La fórmula cuadrática

Aquí aprenderá acerca de la fórmula cuadrática y cómo utilizarla.

Resuelva la siguiente ecuación cuadrática de forma algebraica:

$3x^2-5x+1=0$

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James Sousa: Using the Quadratic Formula (Uso de la fórmula cuadrática) *Este video solo está disponible en inglés

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James Sousa: Proof of the Quadratic Formula (Demostración de la fórmula cuadrática) *Este video solo está disponible en inglés

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Guía

Puede usar el método de completar el cuadrado para resolver la ecuación cuadrática general $ax^2+bx+c=0$ . El resultado será una fórmula que puede usar para resolver cualquier ecuación cuadrática dados los valores de $a, b,$ y $c$ . Lo siguiente es una derivación de la fórmula cuadrática:

Paso 1: Divida la ecuación general por $a$ . Luego, mueva el tercer término del lado izquierdo a la derecha de la ecuación.

$& ax^2+bx+c=0\\\& x^2+\frac{b}{{\color{red}a}}x+\frac{c}{{\color{red}a}}=0\\\& x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$

Paso 2: Complete el cuadrado. Observe que el valor de “ $b$ ” en este caso en realidad es $\frac{b}{a}$ .

$& x^2+\frac{b}{a}x{\color{red}+\frac{b^2}{4a^2}}={\color{red}\frac{b^2}{4a^2}}-\frac{c}{a}$

Paso 3: Simplifique.

$& x^2+\frac{b}{a}x{\color{red}+\frac{b^2}{4a^2}}={\color{red}\frac{b^2}{4a^2}}-\frac{c}{a}\left(\frac{4a}{4a}\right)\\\& x^2+\frac{b}{a}x{\color{red}+\frac{b^2}{4a^2}}={\color{red}\frac{b^2}{4a^2}}-\frac{4ac}{4a^2}\\\& x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$

Paso 4: Vuelva a escribir el lado izquierdo de la ecuación como un binomio al cuadrado. Luego tome la raíz cuadrada de ambos lados y halle para $x$ .

$&\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}\\\&\sqrt{\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2}=\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}\\\& x+\frac{b}{2a}=\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\\& x=-\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\\& x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Esto se conoce como la fórmula cuadrática. Puede usar la fórmula cuadrática para resolver CUALQUIER ecuación cuadrática. Todo lo que debe conocer son los valores de $a, b,$ y $c$ . Tenga en cuenta que mientras el método de factorización para resolver una ecuación cuadrática solo funciona a veces, la fórmula cuadrática funciona SIEMPRE. Debe memorizar la fórmula cuadrática porque la usará en álgebra y en cursos posteriores de matemática.

FÓRMULA CUADRÁTICA: $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Ejemplo A

Halle las soluciones exactas de la siguiente ecuación cuadrática usando la fórmula cuadrática:

$5x^2+2x-2=0$

Solución: Para esta ecuación cuadrática, $a=5,b=2,c=-2$ . Reemplace estos valores en la fórmula cuadrática y simplifique.

$& x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\\& x=\frac{-({\color{red}2}) \pm \sqrt{({\color{red}2})^2-4({\color{red}5})({\color{red}-2})}}{2({\color{red}5})} \\\& x=\frac{-2 \pm \sqrt{4+40}}{10}\\\& x=\frac{-2 \pm \sqrt{44}}{10} \\\& x =\frac{-2 \pm 2 \sqrt{11}}{10}\\\& x=\frac{-1 \pm \sqrt{11}}{5}$

Las soluciones exactas de la ecuación cuadrática son $\frac{-1 + \sqrt{11}}{5} \ or \ \frac{-1-\sqrt{11}}{5}$ .

Ejemplo B

Use la fórmula cuadrática para determinar las soluciones aproximadas de la ecuación:

$2x^2-3x=3$

Solución: Comience por volver a escribir la ecuación en forma estándar igualándola a cero. $2x^2-3x=3$ se convierte en $2x^2-3x-3=0$ . Para esta ecuación cuadrática, $a=2, b=-3, c=-3$ . Reemplace estos valores en la fórmula cuadrática y simplifique.

