Gráficos de funciones racionales

Aquí investigará los gráficos de las funciones racionales utilizando una calculadora gráfica.

¿Puede utilizar su calculadora gráfica para trazar el gráfico de la siguiente función racional? ¿Tiene esta función algún cero o asíntotas?

$y=\frac{4}{x^2+1}$

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Khan Academy Another Rational Function Graph Example (Ejemplo gráfico de otra función racional) *Este video solo está disponible en inglés

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Khan Academy A Third Example of Graphing A Rational Function (Un tercer ejemplo de gráfico de una función racional) *Este video solo está disponible en inglés

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Guía

Una función racional es el cociente de dos funciones polinómicas. En general,

$f(x)=\frac{A(x)}{B(x)}$

donde $A$ y $B$ son polinomios y $B \ne 0$ . Puede utilizar su calculadora gráfica para graficar una función racional y buscar características importantes. Considere la función $y=\frac{x}{x-3}$ .

Tenga en cuenta que la función tiene dos partes. Entre esas dos partes están las asíntotas.

Una asíntota vertical tiene lugar en los valores $x$ que causan que el denominador de la función sea igual a cero (lo que es indefinido). Esta función tiene una asíntota vertical en $x=3$ .
Una asíntota horizontal tiene lugar en los valores $y$ que causan que el denominador de la función sea igual a cero si se reescribe la función y se evalúa para $x$ en lugar de $y$ . Observe la solución para $x$ :

$& y=\frac{x}{x-3}\\\&(x-3)(y)=(x-3)\left(\frac{x}{x-3}\right)\\\& xy-3y=\cancel{(x-3)}\left(\frac{x}{\cancel{x-3}}\right)\\\& xy-3y=x\\\& xy-x=3y\\\& x(y-1)=3y\\\&\boxed{x=\frac{3y}{y-1}}$

Por lo tanto, $y \ne 1$ y esta función tiene una asíntota horizontal en $y = 1$ .

La imagen a continuación muestra el gráfico con las asíntotas trazadas y rotuladas. En las funciones racionales, las asíntotas representan las líneas a las que la función se acercará pero que jamás alcanzará.

También es importante tener en cuenta las intersecciones en X (ceros) de la función. Los ceros de la función serán los valores de $x$ que causan que el numerador, pero no el denominador, sea igual a cero.

Ejemplo A

Utilice tecnología para trazar el gráfico de la función racional. Encuentre los ceros y las asíntotas y rotule aquellos que están en su diagrama.

$y=\frac{1}{x^2-9}=\frac{1}{(x+3)(x-3)}$

Solución: A continuación se muestra el diagrama de la calculadora:

A veces puede ser difícil interpretar lo que ve en la pantalla de la calculadora gráfica. Utilice el álgebra para encontrar las asíntotas y los ceros y grafíquelos primero.

No hay ceros para el numerador. Por lo tanto, no hay intersecciones en X para la función.
Los ceros del denominador son 3 y –3. Esto significa que hay dos asíntotas verticales. Una asíntota vertical es la línea $x = 3$ y la otra es la línea $x = -3$ .
Otra forma de determinar una asíntota horizontal además de resolver la ecuación para $x$ es mirar los grados de los numeradores y los denominadores. El grado es el exponente más alto. El grado del numerador es 0 y el grado del denominador es 2. En general, si el grado del numerador es menor que el grado del denominador, habrá una asíntota horizontal en $y=0$ .

Una vez que haya graficado las asíntotas, utilice la tabla y/o el gráfico de una calculadora gráfica para observar cómo se ve el resto del gráfico. Aquí está el gráfico con las asíntotas rotuladas.

Ejemplo B

Utilice tecnología para trazar el gráfico de la función racional. Encuentre los ceros y las asíntotas y rotule aquellos que están en su diagrama.

$y=-\frac{1}{x}$

Solución: A continuación se muestra el diagrama de la calculadora:

Utilice el álgebra para encontrar las asíntotas y los ceros y grafíquelos primero.

