El teorema de los factores

Aquí aprenderá a factorizar polinomios aplicando el teorema de los factores.

Se construye un recipiente rectangular de modo tal que su volumen se puede representar por el polinomio $V(w)=w^3+7w^2+16w+12$ , donde $w$ es el ancho del recipiente.

a) Factorice el polinomio.

b) Si $w = 2 \ ft$ , ¿cuáles son las dimensiones del recipiente?

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The Factor Theorem and the Remainder Theorem (El teorema de los factores y el teorema del resto)

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Guía

Ya conoce técnicas para factorizar expresiones cuadráticas y casos particulares de expresiones cúbicas, pero ¿qué sucede con otras expresiones cúbicas o polinomios de grados más altos? Con el teorema de los factores, puede intentar factorizar estos tipos de polinomios. El teorema de los factores establece que si $(x-a)$ es un factor de $p(x)$ , entonces $p(a)=0$ . Para aplicar el teorema de los factores:

Busque los factores del polinomio dado $p(x)$ . Los factores deben ser de la forma $(x-a)$ donde $a$ es un factor del término constante del polinomio dividido por un factor del primer coeficiente del polinomio.
Pruebe los factores potenciales verificando $p(a)$ . Si $p(a)=0$ , entonces $x-a$ es un factor del polinomio.
Divida el polinomio por uno de sus factores.
Repita los pasos 2 y 3 hasta que el resultado sea una expresión cuadrática que pueda factorizar con otros métodos.

Ejemplo A

Use el teorema de los factores para determinar si $x + 1$ es un factor de $p(x) =2x^3+3x^2-5x-6$ . Si es así, halle los otros factores.

Solución: Si $x+1$ es un factor, entonces $p(-1)=0$ . Pruebe lo siguiente:

$p(x)&= 2x^3+3x^2-5x-6 \\\x = -1: p(-1) & = 2(-1)^3+3(-1)^2-5(-1)-6 \\\p(-1)&= -2+3+5-6 \\\p(-1)&= 0 \quad (\text{IS a factor})$

Ahora que tiene uno de los factores, use la división para hallar los demás.

Paso 1:

Paso 2:

Paso 3:

Paso 4:

Paso 5:

Paso 6:

Entonces:

$p(x)&=2x^3+3x^2-5x-6 \\\p(x) &=(x+1)(2x^2+x-6)\\\p(x)&=(x+1)(2x-3)(x+2)$

Ejemplo B

Use el teorema de los factores para determinar si $x + 3$ es un factor de $s(x)=5x^2-13x-84$ . Si es así, halle los otros factores.

Solución: Si $x+3$ es un factor, entonces $p(-3)=0$ . Pruebe lo siguiente:

$s(x) &= 5x^2-13x-84 \\\ \\\x = -3: s(-3)& =5(-3)^2-13(-3)-84 \\\s(-3)&= 45+39-84 \\\s(-3)&= 0 \quad (\text{IS a factor})$

Ahora que tiene uno de los factores, use la división para hallar el otro factor.

Paso 1 : Divida el primer término del numerador por el primer término del denominador; anote esto en su respuesta. Por lo tanto $\frac{5x^2}{x}=5x$ .

$(x+3) \overset{{\color{red}5x}}{|\overline{5x^2-13x-84}}$

Paso 2 : Multiplique el denominador por este número (variable) y colóquelo debajo del numerador, reste y obtenga el nuevo polinomio.

$&(x+3) \overset{{\color{red}5x}}{|\overline{5x^2-13x-84}}\\\&\qquad \quad \underline{\;\;\; 5x^2+15x \;\;\;\;\;\;\;}\\\& \qquad \qquad \quad \ -28x$

Paso 3: Repita el proceso hasta que ya no se pueda seguir.

$&(x+3)\overset{5x{\color{red}-28}}{|\overline{5x^2-13x-84}}\\\&\qquad \quad \underline{\;\;\; 5x^2+13x \;\;\;\;\downarrow \;\;\;\;}\\\& \qquad \qquad \qquad \ -28x-84\\\&\qquad \quad \underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; -28x-84 \;}\\\& \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \ 0 \\\$

Por lo tanto: $\frac{(5x^2-13x-84)}{(x+3)}=(5x-28)$

Entonces:

$s(x)&=5x^3-13x-84\\\s(x)&=(x+3)(5x-28)$

Ejemplo C

Factorice $f(t)=t^3-8t^2+17t-10$ .

Solución: Para comenzar a hallar los factores, observe el número –10 y halle los factores de este número. Los factores de –10 son –1, 1, –2, 2, –5, 5, –10, 10. Luego, comience a probar los factores para ver si obtiene un resto cero.

$f(t)&=t^3-8t^2+17t-10\\\t=-1:f(-1)&=(-1)^3-8(-1)^2+17(-1)-10\\\f(-1)&=-36 \quad (\text{NOT a factor})\\\\\\t=1:f(1)&=(1)^3-8(1)^2+17(1)-10\\\f(1)&=0 \quad (\text{IS a factor})$

Ahora que tiene uno de los factores, use la división para hallar los demás.

