Multiplicación y división de expresiones racionales

Aquí aprenderá a multiplicar y dividir expresiones racionales.

¿Cómo puede utilizar su conocimiento de multiplicación de fracciones para multiplicar las siguientes expresiones racionales?

$\frac{10y+20}{5y-15} \cdot \frac{y-3}{y^2+10y+16}$

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Khan Academy Multiplying and Dividing Rational Expressions (Multiplicación y división de expresiones racionales) *Este video solo está disponible en inglés

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Guía

Las expresiones racionales son ejemplos de fracciones, así que multiplique y divida las expresiones racionales de la misma manera en que multiplica y divide fracciones. Al igual que con las fracciones, después de multiplicar o dividir, querrá simplificar el resultado. También querrá establecer cualquier restricción que pueda causar que el denominador de cualquiera de las expresiones racionales originales sea igual a cero. Para multiplicar:

$\frac{x^2+2x}{x+3}\cdot \frac{x^2+4x+3}{x}$

Primero, factorice todas las expresiones que se puedan factorizar:

$\frac{x(x+2)}{x+3}\cdot \frac{(x+3)(x+1)}{x}$

Luego, multiplique los numeradores y los denominadores para crear una sola expresión racional. Deje en la forma factorizada:

$\frac{x(x+2)(x+3)(x+1)}{x(x+3)}$

Simplifique:

$\frac{\cancel{x}(x+2)\cancel{(x+3)}(x+1)}{\cancel{x}\cancel{(x+3)}}$

$=(x+2)(x+1)$

$=x^2+3x+2$

Finalmente, establezca las restricciones basándose en las expresiones racionales originales:

$x\ne -3$ y $x\ne 0$ .

Para dividir expresiones racionales, recuerde que dividir una fracción por otra es lo mismo que multiplicar la primera fracción por la recíproca de la segunda fracción. Por ejemplo, $\frac{x^2+2x}{x+3}\div \frac{x}{x^2+4x+3}$ es equivalente a, y puede reescribirse como, $\frac{x^2+2x}{x+3}\cdot \frac{x^2+4x+3}{x}$ , que se puede resolver utilizando los mismos pasos que en el caso anterior.

Ejemplo A

Multiplique las expresiones racionales siguientes y establezca las restricciones.

$\frac{4x-8}{x^2-7x+10} \cdot \frac{x^2-3x-10}{x^2-4}$

Solución: Empiece por factorizar el numerador y el denominador de cada expresión:

$\frac{4(x-2)}{(x-5)(x-2)}\cdot \frac{(x-5)(x+2)}{(x-2)(x+2)}$

Luego, multiplique los numeradores y los denominadores para crear una sola expresión racional:

$\frac{4(x-2)(x-5)(x+2)}{(x-5)(x-2)(x-2)(x+2)}$

Simplifique eliminando los factores comunes del numerador y del denominador que se dividen para obtener 1:

$\frac{4\cancel{(x-2)}\cancel{(x-5)}\cancel{(x+2)}}{\cancel{(x-5)}\cancel{(x-2)}\cancel{(x+2)}(x-2)}$

La respuesta final es: $\frac{4}{(x-2)}$ con las restricciones: $x\ne 5$ , $x\ne 2$ , y $x\ne -2$ .

Ejemplo B

Divida las expresiones racionales siguientes y establezca las restricciones.

$\frac{m^2-4}{m^2+9m+14} \div \frac{3m^2-6m}{m^2-49}$

Solución: Para dividir expresiones racionales, multiplique por el recíproco del divisor. Luego, siga el proceso de multiplicar expresiones racionales.

$\frac{m^2-4}{m^2+9m+14} {\color{red}\cdot \frac{m^2-49}{3m^2-6m}}$

Empiece por factorizar el numerador y el denominador de cada expresión.

$\frac{(m-2)(m+2)}{(m+7)(m+2)}\cdot \frac{(m-7)(m+7)}{3m(m-2)}$

Luego, multiplique los numeradores y los denominadores para crear una sola expresión racional:

$\frac{(m-2)(m+2)(m-7)(m+7)}{3m(m+7)(m+2)(m-2)}$

Simplifique eliminando los factores comunes del numerador y del denominador que se dividen para obtener 1:

$\frac{\cancel{(m+2)}\cancel{(m-2)}\cancel{(m+7)}(m-7)}{3m \cancel{(m-2)} \cancel{(m+7)} \cancel{(m+2)}}$

La respuesta final es: $\frac{(m-7)}{3m}$ con las restricciones: $x\ne -7$ ,? $x\ne 2$ ? ,? $x\ne 0$ ? , $x\ne 7$ y $x\ne -2$ . Tenga en cuenta que al dividir expresiones racionales, para las restricciones debe considerar TODOS los factores que aparecen en el denominador. Esto significa que tanto el numerador como el denominador de la segunda expresión racional deben considerarse para restricciones.

