Factorización por agrupación

Aquí aprenderá a factorizar polinomios por agrupación.

En una tienda de mascotas compra un acuario cuyo volumen es 12 pies cúbicos. Las dimensiones se indican en el siguiente diagrama. Si su nuevo pez requiere que el tanque mida al menos 3 pies de alto, ¿ha comprado un acuario lo suficientemente grande?

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Khan Academy Factoring by Grouping (Factorización por agrupación) *Este video solo está disponible en inglés

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Nota: El video anterior muestra la factorización por agrupación de expresiones (trinomios) cuadráticas. En esta lección de polinomios cúbicos se desarrollará el mismo concepto de resolución de problemas.

Guía

Recuerde que factorizar significa volver a escribir una expresión como un producto. En general, las expresiones cuadráticas son las más fáciles de factorizar, mientras que las expresiones cúbicas son mucho más difíciles.

Un método que se puede usar para factorizar algunas expresiones cúbicas es la factorización por el método de agrupación. Para factorizar polinomios cúbicos por agrupación, hay cuatro pasos:

Paso 1: Separe los términos en dos grupos.
Paso 2: Extraiga los términos comunes de cada uno de los dos grupos.
Paso 3: Extraiga el binomio común.
Paso 4: Si es posible, factorice el resto de la expresión cuadrática.

Observe los ejemplos para que aprecie el concepto de factorización por agrupación.

Ejemplo A

Factorice por agrupación el siguiente polinomio: $w^3-2w^2-9w+18$ .

Solución: Paso 1: Separe los términos en dos grupos. Note el cambio de signo en el segundo grupo debido al signo negativo.

$w^3-2w^2-9w+18=(w^3-2w^2)-(9w-18)$

Paso 2: Extraiga los términos comunes de cada par de paréntesis.

$(w^3-2w^2)-(9w-18) = w^2(w-2)-9(w-2)$

Paso 3: Extraiga el binomio común $(w - 2)$ .

$w^2(w-2)-9(w-2) = (w-2)(w^2-9)$

Paso 4: Factorice la expresión cuadrática restante $(w^2-9)$ .

$(w-2)(w^2-9) = (w-2)(w+3)(w-3)$

Entonces, la respuesta es: $w^3-2w^2-9w+18 = (w-2)(w+3)(w-3)$

Ejemplo B

Factorice por agrupación el siguiente polinomio: $2s^3-8s^2+3s-12$ .

Solución: Paso 1: Separe los términos en dos grupos.

$2s^3-8s^2+3s-12 = (2s^3-8s^2)+(3s-12)$

Paso 2: Extraiga los términos comunes de cada par de paréntesis.

$(2s^3-8s^2) + (3s-12) = 2s^2(s-4)+3(s-4)$

Paso 3: Extraiga el binomio común $(s-4)$ .

$2s^2(s-4) + 3(s-4) = (s-4) (2s^2+3)$

Paso 4: Vea si se puede factorizar la expresión cuadrática restante. En este caso, la expresión $(2s^3+3)$ no se puede factorizar.

Entonces, la respuesta final es $2s^3-8s^2+3s-12 = (s-4)(2s^2+3)$

Ejemplo C

Factorice por agrupación el siguiente polinomio: $y^3+5y^2-4y-20$ .

Solución: Paso 1: Separe los términos en dos grupos. Observe el cambio de signo en el segundo grupo debido al signo negativo.

$y^3+5y^2-4y-20=(y^3+5y^2)-(4y+20)$

Paso 2: Extraiga los términos comunes de cada par de paréntesis.

$(y^3+5y^2)-(4y+20) = y^2(y+5)-4(y+5)$

Paso 3: Extraiga el binomio común $(y + 5)$ .

$y^2(y+5)-4(y+5)=(y+5)(y^2-4)$

Paso 4: Factorice la expresión cuadrática restante $(y^2-4)$ .

$(y+5)(y^2-4)=(y+5)(y+2)(y-2)$

Entonces, la respuesta es $y^3+5y^2-4y-20=(y+5)(y+2)(y-2)$ .