$& m=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\\& m=\frac{-({\color{red}-3}) \pm \sqrt{({\color{red}-3})^2-4({\color{red}2})({\color{red}-3})}}{2({\color{red}2})}\\\& x=\frac{3 \pm \sqrt{9+24}}{4}\\\& x=\frac{3 \pm \sqrt{33}}{4} \quad \sqrt{33}=5.74\\\& x=\frac{3 \pm 5.74}{4} \\\& x=\frac{3+5.74}{4} \ or \ x=\frac{3-5.74}{4}\\\& x=\frac{8.74}{4} \ or \ x=\frac{-2.74}{4}\\\& x=2.2 \ or \ x=-0.7$

Las soluciones aproximadas de la ecuación cuadrática al décimo más cercano son $x=2.2$ o $x=-0.7$ .

Ejemplo C

Resuelva la siguiente ecuación usando la fórmula cuadrática:

$\boxed{\frac{2}{y}-\frac{3}{y+1}=1}$

Solución: Aunque esto no parece una ecuación cuadrática (en realidad es una ecuación racional porque contiene expresiones racionales), puede volver a escribirla como una ecuación cuadrática multiplicando por $(y)(y+1)$ para deshacerse de las fracciones. Observe que $y$ y $y+1$ son los denominadores que desea eliminar. Por eso es que multiplica por $(y)(y+1)$ . Luego de multiplicar, simplifique y escriba la ecuación en forma cuadrática estándar igualada a 0.

$&\frac{2}{y}-\frac{3}{y+1}=1\\\&\frac{2}{y}(y)(y+1)-\frac{3}{y+1}(y)(y+1)=1(y)(y+1)\\\&\frac{2}{\cancel{y}}(\cancel{y})(y+1)-\frac{3}{\cancel{y+1}}(y)(\cancel{y+1})=1(y)(y+1)\\\&2(y+1)-3(y)=1(y^2+y) \\\&2y+2-3y=y^2+y\\\&2-y=y^2+y\\\& y^2+2y-2=0$

Para esta ecuación cuadrática, $a=1,b=2,c=-2$ . Reemplace estos valores en la fórmula cuadrática y simplifique.

$& y=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\\& y=\frac{-({\color{red}2}) \pm \sqrt{({\color{red}2})^2-4({\color{red}1})({\color{red}-2})}}{2({\color{red}1})} \\\& y=\frac{-2 \pm \sqrt{4+8}}{2}\\\& y=\frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2} \\\& y=\frac{-2 \pm 2 \sqrt{3}}{2} \\\& y=-1 \pm \sqrt{3}$

Las soluciones exactas de la ecuación son $-1+\sqrt{3}$ o $-1-\sqrt{3}$ . Observe que ninguna de estas soluciones hará que la ecuación original tenga un cero en el denominador, de modo que ambas son válidas.

Revisión del problema de concepto

Para resolver la ecuación $3x^2-5x+1=0$ de forma algebraica, puede usar la fórmula cuadrática. Para esta ecuación cuadrática, $a=3, b=-5, c=1$ . Reemplace estos valores en la fórmula cuadrática y simplifique.

$& x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\\& x=\frac{-({\color{red}-5}) \pm \sqrt{({\color{red}-5})^2-4({\color{red}3})({\color{red}1})}}{2({\color{red}3})} \\\& x=\frac{5 \pm \sqrt{25-12}}{6}\\\& x=\frac{5 \pm \sqrt{13}}{6}$

Las soluciones son $x=\frac{5 \pm \sqrt{13}}{6}$ .

Vocabulario

Fórmula cuadrática: La fórmula cuadrática es la fórmula $\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ que se usa para determinar las soluciones de una ecuación cuadrática.

