Suma y resta de expresiones racionales

Aquí aprenderá a sumar y restar expresiones racionales.

¿Puede utilizar su conocimiento de expresiones racionales y suma de fracciones para sumar las siguientes expresiones racionales?

$\frac{3x}{x^2+6x-16}+\frac{2x}{x-2}$

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Khan Academy Adding and Subtracting Rational Expressions (Suma y resta de expresiones racionales) *Este video solo está disponible en inglés

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Guía

Las expresiones racionales son ejemplos de fracciones, así que sume y reste las expresiones racionales de la misma manera en que suma y resta fracciones. Al igual que con las fracciones, necesitará un denominador común, idealmente el mínimo común denominador (MCD), para poder sumar o restar las expresiones.

Por ejemplo, para sumar:

$\frac{x^2+2x}{x+3}+ \frac{x}{x^2+4x+3}$

Primero, factorice los denominadores para obtener:

$\frac{x^2+2x}{x+3}+ \frac{x}{(x+3)(x+1)}$ .

Luego, encuentre el mínimo común denominador (MCD). Este será el producto de cada factor único en los denominadores. En este caso, el MCD es $(x+3)(x+1)$ . Multiplique el numerador y el denominador de cada fracción por los factores necesarios para crear el denominador común. En este caso, solo necesita multiplicar la fracción a la izquierda por $\left(\frac{x+1}{x+1}\right)$ . La expresión se convierte en:

$\frac{x^2+2x}{x+3}\left(\frac{x+1}{x+1}\right)+ \frac{x}{(x+3)(x+1)}$

$=\frac{(x^2+2x)(x+1)}{(x+3)(x+1)}+ \frac{x}{(x+3)(x+1)}$

Ahora sume los numeradores y escríbalos como una expresión racional:

$=\frac{(x^2+2x)(x+1)+x}{(x+3)(x+1)}$

Simplifique el numerador multiplicando, combinando términos semejantes, y factorizando donde sea posible (el denominador se deja en la forma factorizada):

$\frac{x^3+3x^2+3x}{(x+3)(x+1)}$

$=\frac{x(x^2+3x+3)}{(x+3)(x+1)}$

La expresión racional no se puede simplificar más, por lo que esta es su respuesta. Las restricciones son $x\ne -3$ y $x\ne -1$ porque esos valores provocarían que uno o ambos denominadores originales sean iguales a cero.

Ejemplo A

Identifique el mínimo común denominador (MCD) en la forma factorizada.

i) $\frac{2x-3}{x^2-7x+10}-\frac{x-5}{x^2-2x-15}$

ii) $\frac{2x+1}{x^2+6x+9}+\frac{3x-2}{x^2+x-6}$

Solución: Para determinar el MCD, empiece por factorizar los denominadores.

i) $\frac{2x-3}{x^2-7x+10}-\frac{x-5}{x^2-2x-15}=\frac{2x-3}{(x-5)(x-2)}-\frac{x-5}{(x-5)(x+3)}$

El MCD es $\boxed{(x-5)(x-2)(x+3)}$

ii) $\frac{2x+1}{x^2+6x+9}+\frac{3x-2}{x^2+x-6}=\frac{2x+1}{(x+3)(x+3)}+\frac{3x-2}{(x+3)(x-2)}$

El MCD es $\boxed{(x+3)(x+3)(x-2)}$

Ejemplo B

Sume las expresiones racionales siguientes y establezca las restricciones.

$\frac{3x+1}{x^2+8x+16}+\frac{2x-3}{x^2+x-12}$

Solución: Empiece por determinar el MCD. Factorice los denominadores de cada expresión.

$\frac{3x+1}{x^2+8x+16}+\frac{2x-3}{x^2+x-12}=\frac{3x+1}{(x+4)(x+4)}+\frac{2x-3}{(x+4)(x-3)}$

El MCD es $\boxed{(x+4)(x+4)(x-3)}$

Multiplique los numeradores y denominadores de cada expresión por los factores necesarios para crear el MCD.

