Completar el cuadrado

Aquí aprenderá a resolver una ecuación cuadrática completando el cuadrado.

¿Cómo puede usar las raíces cuadradas para resolver la ecuación cuadrática $(x-3)^2=15?$

La ecuación $x^2-6x-6=0$ es equivalente a $(x-3)^2=15$ . ¿Cómo puede convertir de forma algebraica $x^2-6x-6=0$ en $(x-3)^2=15$ para resolverla?

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Khan Academy Completing the Square (Completar el cuadrado) *Este video solo está disponible en inglés

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Guía

Recuerde que a algunas expresiones cuadráticas se las conoce como trinomios cuadrados perfectos porque se pueden representar como un binomio al cuadrado. Por ejemplo:

$x^2+10x+25$ se puede escribir como $(x+5)^2$
$x^2+6x+9$ se puede escribir como $(x+3)^2$
$x^2+2x+1$ se puede escribir como $(x+1)^2$

Usted puede resolver una expresión cuadrática como $(x+5)^2=0$ tomando la raíz cuadrada de ambos lados como se muestra aquí:

$(x+5)^2&=0\\\\sqrt{(x+5)^2}&=\pm\sqrt{0}\\\x+5=+0 \ & \text{OR} \ x+5=-0\\\x=-5$

También puede resolver una expresión cuadrática así aunque no sea igual a cero. Por ejemplo, puede resolver $(x+5)^2=9$ de manera similar:

$(x+5)^2&=9\\\\sqrt{(x+5)^2}&=\pm\sqrt{9}\\\x+5=+3 \ & \text{OR} \ x+5=-3\\\x=-2 \ & \ x=-8$

Completar el cuadrado es una técnica para resolver ecuaciones cuadráticas que convierte una ecuación dada en un trinomio cuadrado perfecto igualado a un número de modo que se pueda resolver usando el método anterior. Considere la ecuación:

$x^2-12x+20=0$

Paso 1: Mueva 20 al lado derecho de la ecuación.

$x^2-12x=-20$

Paso 2: Complete el cuadrado en el lado izquierdo de la ecuación. Es decir que debe estimar qué se puede agregar a la izquierda para convertir esa ecuación en un trinomio cuadrado perfecto. Un método para hacerlo es tomar el valor de “ $b$ ” (que es –12), dividirlo por 2 y elevar el resultado al cuadrado:

$& {\color{red}b}=-12 \\\& {\color{red}\frac{b}{2}} = \frac{-12}{2} = -6 \\\& {\color{red}\left(\frac{b}{2} \right)^2} = (-6)^2 = 36 \\\& x^2-12x+{\color{red}36}=-20+36$

Recuerde que lo que se agrega de un lado de la ecuación también se debe agregar del otro lado de la ecuación. Una vez que simplifica, obtiene:

$x^2-12x+36=16$

Paso 3: Vuelva a escribir el lado izquierdo de la ecuación como un binomio al cuadrado.

$(x-6)^2 = 16$

Paso 4: Halle la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación.

$\sqrt{(x-6)^2} & = \sqrt{16} \\\x-6 & = \pm 4$

Paso 5: Iguale el lado izquierdo de la ecuación a cada una de las raíces del lado derecho y resuelva cada ecuación lineal.

$x-6=4$ y $x-6=-4$

$x-6 {\color{red}+6} = 4 {\color{red}+6}$ y $x-6 {\color{red}+6} = -4 {\color{red}+6}$

$x={\color{red}10}$ o $x={\color{red}2}$

Las soluciones de la ecuación son:

$\boxed{x=10 \ or \ x=2}$

Ejemplo A

¿Qué necesitaría agregar a la siguiente expresión para convertirla en un trinomio cuadrado perfecto?

$x^2+16x$

Solución: Para determinar el valor a agregar, puede dividir $16$ por 2 y elevar el resultado al cuadrado.

$& {\color{red}b}=16 \\\& {\color{red}\frac{b}{2}} = \frac{16}{2} = 8 \\\& {\color{red}\left(\frac{b}{2} \right)^2} = (8)^2 = 64$

Ahora, la expresión es $x^2+16x \ {\color{red} + 64}$ , que se puede volver a escribir como $(x+8)^2$ .