Ejemplo C

Simplifique las expresiones racionales siguientes y establezca las restricciones.

$\frac{12x^2+13x-35}{5x^2-21x+18} \div \frac{3x^2+16x+21}{5x^2+9x-18}$

Solución: Para dividir expresiones racionales, multiplique por el recíproco del divisor. Luego, siga el proceso de multiplicar expresiones racionales.

$\frac{12x^2+13x-35}{5x^2-21x+18} {\color{red}\times \frac{5x^2+9x-18}{3x^2+16x+21}}$

Empiece por factorizar el numerador y el denominador de cada expresión.

$\frac{(4x-5)(3x+7)}{(5x-6)(x-3)} \times \frac{(5x-6)(x+3)}{(3x+7)(x+3)}$

Luego, multiplique los numeradores y los denominadores para crear una sola expresión racional:

$\frac{(4x-5)(3x+7)(5x-6)(x+3)}{(5x-6)(x-3)(3x+7)(x+3)}$

Simplifique eliminando los factores comunes del numerador y del denominador que se dividen para obtener 1:

$\frac{(4x-5)\cancel{(3x+7)}\cancel{(5x-6)}\cancel{(x+3)}}{\cancel{(5x-6)}(x-3)\cancel{(3x+7)}\cancel{(x+3)}}$

La respuesta final es: $\frac{(4x-5)}{(x-3)}$ con las restricciones: $x\ne \frac{6}{5}$ ,? $x\ne 3$ ? , $x\ne -\frac{7}{3}$ , y $x\ne -3$ .

Revisión del problema de concepto

$\frac{10y+20}{5y-15} \cdot \frac{y-3}{y^2+10y+16}$

Empiece por factorizar el numerador y el denominador de cada expresión.

$\frac{10(y+2)}{5(y-3)} \cdot \frac{y-3}{(y+8)(y+2)}$

Represente las expresiones racionales factorizadas como una sola expresión racional.

$\frac{10(y+2)(y-3)}{5(y-3)(y+8)(y+2)}$

Cancele los factores comunes que existen en el numerador y el denominador.

$\frac{\overset{{\color{red}2}}{\cancel{10}}\cancel{(y+2)}\cancel{(y-3)}}{\cancel{5}\cancel{(y-3)}(y+8)\cancel{(y+2)}}$

El resultado de cancelar los factores comunes es la respuesta. No olvide incluir las restricciones.

$\boxed{\frac{2}{y+8}; y \ne 3; y \ne -8; y \ne -2}$

Vocabulario

Expresión racional: Una expresión racional es una expresión algebraica que puede escribirse en la forma $\frac{a(x)}{b(x)}$ donde $b \ne 0$ .

Restricción: Cualquier valor de la variable en una expresión racional que pudiera producir un denominador igual a cero se llama restricción en el denominador.

Práctica guiada

Multiplique o divida cada una de las expresiones siguientes y establezca las restricciones.

1. $\frac{x+7}{x^2-5x-36} \div \frac{x^2-2x-63}{x+4} \cdot \frac{x^2-15x+54}{x^2-36}$

2. $\frac{y^2-25}{y^2-6y} \cdot \frac{y^2-12y+36}{y^2+2y-15} \div \frac{y^2-11y+30}{y^2+4y-21}$

3. $\frac{2x^2+7x-4}{6x^2+x-2} \cdot \frac{15x^2+7x-2}{5x^2+19x-4}$

Respuestas:

1. Escriba el término después del signo de división como un recíproco y multiplique.

$\frac{x+7}{x^2-5x-36} {\color{red}\cdot \frac{x+4}{x^2-2x-63}} \cdot \frac{x^2-15x+54}{x^2-36}$

Factorice el numerador y el denominador de cada expresión.

$\frac{x+7}{(x-9)(x+4)} \cdot \frac{x+4}{(x-9)(x+7)} \cdot \frac{(x-9)(x-6)}{(x+6)(x-6)}$

Represente las expresiones racionales factorizadas como una sola expresión racional.

$\frac{(x+7)(x+4)(x-9)(x-6)}{(x-9)(x+4)(x-9)(x+7)(x+6)(x-6)}$

Cancele los factores comunes que existen en el numerador y el denominador.

$\frac{\overbrace{\cancel{(x+7)}\cancel{(x+4)}\cancel{(x-9)}\cancel{(x-6)}}^{{\color{red}1}}}{\cancel{(x-9)}\cancel{(x+4)}(x-9)\cancel{(x+7)}(x+6)\cancel{(x-6)}}$

El resultado de cancelar los factores comunes es la respuesta.