Práctica guiada

1. Para la siguiente ecuación, vuelva a escribirla como una ecuación cuadrática y defina los valores de $a, b$ y $c$ :

$\frac{2}{x-1}+\frac{3}{x+2}=1$

2. Resuelva la siguiente ecuación cuadrática usando la fórmula cuadrática:

$6x^2-8x=0$

3. Halle las soluciones aproximadas de la siguiente ecuación:

$\frac{x+3}{2x-1}=\frac{2x+3}{x+5}$

Respuestas:

1. Multiplique por $(x-1)(x+2)$ para quitar las fracciones.

$&\frac{2}{x-1}+\frac{3}{x+2}=1 \\\&\frac{2}{x-1}(x-1)(x+2)+\frac{3}{x+2}(x-1)(x+2)=1(x-1)(x+2)\\\&\frac{2}{\cancel{x-1}}(\cancel{x-1})(x+2)+\frac{3}{\cancel{x+2}}(x-1)({\cancel{x+2}})=1(x^2+2x-1x-2)\\\&2(x+2)+3(x-1)=1(x^2+x-2) \\\&2x+4+3x-3=x^2+x-2\\\& x^2+x-2=5x+1 \\\& x^2-4x-3=0$

Para esta ecuación, $a=1, b=-4, c=-3$ .

2. Esta ecuación no tiene un término “ $c$ ” . El valor de “ $c$ ” es 0. Para esta ecuación, $a=6, b=-8, c=0$ .

$x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$x=\frac{-({\color{red}-8}) \pm \sqrt{({\color{red}-8})^2-4({\color{red}6})({\color{red}0})}}{2({\color{red}6})}$

$& x=\frac{8 \pm \sqrt{64-0}}{12}\\\& x=\frac{8 \pm \sqrt{64}}{12} \\\& x=\frac{-8 \pm 8}{12}\\\& x=\frac{8+8}{12} \ or \ x=\frac{8-8}{12} \\\&\boxed{x=\frac{4}{3} \ or \ x=0}$

3. Multiplique por $(2x-1)(x+5)$ para quitar las fracciones.

$&\frac{x+3}{2x-1}=\frac{2x+3}{x+5}\\\&\frac{x+3}{2x-1}(2x-1)(x+5)=\frac{2x+3}{x+5}(2x-1)(x+5)\\\&\frac{x+3}{\cancel{2x-1}}(\cancel{2x-1})(x+5)=\frac{2x+3}{\cancel{x+5}}(2x-1)(\cancel{x+5})\\\&(x+3)(x+5)=(2x+3)(2x-1)$

$x^2+5x+3x+15&=4x^2-2x+6x-3\\\x^2+8x+15&=4x^2+4x-3\\\&-3x^2+4x+18=0$

Para esta ecuación, $a=-3,b=4,c=18$ .

$x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$x=\frac{-({\color{red}4}) \pm \sqrt{({\color{red}4})^2-4({\color{red}-3})({\color{red}18})}}{2({\color{red}-3})}$

$& x=\frac{-4 \pm \sqrt{16+216}}{-6}\\\& x=\frac{-4 \pm \sqrt{232}}{-6} \\\& x=3.21 \ and \ x=-1.87$

Las soluciones de la ecuación cuadrática llevadas al décimo más cercano son $x=3.2$ o $x=-1.9$ .

Práctica

Defina el valor de $a, b$ y $c$ para cada una de las siguientes ecuaciones cuadráticas.

$2x^2+7x-1=0$
$3x^2+2x=7$
$9x^2-7=4x$
$2x^2-7=0$
$4-2x^2=11x$

Defina las raíces exactas de las siguientes ecuaciones cuadráticas usando la fórmula cuadrática.

$2x^2=8x-7$
$6y=2-y^2$
$1=8x+3x^2$
$2(n-2)(n+1)-(n+3)=0$
$\frac{2e}{e+1}-\frac{3}{e-1}=\frac{4}{e^2-1}$
$x^2-2x-5=0$
$\frac{m}{4}-\frac{m^2}{2}=-1$
$\frac{3}{y}-\frac{4}{y+2}=2$
$\frac{1}{2}x^2-\frac{x}{4}-1=0$
$3x^2+8x=1$

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