Gráficos para resolver ecuaciones cuadráticas

Aquí aprenderá a resolver una ecuación cuadrática mediante gráficos.

Un modo de resolver la ecuación $x^2-2x-3=0$ es usar la factorización y la propiedad del producto cero. ¿Cómo podría usar un gráfico para resolver? $x^2-2x-3=0$ ?

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James Sousa: Solve a Quadratic Equation Graphically on the Calculator (Resolución de una ecuación cuadrática mediante gráficos en la calculadora) *Este video solo está disponible en inglés

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Guía

Recuerde que una ecuación cuadrática es una expresión de segundo grado que puede escribirse de la forma $ax^2+bx+c=0$ . Cada ecuación cuadrática tiene una función cuadrática correspondiente que se obtiene cambiando el “ $0$ ” por una “ $y$ ". La forma estándar de una función cuadrática es $y=ax^2+bx+c$ . Las funciones cuadráticas se pueden graficar a mano o con una calculadora gráfica.

¿Cómo se muestran las soluciones de la ecuación $x^2+x-12=0$ en el gráfico de $y=x^2+x-12$ ? En el gráfico, se buscan los puntos que tienen una coordenada y igual a 0. Por lo tanto, las soluciones a la ecuación se mostrarán como las intersecciones con x en la representación de la función. También se conocen como las raíces o los ceros de la función. Ésta es la representación de $y=x^2+x-12$ :

Puede observar que las intersecciones con x están en $(-4,0)$ y $(3,0)$ . Esto significa que las soluciones de la ecuación $x^2+x-12=0$ son $x=-4$ y $x=3$ . Puede verificar estas soluciones reemplazándolas en la ecuación:

$(-4)^2+(-4)-12=16-4-12=0$

$(3)^2+(3)-12=9+3-12=0$

La representación mediante gráficos es un excelente modo de resolver ecuaciones cuadráticas. Tenga en cuenta que también puede resolver muchas ecuaciones cuadráticas factorizando o usando otros métodos algebraicos tales como la fórmula cuadrática o completando el cuadrado.

Ejemplo A

Resuelva la siguiente ecuación cuadrática hallando las intersecciones con x de la función cuadrática correspondiente: $x^2-2x-8=0$

Solución: La función correspondiente es $y=x^2-2x-8$ . Use la calculadora gráfica para hacer una tabla y una representación de esta función.

Las intersecciones con $x$ son (–2, 0) y (4, 0). Las intersecciones con $x$ son los valores de “ $x$ ” que producen $y = 0$ y por lo tanto son las soluciones de su ecuación. Las soluciones para la expresión cuadrática son $x = -2$ y $x = 4$ .

Ejemplo B

Resuelva la siguiente ecuación cuadrática hallando las intersecciones con x de la función cuadrática correspondiente: $x^2+4x+4=0$

Solución: La función correspondiente es $y=x^2+4x+4$ . Use la calculadora gráfica para hacer una tabla y una representación de esta función.

La única intersección con $x$ es (–2, 0). Solo hay una solución para la ecuación $x=-2$ . Tenga en cuenta que las ecuaciones cuadráticas pueden tener 0, 1 o 2 soluciones reales. Si factorizara la expresión cuadrática $x^2+4x+4$ , obtendría $(x+2)(x+2)$ - dos veces los mismos factores. Se dice que la raíz de $-2$ para esta función tiene una multiplicidad de 2, porque 2 factores producen la misma solución. Aprenderá más sobre multiplicidad cuando estudie sobre polinomios en cursos posteriores.

Ejemplo C

Resuelva la siguiente ecuación cuadrática hallando las intersecciones con x de la función cuadrática correspondiente: $x^2+3x=10$

Solución: Primero vuelva a escribir la ecuación para igualarla a cero: $x^2+3x-10=0$ . Ahora, la función correspondiente es $y=x^2+3x-10$ . Use la calculadora gráfica para hacer una representación de esta función. Notará que hay dos intersecciones con $x$ .

Para este ejemplo, verá cómo la calculadora puede calcular los ceros de una función en un gráfico. Esta técnica es particularmente útil cuando las intersecciones no son con números enteros. Con la calculadora, halle la intersección con $x$ del lado izquierdo primero. Presione

La calculadora mostrará “Left Bound?” (Extremo izquierdo) Use la flecha para posicionar el cursor de modo que quede a la izquierda y por encima del eje $x$ .

