Gráficos de funciones polinómicas

Aquí verá gráficos de funciones polinómicas e identificará raíces reales de funciones polinómicas a partir de sus gráficos.

Use su calculadora gráfica para representar las siguientes funciones. ¿Cuáles son las raíces reales de las funciones?

1. $f(x)=x^3-6x^2+11x-6$

2. $g(x)=2x^4-4x^3-3x^2+12x-8$

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James Sousa: Determing the Zeros or Roots of a Polynomial Function on the TI83/84 (Determinación de ceros o raíces de una función polinómica con la calculadora TI83/84) *Este video solo está disponible en inglés

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Guía

Recuerde que $x-a$ es un factor del polinomio $p(x)$ si $p(a)=0$ . Esto significa que en un gráfico, los factores aparecen como las intersecciones con x de un polinomio porque se dan en puntos con una coordenada y igual a cero. Para la función graficada a continuación, puede ver que una de las intersecciones con x es el punto (–3, 0).

Eso significa que uno de los factores del polinomio debe ser $(x+3)$ . Para el polinomio anterior, $-3$ no se conoce solamente como una intersección con x. También se conoce como una raíz real del polinomio. Siempre que una raíz (intersección con x) de un polinomio es un número entero, corresponde a un factor de la función.

Los polinomios cúbicos son de grado tres y tienen la forma $y=ax^3+bx^2+cx+d$ . Los gráficos de los polinomios cúbicos son como el gráfico anterior, donde en general un extremo de la línea señala hacia arriba y el otro extremo señala hacia abajo. Los polinomios de cuarto grado tienen la forma $y=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$ . Las representaciones de los polinomios de cuarto grado son como el gráfico que se observa a continuación, donde generalmente ambos extremos de la línea señalan hacia arriba o ambos señalan hacia abajo.

Puede usar una calculadora gráfica para representar polinomios cúbicos y de cuarto grado. Para graficar con su calculadora gráfica, presione [Y=], ingrese el polinomio y presione [GRAPH] para ver el gráfico. Luego observe la representación para buscar información sobre los factores del polinomio. Puede presionar [TABLE] ([2nd], [GRAPH]) para ver los puntos de la representación con más claridad.

Ejemplo A

Grafique la función $f(x)=x^3+x^2+x-3$ para determinar la cantidad de raíces reales (intersecciones con x).

Solución: Una vez que grafica la función, deberá ver esto:

El polinomio $f(x)=x^3+x^2+x-3$ solo tiene una raíz real (intersección con x) en (1, 0).

Ejemplo B

Grafique la función $g(x)=x^3-5x^2+8x-4$ para determinar si $x - 1$ es un factor del polinomio.

Solución: Una vez que grafica la función, deberá ver esto:

Dado que (1, 0) es una intersección con x del polinomio $g(x)=x^3-5x^2+8x-4$ , $(x - 1)$ es un factor de este polinomio cúbico.

Ejemplo C

¿Cuántas raíces reales (intersecciones con x) hay para el polinomio $h(x)=-x^3-5x^2-2x+24$ ?

Solución: Una vez que grafica la función, deberá ver esto:

Hay una sola intersección con x así que hay una raíz real.

Ejemplo D

Halle la raíz real (una o más) para el siguiente polinomio de cuarto grado.

$k(x)=x^4-3x^3+2x^2-x+1$

Solución: Esta es la representación del polinomio de cuarto grado.

Hay dos raíces reales para este polinomio de cuarto grado. Una es (1, 0) y la otra es aproximadamente (2.25, 0).

Revisión del problema de concepto

Ésta es la representación de la función $f(x)=x^3-6x^2+11x-6$ :

Ésta es la representación de la función $g(x)=2x^4-4x^3-3x^2+12x-8$ . Tiene dos raíces reales, como se indica.

Vocabulario

Polinomio cúbico: Un polinomio cúbico es un polinomio donde el máximo grado es 3. Así, por ejemplo, $2x^3+13x^2-8x+5$ es un polinomio cúbico.

Raíz real: Una raíz real es un punto donde la representación de una función corta el eje $x$ .

Polinomios de cuarto grado: Los polinomios de cuarto grado tienen un grado máximo de 4. Así, por ejemplo, $x^4-2x^3-13x^2-14x+24$ es un polinomio de cuarto grado porque tiene un grado 4.

Práctica guiada

1. Halle las raíces reales para el polinomio cúbico $y=x^3+3x-4$ con un gráfico.

2. Grafique la función $g(x)=3x^3+8x^2+3x-2$ y determine la cantidad de raíces reales. ¿Es $(x - 2)$ uno de los factores de este polinomio?

3. Grafique la función $m(x)=-2x^3+10x^2+8x-1$ para determinar si $x - 1$ es un factor del polinomio.

4. Describa la representación del siguiente polinomio de cuarto grado: $j(x)=-x^4-3x^3+2x^2+x-6$ .

Respuestas

Como uno de los valores de la raíz es (–2, 0), el factor del polinomio sería $(x + 2)$ y no $(x - 2)$ .

3. Si $(x - 1)$ fuera uno de los factores, entonces una de las raíces debería ser (1, 0). No es el caso.

4. La representación tiene forma de M. Se parece a una M debido al coeficiente –1 antes de $x^4$ . Hay dos raíces reales ubicadas en (–3.35, 0) y (–1.32, 0).

Práctica

Halle las raíces reales para los siguientes polinomios cúbicos con un gráfico.

$y=x^3-2x^2-9x+18$
$y=x^3+5x^2-4x-20$
$y=3x^3-6x^2+12x-5$
$y=2x^3-8x^2+3x-12$
$y=-2x^3-3x^2-5x+10$

Grafique las siguientes funciones y determine la cantidad de raíces reales. Halle al menos un factor de cada polinomio de la solución representada.

$y=x^3-3x^2-2x+6$
$y=x^3+x^2-3x-3$
$y=x^3+2x^2-16x-32$
$y=2x^3+13x^2+9x+6$
$y=2x^3+15x^2+4x-21$

Grafique las siguientes funciones para determinar si $x - 1$ es un factor del polinomio.

$y=x^3-2x^2+3x-6$
$y=x^3+3x^2-2x-2$
$y=3x^3+8x^2-5x-6$
$y=x^3+x^2-10x+8$
$y=2x^3-x^2-3x+2$

Indique la raíz real (o las raíces reales) en las siguientes funciones de cuarto grado:

$y=x^4-3x^3-6x^2-3$
$y=x^4-8x^2-8$
$y=2x^4+2x^3+x^2-x-8$
$y=x^4-6x^2-x+3$
$y=x^4+x^3-7x^2-x+6$

Describa las siguientes representaciones:

$y=x^4-5x^2+2x+2$
$y=x^4+3x^3-x-3$
$y=-x^4+x^3+4x^2-x+6$
$y=-x^4-5x^3-5x^2+5x+6$
$y=-2x^4-4x^3-5x^2-4x-4$

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