Ejemplo B

Resuelva la siguiente ecuación cuadrática completando el cuadrado: $x^2+2x-35=0$

Solución:

Paso 1: Mueva -35 al lado derecho de la ecuación.

$x^2+2x=35$

Paso 2: Complete el cuadrado del lado izquierdo de la ecuación. El valor de $b$ es 2.

$& {\color{red}b}=2 \\\& {\color{red}\frac{b}{2}} = \frac{2}{2} = 1 \\\& {\color{red}\left(\frac{b}{2} \right)^2} = (1)^2 = 1 \\\& x^2+2x{\color{red}+1}=35+1$

$x^2+2x+1=36$

Paso 3: Vuelva a escribir el lado izquierdo de la ecuación como un binomio al cuadrado.

$(x+1)^2 = 36$

Paso 4: Halle la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación.

$\sqrt{(x+1)^2} & = \sqrt{36} \\\x+1 & = \pm 6$

Paso 5: Iguale el lado izquierdo de la ecuación a cada una de las raíces del lado derecho y resuelva cada ecuación lineal.

$x+1=6$ y $x+1=-6$

$x+1 {\color{red}-1} = 6{\color{red}-1}$ y $x+1{\color{red}-1} = -6{\color{red}-1}$

$x={\color{red}5}$ o $x={\color{red}-7}$

Las soluciones de la ecuación son:

$\boxed{x=5 \ or \ x=-7}$

Ejemplo C

Resuelva la siguiente ecuación cuadrática completando el cuadrado:

$\boxed{2x^2-5x+2=0}$

Solución: En esta ecuación cuadrática, el valor de “ $a$ ” no es uno. El primer paso será extraer el valor de $a$ .

Paso 1: Extraiga el “2”. Luego, como la ecuación está igualada a cero, divida ambos lados por 2 para obtener una ecuación más simple.

$2(x^2 - \frac{5}{2}x +1)&=0 \\\x^2 - \frac{5}{2}x +1=0$

Paso 2: Mueva 1 al lado derecho de la ecuación.

$x^2 - \frac{5}{2}x =-1$

Paso 3: Complete el cuadrado del lado izquierdo de la ecuación.

$& {\color{red}b}=-\frac{5}{2} \\\& {\color{red}\frac{b}{2}} = -\frac{5}{2} \div 2 = -\frac{5}{2} \left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{5}{4} \\\& {\color{red}\left(\frac{b}{2}\right)^2} = \left(-\frac{5}{4}\right)^2 = \frac{25}{16} \\\& x^2-\frac{5}{2}x \ {\color{red} + \frac{25}{16}} = -1 {\color{red} + \frac{25}{16}}$

$x^2 - \frac{5}{2}x \ + \frac{25}{16} = \frac{9}{16}$

Paso 4: Vuelva a escribir el trinomio cuadrado perfecto del lado izquierdo de la ecuación como un binomio al cuadrado.

$\left(x-\frac{5}{4}\right)^2 = \frac{9}{16}$

Paso 4: Halle la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación.

$\sqrt{\left(x -\frac{5}{4}\right)^2} & = \sqrt{\frac{9}{16}} \\\x-\frac{5}{4} &= \pm \frac{3}{4}$

Paso 5: Iguale el lado izquierdo de la ecuación a cada una de las raíces del lado derecho y resuelva cada ecuación lineal.

$x-\frac{5}{4} = \frac{3}{4}$ y $x-\frac{5}{4} = -\frac{3}{4}$

$x-\frac{5}{4} \ {\color{red}+ \frac{5}{4}} = \frac{3}{4} \ {\color{red}+ \frac{5}{4}}$ y $x- \frac{5}{4} \ {\color{red}+ \frac{5}{4}} = -\frac{3}{4} \ {\color{red}+ \frac{5}{4}}$

$x=\frac{8}{4}$ o $x=\frac{2}{4}$

$x=2$ y $x=\frac{1}{2}$

Las soluciones de la ecuación son:

$\boxed{x=2 \ or \ x=\frac{1}{2}}$

Revisión del problema de concepto

Para resolver $(x-3)^2=15$ , tome la raíz cuadrada de ambos lados. Obtendrá $x-3=\sqrt {15}$ o $x-3=-\sqrt{15}$ . Por lo tanto, las dos soluciones son $x=3+\sqrt{15},3-\sqrt{15}$ .