Cuando el cursor está ubicado, presione

Ahora la calculadora mostrará “Right Bound?” (Extremo derecho) Use las flechas para posicionar el cursor de modo que quede a la derecha y por debajo del eje $x$ .

Cuando el cursor está ubicado, presione

Ahora, la calculadora mostrará “Guess?” (Hacer estimación)

Presione

En la parte inferior de la pantalla puede ver que dice “Zero” (cero) y las coordenadas x e y. Usted está interesado en la coordenada x porque es una de las soluciones de la ecuación original. La intersección con $x$ es (–5, 0), que significa que una de las soluciones es $x = - 5$ .

Repita este mismo proceso para determinar el valor de la intersección con $x$ a la derecha.

La intersección con $x$ es (2, 0), que significa que la segunda solución es $x = 2$ .

Revisión del problema de concepto

Para resolver la ecuación $x^2-2x-3=0$ mediante un gráfico, use una calculadora para representar la función correspondiente $y=x^2-2x-3$ . Después, busque los valores en el gráfico donde $y=0$ , que serán las intersecciones con x.

Otro modo de considerar este problema es resolviendo el sistema:

$\begin{Bmatrix}y= x^2 -2x -3 \\\y= 0\end{Bmatrix}$

Usted desea saber dónde la parábola $y=x^2-2x-3$ corta a la línea $y=0$ .

Los puntos de intersección son (–1, 0) y (3, 0). Las soluciones de la ecuación original son $x=-1$ y $x=3$ .

Vocabulario

Ecuación cuadrática: Una ecuación cuadrática es una ecuación de segundo grado. La forma estándar de una ecuación cuadrática es $ax^2+bx+c=0$ donde $a\ne 0$ .

Función cuadrática: Una función cuadrática es una función que se puede escribir de la forma $f(x)=ax^2+bx+c$ con $a\ne 0$ . La representación de una función cuadrática es una parábola .

Ceros de una función cuadrática: Los ceros de una función cuadrática son la intersección de la función con $x$ . Estos son los valores de la variable “ $x$ ” que darán como resultado $y = 0$ .

Raíces de una función cuadrática: Las raíces de una función cuadrática también son las intersecciones de la función con $x$ . Estos son los valores de la variable “ $x$ ” que darán como resultado $y = 0$ .

Práctica guiada

Resuelva cada ecuación cuadrática con un gráfico.

1. $x^2-3x-10=0$

2. $2x^2-5x+2=0$

3. $2x^2-5x=3$

Respuestas:

1. Para comenzar, cree una tabla de valores para la función correspondiente $y=x^2-3x-10$ usando la calculadora gráfica:

De la tabla, las intersecciones con $x$ son (–2, 0) y (5, 0). Las intersecciones con $x$ son los valores de “ $x$ ” que producen $y = 0$ y por lo tanto son las soluciones de la ecuación.

Las soluciones de la ecuación son $x = -2$ y $x = 5$ .

2. Para comenzar, cree una tabla de valores para la función correspondiente $y=2x^2-5x+2$ usando la calculadora gráfica:

Presione

Presione las siguientes teclas para determinar la intersección con $x$ a la izquierda:

Presione las siguientes teclas para determinar la intersección con $x$ a la derecha:

Las intersecciones de la función con $x$ son (0.5, 0) y (2, 0). Las soluciones de la ecuación son, por lo tanto, $x = 0.5$ y $x = 2$ .

3. Primero vuelva a escribir la ecuación igualándola a cero: $2x^2-5x-3=0$ . Luego, cree una tabla de valores para la función correspondiente $y=2x^2-5x-3$ usando la calculadora gráfica:

Ahora bosqueje la representación de la función.

Los ceros de la función son (–0.5, 0) y (3, 0). Por lo tanto, las soluciones de la ecuación son $x = -0.5$ y $x = 3$ .

Práctica

Use la calculadora gráfica para resolver cada una de las siguientes ecuaciones cuadráticas mediante gráficos:

$2x^2+9x-18=0$
$3x^2+8x-3=0$
$-5x^2+13x+6=0$
$2x^2-11x+5=0$
$3x^2+8x-3=0$
$x^2-x-20=0$
$2x^2-7x+5=0$
$3x^2+7x=-2$
$2x^2-15=-x$
$3x^2-10x=8$
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