) *Este video solo está disponible en inglés

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Guía

Las funciones cuadráticas se pueden usar para resolver muchos problemas diferentes de la vida real. Aquí hay dos consejos para resolver problemas textuales con ecuaciones cuadráticas.

Con frecuencia es útil comenzar trazando un diagrama para visualizar lo que debe resolver.
Una vez que ha resuelto el problema, es importante asegurarse de que sus respuestas sean realistas considerando el contexto del problema. Por ejemplo, si calcula la edad de una persona y una de sus respuestas es un número negativo, esa respuesta no tiene sentido en el contexto del problema y no es una solución verdadera.

Ejemplo A

La cantidad de juegos de softbol que se deben programar en una liga con $n$ equipos está dada por $G(n)= \frac{n^2 - n}{2}$ . Cada equipo solo puede jugar contra cada uno de los otros equipos una sola vez. Una liga programa 21 juegos. ¿Cuántos equipos de softbol hay en la liga?

Solución: Tiene la función $G(n)= \frac{n^2-n}{2}$ y se le pide que calcule el valor de $n$ cuando $G(n)=21$ . Es decir, debe resolver la ecuación:

$21=\frac{n^2-n}{2}$

Empiece escribiendo la ecuación igualándola a cero:

$42&=n^2-n\\\n^2-n-42&=0$

Ahora calcule $n$ para hallar la cantidad de equipos $(n)$ de la liga. Comience por factorizar el lado izquierdo de la ecuación y vuelva a escribir la ecuación:

$n^2-n-42=0$ se convierte en $(n-7)(n+6)=0$

Hay 7 equipos en la liga de softbol.

Ejemplo B

Cuando se lanza un cohete casero desde el suelo, sube y cae formando una parábola. La altura, en pies, de un cohete casero está dada por la ecuación $h(t) = 160t - 16t^2$ donde $t$ es el tiempo en segundos. ¿En cuánto tiempo el cohete vuelve al suelo?

Solución: La fórmula del recorrido del cohete es $h(t)=160t-16t^2$ . Se le pide que calcule el valor de $t$ cuando $h(t)=0$ o cuando el cohete toca el suelo y ya no tiene altura. Comience factorizando:

$160t-16t^2=0$ se convierte en $16t(10-t)=0$

Esto significa que $16t=0$ (de modo que $t=0$ ) o $10-t=0$ (de modo que $t=10$ ). $t=0$ representa al cohete en el suelo cuando es lanzado, así que no es la respuesta que busca. $t=10$ representa al cohete de vuelta en el suelo.

El cohete volverá al suelo después de 10 segundos.

Ejemplo C

Según la información del Ejemplo B ¿cuál es la altura del cohete después de 2 segundos?

Solución: Para resolver este problema, debe reemplazar $t$ por 2 en la función cuadrática.

$h(t)&=160t-16t^2\\\h(2)&=160(2)-16(2)^2\\\h(2)&=320-64\\\h(2)&=256.$

Por lo tanto, luego de 2 segundos, la altura del cohete es de 256 pies.

Revisión del problema de concepto

Primero haga un diagrama. Dado que los automóviles viajan al norte y al oeste desde el mismo punto de partida, el triángulo hecho para conectar la distancia entre ellos es un triángulo rectángulo. Dado que tiene un triángulo rectángulo, puede usar el teorema de Pitágoras para establecer una ecuación que relacione las longitudes de los lados del triángulo.

El teorema de Pitágoras es un teorema de geometría que establece que en todo triángulo rectángulo, $a^2+b^2=c^2$ donde $a$ y $b$ son los catetos del triángulo y $c$ es el lado más largo, la hipotenusa. La ecuación para este problema es:

$x^2+24^2&=(3x+4)^2\\\x^2+576&=(3x+4)(3x+4)\\\x^2+576&=9x^2+24x+16$

Ahora iguale la ecuación a cero y factorice la expresión cuadrática para poder aplicar la propiedad del producto cero.

$x^2+576&=9x^2+24x+16\\\0&=8x^2+24x-560\\\0&=8(x^2+3x-70)\\\0&=8(x-7)(x+10)$

Así que ahora sabe que $x = 7$ . Dado que la distancia entre los automóviles está representada por la expresión $3x + 4$ la distancia real entre los dos autos después de que el automóvil que viaja al norte ha recorrido 24 millas es:

$3x+4&=3(7)+4\\\&=21+4\\\&=25 \ miles$

Vocabulario

Factorice: El término factorizar significa volver a escribir una expresión como un producto.

Teorema de Pitágoras: El teorema de Pitágoras es un teorema para los triángulos rectángulos que relaciona los tres lados de un triángulo rectángulo según la ecuación $a^2 + b^2 = c^2$ donde $a$ y $b$ son los catetos del triángulo y $c$ es la hipotenusa.

Expresión cuadrática: Una expresión cuadrática es un polinomio de grado 2. La forma general de una expresión cuadrática es $ax^2 + bx + c$ .

Práctica guiada

1. Se sabe que un rectángulo tiene un área de 520 pulgadas cuadradas. Las longitudes de los lados se indican en el siguiente diagrama. Halle la longitud y el ancho.