No hay ceros para el numerador. Por lo tanto, no hay intersecciones en X para la función.
El cero del denominador es 0. Esto significa que hay una asíntota vertical, la línea $x = 0$ .
La asíntota horizontal es $y = 0$ . Puede utilizar el álgebra para calcular la ecuación $x$ y hallar los valores de $y$ que causarán que el denominador sea igual a cero:

$& y=-\frac{1}{x}\\\& xy=-1\\\&\frac{xy}{y}=\frac{-1}{y}\\\&\boxed{x=-\frac{1}{y}}$

Ejemplo C

Utilice tecnología para trazar el gráfico de la función racional. Encuentre los ceros y las asíntotas y rotule aquellos que están en su diagrama.

$y=\frac{x+2}{x-3}$

Solución: A continuación se muestra el diagrama de la calculadora:

Utilice el álgebra para encontrar las asíntotas y los ceros y grafíquelos primero.

El cero del numerador es –2 así que el cero (intersección con X) de la función es (–2, 0).
El cero del denominador es 3. Esto significa que hay una asíntota vertical, la línea $x = 3$ .
La asíntota horizontal es $y = 1$ . Puede utilizar el álgebra para calcular la ecuación $x$ y hallar los valores de $y$ que causarán que el denominador sea igual a cero:

$& y=\frac{x+2}{x-3}\\\&(x-3)(y)=\left(\frac{x+2}{x-3}\right)(x-3)\\\& xy-3y=x+2\\\& xy-x=2+3y\\\& x(y-1)=2+3y\\\&\boxed{x=\frac{3y+2}{y-1}}$

Revisión del problema de concepto

$y=\frac{4}{x^2+1}$

Aquí hay un gráfico de la función:

No hay ceros para esta función ya que no hay ceros para el numerador. El gráfico no atraviesa el eje $x$ .
No hay ceros para el denominador. Por lo tanto, no hay asíntotas verticales.
Debido a que el grado del numerador es menor que el grado del denominador, hay una asíntota horizontal en $y=0$ .

Vocabulario

Función racional: Una función racional es el cociente de dos funciones polinómicas. En general,

$f(x)=\frac{A(x)}{B(x)}$

donde $A$ y $B$ son polinomios y $B \ne 0$ .

Práctica guiada

1. Grafique la función racional: $y=\frac{x+1}{x}$

2. Grafique la función racional: $y=\frac{x^2}{x-3}$

3. Halle las asíntotas de la función: $y=\frac{1}{x^2-16}$

Respuestas:

1. El cero del denominador es 0. Esto significa que habrá una asíntota vertical en $x=0$ (el eje Y). Debido a que el grado del denominador y el numerador son iguales, puede calcular la ecuación para $x$ y obtener $x=\frac{1}{y-1}$ . El cero del denominador es 1. Esto significa que hay una asíntota horizontal en $y=1$ . El numerador tiene un cero en -1, por lo que hay una intersección con X en -1.

2. El cero del denominador es 3. Esto significa que habrá una asíntota vertical en $x=3$ . Debido a que el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, no hay asíntotas horizontales. El cero del numerador es 0, así que hay una intersección con X en 0.

3. Los ceros del denominador son 4 y –4. Esto significa que habrá dos asíntotas verticales. Una asíntota vertical será la línea $x = 4$ y la otra será la línea $x = -4$ . Debido a que el grado del numerador es menor que el grado del denominador, hay una asíntota horizontal en $y=0$ . A pesar de que no necesitó trazar un gráfico, aquí está el gráfico de la función:

Práctica

Grafique cada una de las siguientes funciones racionales.

$y=\frac{2}{x+3}$
$y=\frac{x}{x-1}$
$y=\frac{1}{x^2-4}$
$y=\frac{x+2}{x}$
$y=\frac{1}{x^2+2}$
$y=\frac{x}{x+2}$
$y=\frac{1}{x^2-x-12}$
$y=\frac{x-1}{x+3}$
$y=\frac{x-1}{x+4}$
$y=\frac{5}{x^2+1}$

Sin graficar las siguientes funciones racionales, establezca lo que sabe sobre sus asíntotas y ceros.

$y=\frac{1}{x^2-x-2}$
$y=-\frac{2}{x-4}$
$y=-\frac{2}{x^2+1}$
$y=\frac{6}{x^2+1}$
$y=\frac{x-1}{x+3}$

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