Paso 1:

Paso 2:

Paso 3:

Paso 4:

Paso 5:

Paso 6:

Entonces:

$f(t)&=t^3-8t^2+17t-10\\\f(t)&=(t-1)(t^2-7t+10)\\\f(t)&=(t-1)(t-5)(t-2)$

Por lo tanto: $f(t)=(t-1)(t-5)(t-2)$

Revisión del problema de concepto

Se construye un recipiente rectangular de modo tal que su volumen se puede representar por el polinomio $V(w)=w^3+7w^2+16w+12$ , donde $w$ es el ancho del recipiente.

a) Para comenzar a hallar los factores, observe el número 12 y halle los factores de este número. Los factores de 12 son $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6$ y $\pm 12$ . Luego, comience probando los factores para ver si obtiene un resto cero.

$V(w)&=w^3+7w^2+16w+12\\\w=-1: V(-1)&=(-1)^3+7(-1)^2+16(-1)+12\\\V(-1) &= 2 \quad (\text{NOT a factor})\\\\\\w=-2: V(-2)&=(-2)^3+7(-2)^2+16(-2)+12\\\V(-2) &= 0 \quad (\text{IS a factor})$

Ahora que tiene uno de los factores, use la división para hallar los demás.

Paso 1:

Paso 2:

Paso 3:

Paso 4:

Paso 5:

Paso 6:

Entonces:

$V(w)&=w^3+7w^2+16w+12\\\V(w)&=(w+2)(w^2+5w+6)\\\V(w)&=(w+2)(w+2)(w+3)$

b) Si $w = 2$ , ¿cuáles son las dimensiones del recipiente?

$(w + 2) &= 2 + 2 = 4 \\\(w + 2) &= 2 + 2 = 4 \\\(w + 3) &= 2 + 3 = 5$

Entonces, las dimensiones del recipiente son $4 \ ft \times 4 \ ft \times 5 \ ft$ .

Vocabulario

El teorema de los factores: El teorema de los factores establece que si $p(a)=0$ , entonces $x-a$ es un factor de $p(x)$ .

Práctica guiada

1. Determine si $e + 3$ es un factor de $2e^3-e^2+e-1$ .

2. Factorice: $x^3+4x^2+x-6$ .

3. Se construye una cancha de tenis cuyo volumen está representado por el polinomio $p(L)=3L^3+8L^2+3L-2$ , donde $L$ representa la longitud de la cancha. Determine si $L + 1$ es un factor y, si lo es, halle los otros factores. Si $L = 5ft$ , ¿cuáles son las dimensiones de la cancha?

Respuestas:

1. $e=-3:2(-3)^3-(-3)^2+(-3)-1=-67$ . Por lo tanto $(e+3)$ no es un factor de $2e^3-e^2+e-1$ .

2. Para comenzar a hallar los factores, observe el número –6 y halle los factores de este número. Los factores de –6 son $\pm 1, \pm 2, \pm 3,$ y $\pm 6$ . Luego, comience probando los factores para ver si obtiene un resto cero.

$& x^3+4x^2+x-6\\\& x=-1:(-1)^3+4(-1)^2+(-1)-6=-4 \quad (\text{NOT a factor})\\\& x=1:(1)^3+4(1)^2+(1)-6=0 \quad (\text{IS a factor})$

Ahora que tiene uno de los factores, use la división para hallar los demás.

Paso 1:

Paso 2:

Paso 3:

Paso 4:

Paso 5:

Paso 6:

Por lo tanto: $x^3+4x^2+x-6=(x-1)(x^2+5x+6)=(x-1)(x+2)(x+3)$

3. Comience probando el factor $L + 1$ para ver si obtiene un resto cero.

$p(L)&=3L^3+8L^2+3L-2L=-1:\\\p(L)&=3(-1)^3+8(-1)^2+3(-1)-2\\\p(1)&=0 \quad (\text{IS a factor})$

Ahora que tiene uno de los factores, use la división para hallar los demás.

Paso 1:

Paso 2:

Paso 3:

Paso 4:

Paso 5:

Entonces:

$p(L)&=3L^3+8L^2+3L-2\\\p(L)&=(L+1)(3L^2+5L-2)\\\p(L)&=(L+1)(3L-1)(L+2)$

Si $L = 5 \ ft$ , ¿cuáles son las dimensiones del recipiente?

$(L+1)&=5+1=6\\\(3L-1)&=3(5)-1=14\\\(L+2)&=5+2=7$

Entonces, las dimensiones del recipiente son $6 \ ft \times 14 \ ft \times 7 \ ft$ .

Práctica

Determine si $a - 4$ es un factor de cada una de las siguientes expresiones.

$a^3-5a^2+3a+4$
$3a^2-7a-20$
$-a^4+3a^3+5a^2-16$
$a^4-2a^3-8a^2+3a-4$
$2a^4-5a^3-7a^2-21a+4$

Factorice cada una de las siguientes expresiones:

$x^3+2x^2+2x+1$
$x^3+x^2-x-1$
$2x^3-5x^2+2x+1$
$2b^3+4b^2-3b-6$
$3c^3-4c^2-c+2$
$2x^3-13x^2+17x+12$
$x^3+2x^2-x-2$
$3x^3+2x^2-53x+60$
$x^3-7x^2+7x+15$
$x^4+4x^3-7x^2-34x-24$

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