2. La altura de una pelota en pies se puede hallar mediante la función cuadrática $h(t)=-16t^2+80t+5$ donde $t$ es el tiempo en segundos que la pelota está en el aire. Determine el momento o los momentos en que la pelota está a 69 pies de altura.

3. Una fabricante calcula la cantidad de teléfonos celulares vendidos usando el binomio $0.015c + 2.81$ . También mide el precio al por mayor de estos teléfonos con el binomio $0.011c +3.52$ . Calcule sus ingresos si vende 100,000 teléfonos celulares.

Respuestas:

1. El rectángulo tiene un área de 520 pulgadas cuadradas y usted sabe que el área de un rectángulo se halla con la fórmula: $A = l \times w$ . Por lo tanto:

$520&=(x+7)(2x)\\\520&=2x^2+14x\\\0&=2x^2+14x-520\\\0&=2(x^2+7x-260)\\\0&=2(x-13)(x+20)$

Entonces, el valor de $x$ es 13. Eso significa que el ancho es $2x$ o $2(13) = 26 \ inches$ . La longitud es $x + 7 = 13 + 7 = 20 \ inches$ .

2. La ecuación para la pelota lanzada es $h(t)=-16t^2+80t+5$ . Si dibuja el recorrido de la pelota lanzada, verá algo similar a lo que se muestra a continuación.

Se le pide que calcule el momento o los momentos en que la pelota está a 69 pies de altura. En otras palabras, calcule:

$69=-16t^2+80t+5$

Para hallar $t$ , debe factorizar la expresión cuadrática y luego hallar el valor o los valores de $t$ .

$&\quad \qquad 0=-16t^2+80t-64\\\&\quad \qquad 0=-16(t^2-5t+4)\\\&\quad \qquad 0=-16(t-1)(t-4)\\\&\qquad \quad \qquad \swarrow \qquad \qquad \searrow\\\ & \quad t - 1 = 0 \qquad \qquad t-4 = 0\\\&\qquad \ \ t = 1 \quad \qquad \qquad \ \ t = 4$

Dado que ambos valores son positivos, puede concluir que hay dos momentos en que la pelota está a 69 pies de altura. Los momentos son en el segundo 1 y el segundo 4.

3. La cantidad de teléfonos celulares vendidos es el binomio $0.015c + 2.81$ . El precio al por mayor de estos teléfonos es el binomio $0.011c +3.52.$ El ingreso que obtiene es el precio al por mayor por la cantidad que vende. Por lo tanto:

$R(c)=(0.015c+2.81)(0.011c+3.52)$

Primero, expandamos la expresión de $R$ para obtener la expresión cuadrática. Entonces:

$R(c)&=(0.015c+2.81)(0.011c+3.52)\\\R(c)&=0.000165c^2+0.08371c+9.8912$

La pregunta es cuál será su ingreso si vendió 100,000 teléfonos celulares. Es decir, cuánto es $R(c)$ cuando $c = 100,000$ .

$R(c)&=0.000165c^2+0.08371c+9.8912\\\R(c)&=0.000165(100,000)^2+0.08371(100,000)+9.8912\\\R(c)&=1,658,380.89$

Por lo tanto, su ingreso será de $1,658,380.89.

Práctica

Se sabe que un rectángulo tiene un área de 234 pies cuadrados. La longitud del rectángulo está dada por $x+3$ y el ancho del rectángulo está dado por $x+8$ . ¿Cuál es el valor de $x$ ?
Halle $x$ en el siguiente rectángulo dado que el área es 9 unidades.
Halle $x$ en el siguiente triángulo dado que el área es de 10 unidades.

Una piscina recibe un tratamiento químico para reducir la cantidad de algas. La cantidad de algas en la piscina $t$ días después del tratamiento se puede calcular aproximadamente por la función $A(t)=40t^2-300t+500$ .

¿Cuántos días después del tratamiento estará sin algas la piscina?
¿Cuántas algas hay en la piscina antes de que comience el tratamiento?
¿Cuántas algas menos hay en la piscina después de 1 día?

Se patea una pelota de fútbol al aire. La altura de la pelota en metros se puede hallar mediante la función cuadrática $h(t)=-5t^2+25t$ donde $t$ es el tiempo transcurrido en segundos desde que se pateó la pelota.

¿Cuál es la altura de la pelota a los 3 segundos? ¿En qué otro momento está la pelota a la misma altura?
¿Cuándo la pelota estará a 20 metros del suelo?
¿Después de cuántos segundos la pelota tocará el suelo?

Se arroja una pelota al aire. La altura de la pelota en metros se puede hallar mediante la función cuadrática $h(t)=-5t^2+30t$ donde $t$ es el tiempo transcurrido en segundos desde que se arrojó la pelota.

¿Cuál es la altura de la pelota a los 3 segundos?
¿Cuándo la pelota estará a 25 metros del suelo?
¿Después de cuántos segundos la pelota tocará el suelo?

Kim diseña las ventanas para un edificio nuevo. La forma se puede basar en la función $h(w)=-w^2+4$ , donde $h$ es la altura y $w$ es el ancho de los puntos del marco de la ventana, medido en metros.

Halle el ancho de cada ventana en su base.
Halle el ancho de cada ventana cuando la altura es de 3 metros.
¿Cuál es la altura de la ventana cuando el ancho es 1 metro?

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