Puede convertir $x^2-6x-6=0$ en $(x-3)^2=15$ completando el cuadrado.

Vocabulario

Completar el cuadrado: Completar el cuadrado es un método que se usa para resolver ecuaciones cuadráticas. Este método utiliza el principio de completar el cuadrado de una expresión algebraica para convertirla en un trinomio cuadrado perfecto.

Trinomio cuadrado perfecto: Un trinomio cuadrado perfecto es un trinomio de la forma $(ax)^2 + 2abx + b^2$ donde el primer y el último término son cuadrados perfectos y el término del medio es dos veces el producto de la raíz cuadrada del primer término por la raíz cuadrada del tercer término.

Raíces de una función cuadrática: Las raíces de una función cuadrática son las intersecciones de la función con $x$ . Estos son los valores de la variable “ $x$ ” que darán como resultado $y = 0$ .

Ceros de una función cuadrática: Los ceros de una función cuadrática también son las intersecciones de la función con $x$ . Estos son los valores de la variable “ $x$ ” que darán como resultado $y = 0$ .

Práctica guiada

1. ¿Qué necesitaría agregar a la siguiente expresión para convertirla en un trinomio cuadrado perfecto?

$x^2-7x$

2. Resuelva la siguiente ecuación cuadrática completando el cuadrado.

$x^2-4x+1=0$

3. Resuelva la siguiente ecuación cuadrática completando el cuadrado.

$7x^2-2x-2=0$

Respuestas:

1. Divida b por $\frac{1}{2}$ y eleve el resultado al cuadrado.

$(\frac{-7}{2})^2 = \frac{49}{4}$

2. $x^2-4x+1=0$

$x^2-4x&=-1 \\\x^2-4x{\color{red}+4}&=-1{\color{red}+4} \\\x^2-4x+4&=3 \\\(x-2)^2&=3 \\\\sqrt{(x-2)^2} &= \sqrt{3} \\\x-2&= \pm \sqrt{3}$

Las soluciones de la ecuación son:

$\boxed{x=2+\sqrt{3} \ or \ x=2-\sqrt{3}}$

$\boxed{x=2 \pm \sqrt{3}}$

3. $7x^2-2x-2=0$

$7(x^2-\frac{2}{7}x-\frac{2}{7})&=0 \\\x^2-\frac{2}{7}x-\frac{2}{7}&=0 \\\x^2-\frac{2}{7}x&=\frac{2}{7} \\\x^2-\frac{2}{7}x+\frac{1}{49}&=\frac{2}{7}+\frac{1}{49} \\\\left(x-\frac{1}{7}\right)^2&=\frac{15}{49}$

Las soluciones exactas de la ecuación son:

$\boxed{x=\frac{\sqrt{15}+1}{7} \ or \ x=\frac{-\sqrt{15}+1}{7}}$

Las soluciones aproximadas (redondeadas) son:

$\boxed{x=0.70 \ or \ x=-0.41}$

Práctica

Defina el valor de $m$ que hace que cada trinomio sea un cuadrado perfecto:

$x^2-10x+m$
$x^2-22x+m$
$x^2+\frac{1}{2}x+m$
$x^2+9x+m$
$x^2+x+m$

Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones cuadráticas completando el cuadrado:

$x^2+18x=85$
$x^2-\frac{2}{3}x=1$
$x^2-7x=3$
$x^2+\frac{1}{5}x=2$
$x^2-\frac{2}{3}x=5$

Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones cuadráticas completando el cuadrado:

$x^2-2x-8=0$
$2x^2+8x+5=0$
$3x^2-6x-2=0$
$2x^2-3x-5=0$
$3x^2+4x-2=0$

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