Factorización de expresiones cúbicas particulares

Aquí aprenderá a factorizar la suma y la diferencia de cubos perfectos.

Factorice el siguiente polinomio cúbico: $375x^3+648$ .

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James Sousa: Factoring Sum and Difference of Cubes (Factorización de la suma y diferencia de cubos) *Este video solo está disponible en inglés

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Guía

Aunque muchas expresiones cúbicas no se pueden factorizar fácilmente, hay dos casos particulares que se pueden factorizar rápidamente. Estos casos particulares son la suma de cubos perfectos y la diferencia de cubos perfectos.

Factorización de la suma de dos cubos que siguen este patrón: $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$
Factorización de la diferencia de dos cubos que siguen este patrón: $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$

Se puede usar el acrónimo IOPS para recordar los signos positivos y negativos al factorizar la suma y la diferencia de cubos. IOPS son las iniciales de “ I gual”, “ O puesto”, “ P ositivo S iempre”. “Igual” se refiere a que el primer signo de la forma factorizada de la expresión cúbica es igual al signo de la expresión cúbica original. “Opuesto” se refiere a que el segundo signo de la expresión cúbica factorizada es opuesto al signo de la expresión cúbica original. “Positivo Siempre” se refiere a que el último singo de la forma factorizada de la expresión cúbica siempre es positivo. Vea a continuación:

Ejemplo A

Factorice: $x^3+27$ .

Solución: Ésta es la suma de dos cubos y usa el patrón de factorización: $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$ .

$x^3+3^3=(x+3)(x^2-3x+9)$ .

Ejemplo B

Factorice: $x^3-343$ .

Solución: Ésta es la diferencia entre dos cubos y usa el patrón de factorización: $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$ .

$x^3-7^3=(x-7)(x^2+7x+49)$ .

Ejemplo C

Factorice: $64x^3-1$ .

Solución: Ésta es la diferencia entre dos cubos y usa el patrón de factorización: $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$ .

$(4x)^3-1^3=(4x-1)(16x^2+4x+1)$ .

Revisión del problema de concepto

Factorice el siguiente polinomio cúbico: $375x^3+648$ .

Primero debe reconocer que hay un factor común de $3$ . $375x^3+648=3(125x^3+216)$

Observe que el resultado es la suma de dos cubos. Por lo tanto, el patrón de factorización es $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$ .

$375x^3 +648 = 3(5x+6)(25x^2-30x+36)$

Vocabulario

Diferencia de dos cubos: La diferencia de dos cubos es un polinomio especial de la forma $x^3-y^3$ . Este tipo de polinomio se puede factorizar rápidamente usando el patrón: $(x^3-y^3)=(x-y)(x^2+xy+y^2)$

Suma de dos cubos: La suma de dos cubos es un polinomio especial de la forma $x^3+y^3$ . Este tipo de polinomio se puede factorizar rápidamente usando el patrón: $(x^3+y^3)=(x+y)(x^2-xy+y^2)$

Práctica guiada

Factorice cada una de las siguientes expresiones cúbicas.

1. $x^3+512$

2. $8x^3+125$

3. $x^3-216$

Respuestas:

1. $x^3+8^3=(x+8)(x^2-8x+64)$ .

2. $(2x)^3+5^3=(2x+5)(4x^2-10x+25)$ .

3. $x^3-6^3=(x-6)(x^2+6x+36)$ .

Práctica