División larga y división sintética

Aquí aprenderá a dividir polinomios mediante la división larga y la división sintética de polinomios.

¿Puede dividir los siguientes polinomios?

$\frac{x^2-5x+6}{x-2}$

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James Sousa: Dividing Polynomials- Long Division (División de polinomios: división larga) *Este video solo está disponible en inglés

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James Sousa: Dividing Polynomials- Synthetic Division (División de polinomios: división sintética) *Este video solo está disponible en inglés

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Guía

División larga de polinomios

Siempre que desee dividir un polinomio por un polinomio, puede usar un proceso llamado división larga de polinomios. Este proceso es similar a la división larga para los números normales. Vea el siguiente ejemplo:

$\frac{(x^2+3x+2)}{(x+1)}$

Esto es lo mismo que el siguiente problema de división:

Paso 1: Divida el primer término del numerador ( $x^2$ ) por el primer término del denominador ( $x$ ). Escriba este resultado sobre la línea de división de su respuesta. En este caso, $\frac{x^2}{x} = x$ .

Paso 2: Multiplique el denominador ( $x+1$ ) por el resultado del paso 1 ( $x$ ) y escriba el nuevo resultado debajo del numerador. Luego, reste para obtener el nuevo polinomio. Éste es el mismo proceso que el de la división larga con números normales.

Paso 3: Divida el primer término del nuevo polinomio ( $2x$ ) por el primer término del denominador ( $x$ ). Escriba este resultado sobre la línea de división de su respuesta. Multiplique, reste y repita el proceso hasta que ya no pueda repetirlo más.

Por lo tanto: $\frac{(x^2+3x+2)}{(x+1)}=(x+2)$

División sintética

La división sintética es otro método para dividir polinomios. Es una abreviación de la división larga que solo funciona cuando se divide por un polinomio de grado 1. Por lo general, el divisor tiene la forma $(x\pm a)$ . En la división sintética, a diferencia de la división larga, solo se trabaja con los coeficientes de los polinomios. Considere el mismo ejemplo de arriba:

Paso 1: Escriba los coeficientes en un signo de división invertido.

Paso 2: Coloque el opuesto al número del divisor a la izquierda del signo de división. En este caso, el divisor es $x+1$ , así que usará $-1$ .

Paso 3: Tome el primer coeficiente y colóquelo debajo del signo de división.

Paso 4: Multiplique este número por el número que está a la izquierda del signo de división y colóquelo en la columna siguiente. Sume los dos números de la columna y coloque este nuevo número debajo del signo de división.

Paso 5: Multiplique este segundo número por el número que está a la izquierda del signo de división y colóquelo en la tercera columna. Sume los dos números de la columna y coloque este nuevo número debajo del signo de división.

Los números debajo del signo de división representan los coeficientes. Por lo tanto, $\frac{(x^2+3x+2)}{(x+1)}=(x+2)$ .

Ejemplo A

Use la división larga para dividir: $\frac{x^2+6x-7}{x-1}$

Solución: Paso 1: Divida el primer término del numerador por el primer término del denominador; anote esto en su respuesta. Por lo tanto $\frac{x^2}{x} = x$ .

$(x-1) \overset{{\color{red}x}}{|\overline{x^2+6x-7}}$

Paso 2: Multiplique el denominador por este número (variable) y colóquelo debajo del numerador, reste y obtenga el nuevo polinomio.

$&(x-1)\overset{{\color{red}x}}{|\overline{x^2+6x-7}}\\\&\qquad \quad \underline{\;\;\; x^2-x \;\;\;\;\;\;\;\;}\\\& \qquad \qquad \qquad \ 7x$

Paso 3: Repita el proceso hasta que ya no lo pueda seguir.

$&(x-1)\overset{{x\color{red}+7}}{|\overline{x^2+6x-7}}\\\&\qquad \quad \underline{\;\;\; x^2-x \;\;\;\; \downarrow \;}\\\& \qquad \qquad \qquad 7x-7\\\&\qquad \quad \underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 7x-7 \;}\\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \ 0$

Por lo tanto: $\frac{x^2+6x-7}{x-1} = (x + 7)$

Ejemplo B

Use la división larga para dividir: $\frac{2x^2+7x+5}{2x+5}$

Solución: Paso 1: Divida el primer término del numerador por el primer término del denominador; anote esto en su respuesta. Por lo tanto $\frac{2x^2}{2x} = x$ .

$(2x+5) \overset{{\color{red}x}}{|\overline{2x^2+7x+5}}$

Paso 2: Multiplique el denominador por este número (variable) y colóquelo debajo del numerador, reste y obtenga el nuevo polinomio.

$&(2x+5)\overset{{\color{red}x}}{|\overline{2x^2+7x+5}}\\\&\qquad \quad \ \underline{\;\;\; 2x^2+5x \;\;\;\;\;\;}\\\& \qquad \qquad \qquad \quad 2x$

Paso 3: Repita el proceso hasta que ya no lo pueda seguir.