Revisión del problema de concepto

Para resolver este problema, debe calcular el volumen del acuario.

$V &= l\times w\times h \\\12 &= (x+4) \times (x-1) \times (x) \\\12 &= (x^2 +3x -4) \times (x) \\\12 &= x^3 + 3x^2 -4x \\\0 &= x^3 + 3x^2 -4x -12$

Ahora comience a resolver mediante la factorización por agrupación.

$0 = (x^3 + 3x^2) - (4x + 12)$

Extraiga los términos comunes de cada par de paréntesis.

$0 = x^2 (x+3) - 4(x + 3)$

Extraiga el grupo de términos $(x + 3)$ de la expresión.

$0 = (x+3)(x^2-4)$

Factorice completamente la expresión cuadrática restante.

$0 = (x+3)(x-2)(x+2)$

Ahora calcule el valor de la variable $x$ .

$& \qquad 0 = (x+3) \ (x-2) \ (x+2) \\\& \qquad \qquad \swarrow \qquad \quad \ \downarrow \qquad \quad \ \searrow \\\& \quad \ \ x+3=0 \quad x-2=0 \quad x+2=0 \\\& \qquad \quad \ x=-3 \qquad x=2 \qquad \ \ x=-2$

Dado que desea hallar una longitud, solo $x = 2$ es una solución apropiada (¡No existe una longitud negativa!). Pero, dado que necesita un acuario de 3 pies de alto y éste solo mide 2 pies de altura, debe regresar a la tienda de mascotas y comprar uno más grande.

Vocabulario

Polinomio cúbico: Un polinomio cúbico es un polinomio de grado 3. Por ejemplo $8x^3+2x^2-5x-7$ es un polinomio cúbico.

Propiedad distributiva: La propiedad distributiva establece que el producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos individuales del número por los sumandos. Por ejemplo, la propiedad distributiva establece que $2(x+5)=2x+10$ .

Factorizar: La expresión factorizar significa volver a escribir una expresión como un producto de otras expresiones. A estas expresiones resultantes se las llama factores de la expresión original.

Factorizar completamente: El término factorizar completamente significa factorizar una expresión hasta que ninguno de sus factores se pueda seguir factorizando.

Máximo factor común: El Máximo factor común (o MFC ) es el monomio más grande que divide de manera exacta, o es factor de, cada uno de los términos del polinomio.

Práctica guiada

Factorice por agrupación cada uno de los siguientes polinomios.

1. Factorice por agrupación el siguiente polinomio: $y^3-4y^2-4y+16$ .

2. Factorice por agrupación el siguiente polinomio: $3x^3-4x^2-3x+4$ .

3. Factorice por agrupación el siguiente polinomio: $e^3+3e^2-4e-12$ .

Respuestas

1. Estos son los pasos:

$y^3-4y^2-4y+16&=y^2(y-4)-4(y-4)\\\&=(y^2-4)(y-4)\\\&=(y-2)(y+2)(y-4)$

2. Estos son los pasos:

$3x^3-4x^2-3x+4&=x^2(3x-4)-1(3x-4)\\\&=(x^2-1)(3x-4)\\\&=(x-1)(x+1)(3x-4)$

3. Estos son los pasos:

$e^3+3e^2-4e-12&=e^2(e+3)-4(e+3)\\\&=(e^2-4)(e+3)\\\&=(e+2)(e-2)(e+3)$

Práctica

Factorice por agrupación los siguientes polinomios cúbicos.

$x^3-3x^2-36x+108$
$e^3-3e^2-81e+243$
$x^3-10x^2-49x+490$
$y^3-7y^2-5y+35$
$x^3+9x^2+3x+27$
$3x^3+x^2-3x-1$
$5s^3-6s^2-45s+54$
$4a^3-7a^2+4a-7$
$5y^3+15y^2-45y-135$
$3x^3+15x^2-12x-60$
$2e^3+14e^2+7e+49$
$2k^3+16k^2+38k+24$
$-6x^3+3x^2+54x-27$
$-5m^3-6m^2+20m+24$
$-2x^3-8x^2+14x+56$

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