Factorización completa de polinomios

Aquí aprenderá a factorizar un polinomio completamente buscando primero los factores comunes y después factorizando la expresión resultante.

¿Puede factorizar completamente el siguiente polinomio?

$8x^3+24x^2-32x$

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Khan Academy Factoring and the Distributive Property (Factorización y propiedad distributiva) *Este video solo está disponible en inglés

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Guía

Un polinomio cúbico es un polinomio de grado 3. Estos son ejemplos de polinomios cúbicos:

$9x^3+10x-5$
$8x^3+2x^2-5x-7$

Recuerde que factorizar un polinomio significa volver a escribir el polinomio como producto de otros polinomios. No podrá factorizar todos los polinomios cúbicos en este punto, pero podrá factorizar algunos usando su conocimiento sobre factores comunes y factorización de expresiones cuadráticas. Para intentar factorizar un polinomio cúbico, debe:

Analizar si el polinomio cúbico tiene factores comunes. Si es así, extráigalos.
Analizar si la expresión resultante se puede factorizar, especialmente si es cuadrática. Para factorizar la expresión cuadrática, puede usar el método del cuadro o cualquier método que prefiera.

Siempre que se le pida factorizar completamente , debe asegurarse de que ninguna de las partes (factores) de su respuesta final se pueda seguir factorizando. Si sigue los pasos anteriores de buscar primero los factores comunes y después ver si las expresiones resultantes se pueden factorizar, puede estar seguro de que ha factorizado completamente.

Ejemplo A

Factorice completamente el siguiente polinomio: $3x^3-15x$ .

Solución: Busque los factores comunes en cada uno de los términos. El factor común es $3x$ . Por lo tanto:

$3x^3-15x=3x(x^2-5)$

La expresión cuadrática resultante, $x^2-5$ , no se puede seguir factorizando (NO es una diferencia de cuadrados perfectos). Su respuesta es $3x(x^2-5)$ .

Ejemplo B

Factorice completamente el siguiente polinomio: $2a^3+16a^2+30a$ .

Solución: Busque los factores comunes en cada uno de los términos. El factor común es $2a$ . Por lo tanto:

$2a^3+16a^2+30a=2a(a^2+8a+15)$

La expresión cuadrática resultante, $a^2+8a+15$ se puede seguir factorizando así: $(a+5)(a+3)$ . La respuesta final es $2a(a+5)(a+3)$ .

Ejemplo C

Factorice completamente el siguiente polinomio: $6s^3+36s^2-18s-42$ .

Solución: Busque los factores comunes en cada uno de los términos. El factor común es $6$ . Por lo tanto:

$6s^3+36s^2-18s-42=6(s^3+6s^2-3s-7)$

La expresión resultante es un polinomio cúbico, y en este punto no conoce las técnicas para factorizar polinomios cúbicos sin factores comunes. Entonces, su respuesta final es $6(s^3+6s^2-3s-7).$

Nota: En este caso, el polinomio cúbico resultante no se puede factorizar, aún con técnicas más avanzadas. Recuerde que no todas las expresiones se pueden factorizar. En realidad, generalmente la mayoría de las expresiones no se puede factorizar.

Revisión del problema de concepto

Factorice completamente el siguiente polinomio: $8x^3+24x^2-32x$ .

Busque los factores comunes en cada uno de los términos. El factor común es $8x$ . Por lo tanto:

$8x^3 +24x^2 + 32x = 8x(x^2+3x-4)$

La expresión cuadrática resultante se puede seguir factorizando así: $(x+4)(x-1)$ . La respuesta final es $8x(x+4)(x-1)$ .

Vocabulario

Polinomio cúbico: Un polinomio cúbico es un polinomio de grado igual a 3. Por ejemplo $8x^3+2x^2-5x-7$ es un polinomio cúbico.

Propiedad distributiva: La propiedad distributiva establece que el producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos individuales del número por los sumandos. Por ejemplo, la propiedad distributiva establece que $2(x+5)=2x+10$ .

Factorizar: El término factorizar significa volver a escribir una expresión como un producto de otras expresiones. A estas expresiones resultantes se las llama factores de la expresión original.

Factorizar completamente: La expresión factorizar completamente significa factorizar una expresión hasta que ninguno de sus factores se pueda seguir factorizando.

Máximo factor común: El máximo factor común (o MFC ) es el monomio más grande que divide de manera exacta, o es factor de, cada uno de los términos del polinomio.

Práctica guiada

Factorice completamente cada uno de los siguientes polinomios.

1. $9w^3+12w$ .

2. $y^3+4y^2+4y$ .

3. $2t^3-10t^2+8t$ .

Respuestas:

1. El factor común es $3w$ . Por lo tanto, $9w^3+12w=3w(3w^2+4)$ . La expresión cuadrática resultante no se puede seguir factorizando, así que su respuesta es $3w(3w^2+4)$ .

2. El factor común es $y$ . Por lo tanto, $y^3+4y^2+4y=y(y^2+4y+4)$ . La expresión cuadrática resultante se puede factorizar así: $(y+2)(y+2)$ o $(y+2)^2$ . Su respuesta es $y(y+2)^2$ .

3. El factor común es $2t$ . Por lo tanto, $2t^3-10t^2+8t=2t(t^2-5t+4)$ . La expresión cuadrática resultante se puede factorizar así: $(t-4)(t-1)$ . Su respuesta es $2t(t-4)(t-1).$

Práctica