$&(2x+5)\overset{{x\color{red}+1}}{|\overline{2x^2+7x+5}}\\\&\qquad \quad \ \underline{\;\;\; 2x^2+5x \;\;\; \downarrow \;}\\\& \qquad \qquad \qquad \quad 2x+5\\\&\qquad \quad \underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 2x+5 \;\;}\\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \quad \ 0$

Por lo tanto: $\frac{2x^2+7x+5}{2x+5}=(x+1)$

Ejemplo C

Use la división sintética para dividir: $(x-1) |\overline{3x^2+x-4}$

Solución: Paso 1: Escriba los coeficientes en un signo de división invertido.

Paso 2: Coloque el opuesto al número del divisor a la izquierda del signo de división.

Paso 3: Tome el primer coeficiente y colóquelo debajo del signo de división.

Por lo tanto: $\frac{3x^2+x-4}{x-1} = (3x + 4)$

Revisión del problema de concepto

Puede dividir usando la división larga o la división sintética.

$\frac{x^2-5x+6}{x-2}$

División larga:

Paso 1: Divida el primer término del numerador por el primer término del denominador; anote esto en su respuesta. Por lo tanto $\frac{x^2}{x} = x$ .

$(x-2) \overset{{\color{red}x}}{|\overline{x^2-5x+6}}$

Paso 2: Multiplique el denominador por este número (variable) y colóquelo debajo del numerador, reste y obtenga el nuevo polinomio.

$&(x-2)\overset{{\color{red}x}}{|\overline{x^2-5x+6}}\\\&\qquad \quad \underline{\;\;\; x^2-2x \;\;\;\;\;\;}\\\& \qquad \qquad \qquad \ 3x$

Paso 3: Repita el proceso hasta que ya no lo pueda seguir.

$&(x-2)\overset{{x\color{red}-3}}{|\overline{x^2-5x+6}}\\\&\qquad \quad \underline{\;\;\;x^2-2x \;\;\; \downarrow \;}\\\& \qquad \qquad \qquad -3x+6\\\&\qquad \quad \underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; -3x+6 \;\;}\\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \ 0$

Por lo tanto: $\frac{x^2-5x+6}{x-2} = (x - 3)$

Vocabulario

Dividendo: El dividendo es el número, la variable o la expresión que se divide en una expresión matemática. En la expresión $\frac{15}{4x}$ , 15 es el dividendo.

Divisor: El divisor es el número, la variable o la expresión por la que se divide en una expresión matemática. En la expresión $\frac{15}{4x}$ , $4x$ es el divisor.

División larga de polinomios: La división larga de polinomios es un proceso matemático similar al proceso largo de división de números que permite dividir polinomios.

División sintética: La división sintética es un proceso matemático de división de polinomios que funciona al dividir por un polinomio de grado 1.

Práctica guiada

1. Use la división larga para dividir $5x^2+6x+1$ por $x+1$ .

2. Use la división sintética para dividir $3x^2-2x-1$ por $x-1$ .

3. Use la división sintética para dividir $3x^3+11x^2+4x-4$ por $x+1$ .

Respuestas:

1. $\frac{5x^2+6x+1}{x+1}=(5x + 1)$

2. $\frac{3x^2-2x-1}{x-1} = (3x + 1)$

3. $\frac{3x^3+11x^2+4x-4}{x+1} = (3x^2 + 8x - 4)$

Práctica

Use la división larga para resolver cada una de estas divisiones:

$(x^2+7x+12)\div(x+3)$
$(x^2+4x+3)\div(x+3)$
$(a^2-4a-45)\div(a-9)$
$(3x^2+5x-2)\div(3x-1)$
$(2x^2-5x+2)\div(2x-1)$

Use la división sintética para resolver cada una de estas divisiones:

$(b^2-5b+6)\div(b-3)$
$(x^2-6x+8)\div(x-4)$
$(a^2-1)\div(a+1)$
$(c^2-9)\div(c-3)$
$(5r^2+2r-3)\div(r+1)$

Resuelva cada una de las siguientes divisiones:

$\frac{2x^3-7x^2-14x-5}{x-5}$
$\frac{9x^4-15x^3+12x^2-11x-15}{3x^3+4x+3}$
$\frac{6x^4+4x^3+9x^2+2x+3}{2x^2+1}$
$\frac{x^4+4x^3+3x^2+x+1}{x+1}$
$\frac{2x^3+7x^2-27x+18}{x+6}$
$\frac{8x^3-2x^2+7x+5}{2x+1}$
$\frac{3x^3-15x^2+4x-20}{x-5}$
$\frac{9x^3+26x^2-48x+5}{x^2+3x-5}$
$\frac{-x^3+13x+12}{x+3}$
$\frac{x^3-2x^2-5x+10}{x-2}$

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