$\boxed{=\frac{1}{(x-9)(x-6)};x \ne 9;x \ne -4;x \ne -7;x \ne -6;x \ne 6;}$

2. Escriba el término después del signo de división como un recíproco y multiplique.

$\frac{y^2-25}{y^2-6y} \cdot \frac{y^2-12y+36}{y^2+2y-15} {\color{red}\cdot \frac{y^2+4y-21}{y^2-11y+30}}$

Factorice el numerador y el denominador de cada expresión.

$\frac{(y+5)(y-5)}{y(y-6)} \cdot \frac{(y-6)(y-6)}{(y+5)(y-3)}\cdot \frac{(y+7)(y-3)}{(y-6)(y-5)}$

Represente las expresiones racionales factorizadas como una sola expresión racional.

$\frac{(y+5)(y-5)(y-6)(y-6)(y+7)(y-3)}{y(y-6)(y+5)(y-3)(y-6)(y-5)}$

Cancele los factores comunes que existen en el numerador y el denominador.

$\frac{\cancel{(y+5)}\cancel{(y-5)}\cancel{(y-6)}\cancel{(y-6)}(y+7)\cancel{(y-3)}}{y\cancel{(y-6)}\cancel{(y+5)}\cancel{(y-3)}\cancel{(y-6)}\cancel{(y-5)}}$

El resultado de cancelar los factores comunes es la respuesta.

$\boxed{=\frac{y+7}{y}; y \ne 0;y \ne 6;y \ne -5;y \ne 3;y \ne 5;y \ne -7}$

3. Factorice el numerador y el denominador de cada expresión.

$\frac{(2x-1)(x+4)}{(2x-1)(3x+2)} \cdot \frac{(5x-1)(3x+2)}{(5x-1)(x+4)}$

Represente las expresiones racionales factorizadas como una sola expresión racional.

$\frac{(2x-1)(x+4)(5x-1)(3x+2)}{(2x-1)(3x+2)(5x-1)(x+4)}$

Cancele los factores comunes que existen en el numerador y el denominador.

$\frac{\overbrace{\cancel{(2x-1)}\cancel{(x+4)}\cancel{(5x-1)}\cancel{(3x+2)}}^{{\color{red}1}}}{\cancel{(2x-1)}\cancel{(3x+2)}\cancel{(5x-1)}\cancel{(x+4)}}$

El resultado de cancelar los factores comunes es la respuesta.

$\boxed{=1; x \ne \frac{1}{2}; x \ne -\frac{2}{3}; x \ne \frac{1}{5}; x \ne -4}$

Práctica

Multiplique o divida cada una de las expresiones siguientes y establezca las restricciones para cada una.

$\frac{3x+9}{6x} \cdot \frac{x^2}{x^2-9}$
$\frac{c^2+5c+6}{c-1} \cdot \frac{c^2-1}{c+3}$
$\frac{a^2+3a}{3a-9} \cdot \frac{a^2-a-6}{2a^2+6a}$
$\frac{y-3}{y+3} \cdot \frac{y^2-9}{y+3} \cdot \frac{y^2+6y+9}{y^2-6y+9}$
$\frac{m^2-4m-5}{m^2-5m} \cdot \frac{m^2-6m+5}{m^2-1} \cdot \frac{m}{m-5}$
$\frac{x^2-x-20}{x^2-25} \div \frac{3x+12}{x+5}$
$\frac{d^2-9}{3-3d} \div \frac{d^2+5d+6}{d^2+3d-4}$
$\frac{4x^2-20x}{3x+6} \div \frac{x-5}{x^2-x-6}$
$\frac{4n^2-9}{2n^3+2n^2-4n} \div \frac{2n^2-n-3}{3n^2-6n+3}$
$\frac{e^2+10e+21}{2e^2+7e-15} \div \frac{e^2+8e+15}{e^2+10e+25}$
$\frac{x^2+2x-15}{x^2-6x+8} \cdot \frac{x^2+2x-8}{x^2-6x+9} \cdot \frac{x^2-7x+12}{x^2-x-30}$
$\frac{2x^2+5x-3}{4x^2-12x+5} \div \frac{3x^2+13x+12}{6x^2-7x-20}$
$\frac{5m^2-20}{m^2+14m+33} \cdot \frac{m^2+10m-11}{m^2-8m+12} \cdot \frac{m^2-3m-18}{m^2+m-2}$
$\frac{2y^2+5y-12}{y^2+9y+14} \div \frac{6y^2-7y-3}{3y^2+25y+8} \cdot \frac{y^2+3y-28}{y^2-16}$
$\frac{x^2-49}{x^2+3x-88} \cdot \frac{x^2+6x-55}{x^2-11x+28} \div \frac{x^2+2x-35}{x^2-12x+32}$

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