Simplificación de expresiones racionales

Aquí aprenderá a simplificar expresiones racionales.

¿Cómo puede utilizar la factorización para ayudar a simplificar la siguiente expresión racional?

$\frac{3x^2-27}{x^2+7x+12}$

Mire este video

Khan Academy Simplifying Rationals Expressions (Simplificación de expresiones racionales) *Este video solo está disponible en inglés

Para obtener más información, haga clic en la imagen anterior. (requiere conexión a internet)

Guía

Un número racional es cualquier número de la forma $\frac{a}{b}$ , donde $b \ne 0$ . Una expresión racional es cualquier expresión algebraica con la forma $\frac{a(x)}{b(x)}$ , donde $b \ne 0$ . Un ejemplo de expresión racional es: $\frac{4x^2+20x+24}{2x^2+8x+8}$ .

Considere que cualquier número o expresión dividida por sí misma es igual a 1. Por ejemplo, $\frac{2}{2}=1$ y $\frac{(x+2)}{(x+2)}=1$ . Este hecho le permite simplificar expresiones racionales que tienen la forma factorizada, si busca “expresiones iguales a 1". Considere la siguiente expresión racional:

$\frac{4x^2+20x+24}{2x^2+8x+8}$

Factorice por completo el numerador y el denominador:

$\frac{4(x+2)(x+3)}{2(x+2)(x+2)}$

Tenga en cuenta que hay un factor de $x+2$ tanto en el numerador como en el denominador. Estos factores se dividen para obtener 1, de forma que “se cancelan” (el segundo factor de $(x+2)$ en el denominador permanecerá allí).

$\frac{4\cancel{(x+2)}(x+3)}{2\cancel{(x+2)}(x+2)}$

También, el $\frac{4}{2}$ se reduce a $2$ . La expresión simplificada es:

$\frac{2(x+3)}{x+2}$

Tenga en cuenta que no puede “cancelar” factores comunes hasta que el numerador y el denominador hayan sido factorizados.

Una expresión racional es como cualquier otra fracción en tanto que se dice que es indefinida si el denominador es igual a cero. A los valores de la variable que causan que el denominador de una expresión racional sea cero se los llama restricciones y deben ser excluidos del conjunto de posibles valores para la variable. Para la expresión original anterior, la restricción es $x\ne -2$ porque si $x=-2$ el denominador será igual a cero. Tenga en cuenta que para determinar las restricciones debe mirar la expresión original antes de que se cancele cualquier factor común.

Ejemplo A

Simplifique la siguiente expresión y establezca cualquier restricción en el denominador.

$\frac{x-2}{x^2-10x+16}$

Solución: Para comenzar, factorice el numerador y el denominador:

$\frac{x-2}{(x-8)(x-2)}$

Cancele el factor común de $x-2$ para obtener la expresión simplificada:

$\frac{\cancel{(x-2)}}{(x-8)\cancel{(x-2)}}$

$\frac{1}{x-8}$

Las restricciones son $x\ne 2$ y $x\ne 8$ porque ambos valores para $x$ habrían igualado el denominador de la expresión original a cero.

Ejemplo B

Simplifique la siguiente expresión y establezca cualquier restricción en el denominador.

$\frac{x^2+7x+12}{x^2-16}$

Solución: Para comenzar, factorice el numerador y el denominador:

$\frac{(x+4)(x+3)}{(x-4)(x+4)}$

Cancele el factor común de $x+4$ para obtener la expresión simplificada:

$\frac{\cancel{(x+4)}(x+3)}{(x-4)\cancel{(x+4)}}$

$\frac{x+3}{x-4}$

Las restricciones son $x\ne 4$ y $x\ne -4$ porque ambos valores para $x$ habrían igualado el denominador de la expresión original a cero.

Ejemplo C

Simplifique la siguiente expresión y establezca cualquier restricción en el denominador.

$\frac{3x^2-7x-6}{4x^2-13x+3}$

Solución: Para comenzar, factorice el numerador y el denominador:

$\frac{(x-3)(3x+2)}{(x-3)(4x-1)}$

Cancele el factor común de $x-3$ para obtener la expresión simplificada:

$\frac{\cancel{(x-3)}(3x+2)}{\cancel{(x-3)}(4x-1)}$

$\frac{3x+2}{4x-1}$

Las restricciones son $x\ne 3$ y $x\ne \frac{1}{4}$ porque ambos valores para $x$ habrían igualado el denominador de la expresión original a cero.

Revisión del problema de concepto

$&\frac{3x^2-27}{x^2+7x+12}\\\=&\frac{3(x^2-9)}{(x+3)(x+4)}\\\=&\frac{3(x+3)(x-3)}{(x+3)(x+4)}\\\=&\frac{3\cancel{(x+3)}(x-3)}{\cancel{(x+3)}(x+4)}\\\=&\frac{3(x-3)}{x+4}$

donde $x\ne -3$ y $x\ne -4$

Vocabulario

Expresión racional: Una expresión racional es una expresión algebraica que puede escribirse en la forma $\frac{a(x)}{b(x)}$ donde $b \ne 0$ .

Restricción: Cualquier valor de la variable en una expresión racional que pudiera producir un denominador igual a cero se llama restricción en el denominador.

Práctica guiada

Simplifique cada una de las expresiones siguientes y establezca las restricciones.

1. $\frac{m^2-9m+18}{4m^2-24m}$

2. $\frac{2x^2-8}{4x+8}$

3. $\frac{c^2+4c-5}{c^2-2c-35}$

Respuestas:

1. $\frac{m^2-9m+18}{4m^2-24m}=\frac{(m-6)(m-3)}{(4m)(m-6)}=\frac{(m-3)}{4m}$ ,? $m \ne 0$ ? ; $m \ne 6$

2. $\frac{2x^2-8}{4x+8}=\frac{(2)(x-2)(x+2)}{(4)(x+2)}=\frac{(x-2)}{2}$ , $x \ne -2$

3. $\frac{c^2+4c-5}{c^2-2c-35}=\frac{(c+5)(c-1)}{(c-7)(c+5)}=\frac{(c-1)}{(c-7)}$ ,? $c \ne -5$ ? ; $c \ne 7$

Práctica

Para cada una de las siguientes expresiones racionales, establezca las restricciones.

$\frac{7}{x+4}$
$\frac{-3}{x-5}$
$\frac{5x+1}{5x-1}$
$\frac{6}{4x-3}$
$\frac{(x+1)}{x^2-4}$
$\frac{x-8}{x^2+3x+2}$
$\frac{x+6}{x^2-5x-24}$
$\frac{5x+2}{2x^2+5x+2}$

Simplifique cada una de las siguientes expresiones racionales y establezca las restricciones.

$\frac{4}{4x+12}$
$\frac{4c^2}{8c^2-4c}$
$\frac{10x+5}{2x+1}$
$\frac{x-4}{x^2-16}$
$\frac{y+1}{y^2+5y+4}$
$\frac{c+2}{c^2-5c-14}$
$\frac{(b-3)^2}{b^2-6b+9}$
$\frac{3n^2-27}{6n+18}$
$\frac{6k^2+7k-20}{12k^2-19k+4}$
$\frac{4x^2-4x-3}{2x^2+3x-9}$

Simplificación de expresiones racionales

Mire este video

Guía

Ejemplo A

Ejemplo B

Ejemplo C

Revisión del problema de concepto

Vocabulario

Práctica guiada

Práctica

Licencia