$\frac{3x+1}{(x+4)(x+4)} {\color{red}\left(\frac{x-3}{x-3}\right)} + \frac{2x-3}{(x+4)(x-3)} {\color{red}\left(\frac{x+4}{x+4}\right)}$

Multiplique los numeradores. Mantenga los denominadores en la forma factorizada.

$\frac{3x^2-8x-3}{(x+4)(x+4)(x-3)}+\frac{2x^2+5x-12}{(x+4)(x+4)(x-3)}$

Escriba las dos expresiones como una expresión racional.

$\frac{3x^2-8x-3+2x^2+5x-12}{(x+4)(x+4)(x-3)}$

Simplifique el numerador combinando términos semejantes.

$\frac{5x^2-3x-15}{(x+4)(x+4)(x-3)}$

El numerador no se puede factorizar, por lo que la expresión no se puede simplificar más. La respuesta más simplificada es:

$\boxed{\frac{5x^2-3x-15}{(x+4)(x+4)(x-3)}; x \ne -4; x \ne 3}$

Ejemplo C

Reste las siguientes expresiones racionales y establezca las restricciones.

$\frac{x}{x^2-9x+18}-\frac{x-2}{x^2-10x+24}$

Solución: Empiece por determinar el MCD. Factorice los denominadores de cada expresión.

$\frac{x}{(x-6)(x-3)}-\frac{x-2}{(x-6)(x-4)}$

El MCD es $\boxed{(x-6)(x-3)(x-4)}$

Multiplique los numeradores y denominadores de cada expresión para obtener el MCD.

$\frac{x}{(x-6)(x-3)} {\color{red}\left(\frac{x-4}{x-4}\right)} - \frac{x-2}{(x-6)(x-4)} {\color{red}\left(\frac{x-3}{x-3}\right)}$

Multiplique los numeradores.

$\frac{x^2-4x}{(x-6)(x-3)(x-4)} - \frac{x^2-5x+6}{(x-6)(x-3)(x-4)}$

Escriba las expresiones como una expresión racional.

$\frac{x^2-4x-(x^2-5x+6)}{(x-6)(x-3)(x-4)}$

$=\frac{x^2-4x-x^2+5x-6}{(x-6)(x-3)(x-4)}$

Simplifique el numerador combinando términos semejantes.

$\frac{x-6}{(x-6)(x-3)(x-4)}$

El término $(x-6)$ es común al numerador y al denominador. Este término se puede “cancelar”. La solución es:

$\boxed{\frac{1}{(x-3)(x-4)};x \ne 3; x \ne 4; x \ne 6}$

Revisión del problema de concepto

$\frac{3x}{x^2+6x-16}+\frac{2x}{x-2}$

Factorice el denominador de la primera fracción y reescriba el problema:

$\frac{3x}{(x+8)(x-2)}+\frac{2x}{x-2}$

El MCD es $(x+8)(x-2)$ .

$\frac{3x}{(x+8)(x-2)}+\frac{2x}{x-2} \left( {\color{red}\frac{x+8}{x+8}}\right)$

Multiplique los numeradores.

$\frac{3x}{(x+8)(x-2)}+\frac{{\color{red}2x^2+16x}}{(x-2)(x+8)}$

Escriba las dos expresiones como una expresión racional.

$\frac{3x+2x^2+16x}{(x+8)(x-2)}$

Simplifique el numerador combinando términos semejantes. Su respuesta final es:

$\boxed{\frac{2x^2+19x}{(x+8)(x-2)};x \ne -8; x \ne 2}$

Vocabulario

Expresión racional: Una expresión racional es una expresión algebraica que puede escribirse en la forma $\frac{a(x)}{b(x)}$ donde $b \ne 0$ .

Restricción: Cualquier valor de la variable en una expresión racional que pudiera producir un denominador igual a cero se llama restricción en el denominador.

Práctica guiada

Sume o reste y establezca las restricciones.

1. $\frac{2x}{x^2-4}-\frac{1}{x-2}$

2. $\frac{-2}{3y^2+5y+2}+\frac{3}{y^2-7y-8}$

3. $\frac{3m-1}{9m^3-36m^2} + \frac{2m+1}{2m^2-5m-12}$

Respuestas:

$\frac{2x}{x^2-4}-\frac{1}{x-2}&=\frac{2x}{(x-2)(x+2)}-\frac{x+2}{(x-2)(x+2)}\\\&=\frac{2x-(x+2)}{(x-2)(x+2)}\\\&=\frac{(x-2)}{(x-2)(x+2)}\\\&=\frac{1}{(x+2)}; x \ne -2; x \ne 2$

$\frac{-2}{3y^2+5y+2}+\frac{3}{y^2-7y-8}&=\frac{-2}{(3y+2)(y+1)}+\frac{3}{(y-8)(y+1)}\\\&=\frac{-2(y-8)}{(3y+2)(y+1)(y-8)}+\frac{3(3y+2)}{(3y+2)(y-8)(y+1)}\\\&=\frac{-2y+16+9y+6}{(3y+2)(y-8)(y+1)}\\\&=\frac{7y+22}{(3y+2)(y-8)(y+1)}; y \ne -\frac{2}{3}; y \ne 8; y \ne -1$

$\frac{3m-1}{9m^3-36m^2} + \frac{2m+1}{2m^2-5m-12}&=\frac{3m-1}{9m^2(m-4)} + \frac{2m+1}{(2m+3)(m-4)}\\\&=\frac{(3m-1)(2m+3)}{9m^2(m-4)(2m+3)} + \frac{9m^2(2m+1)}{9m^2(2m+3)(m-4)}\\\&=\frac{6m^2-2m+9m-3+18m^3+9m^2}{9m^2(m-4)(2m+3)}\\\&=\frac{18m^3+15m^2+7m-3}{9m^2(m-4)(2m+3)}; m \ne -\frac{3}{2}; m \ne 4; m \ne 0$

Práctica

Para cada una de las siguientes expresiones racionales, determine el MCD.

$\frac{2a-3}{4} + \frac{3a-1}{5} - \frac{a-5}{2}$
$\frac{5}{3x^2} - \frac{1}{2x} + \frac{3}{5x^3}$
$\frac{x}{a^2b} - \frac{y}{ab^2} + \frac{z}{3a^3b^2}$
$\frac{2w}{w^2-6w+5} - \frac{3w}{w^2-11w+30}$
$\frac{1}{y^2+5y} - \frac{2}{y^2+12y+35} - \frac{3}{y^3+7y^2}$

Para cada una de las siguientes expresiones racionales, establezca las restricciones.

$\frac{3}{x^2-5x+4} + \frac{4}{x^2-16}$
$\frac{5}{a^2+a} - \frac{2}{a^2+3a+2}$
$\frac{6}{m^2-5m} + \frac{7}{m^2-4m-5}$
$\frac{3n}{n^2+2n-3} - \frac{4n}{n^2+n-6}$
$\frac{6}{y^2-4} + \frac{4}{y^2+4y+4}$

Sume o reste cada una de las siguientes expresiones racionales y establezca las restricciones.

$\frac{2a-3}{4} + \frac{3a-1}{5} - \frac{a-5}{2}$
$\frac{5}{3x^2} - \frac{1}{2x} + \frac{3}{5x^3}$
$\frac{x}{a^2b} - \frac{y}{ab^2} + \frac{z}{3a^3b^2}$
$\frac{2w}{w^2-6w+5} - \frac{3w}{w^2-11w+30}$
$\frac{1}{y^2+5y} - \frac{2}{y^2+12y+35} - \frac{3}{y^3+7y^2}$

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