Aplicaciones de funciones cuadráticas

Aquí considerará la aplicación de funciones cuadráticas en la vida real.

Un cohete de juguete se lanzó al aire desde el techo de un granero. Su altura $(h)$ sobre el suelo en yardas después de $t$ segundos está dada por la función $h(t)=-5t^2+10t+20$ .

a) ¿Qué altura máxima alcanzó el cohete?

b) ¿Cuánto tiempo estuvo el cohete en el aire antes de llegar al suelo?

c) ¿En qué momento o momentos estará el cohete a una altura de 22 yardas?

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James Sousa: Quadratic Function Application- Horizontal Distance and Vertical Height (Aplicación de la función cuadrática: distancia horizontal y altura vertical) *Este video solo está disponible en inglés

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James Sousa: Quadratic Function Application- Time and Vertical Height (Aplicación de la función cuadrática: tiempo y altura vertical) *Este video solo está disponible en inglés

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Guía

Hay muchas situaciones de la vida real que tratan con expresiones cuadráticas y parábolas. Arrojar una pelota, disparar un cañón, saltar de un trampolín y golpear una pelota de golf, son todos ejemplos de situaciones que se pueden representar con funciones cuadráticas.

En muchas de estas situaciones, deseará conocer el punto más alto o más bajo de la parábola, que se conoce como el vértice. Por ejemplo, considere que cuando arroja una pelota de fútbol, el recorrido que hace en el aire es una parábola. Preguntas naturales a formular son:

“¿Cuándo alcanza mayor altura la pelota de fútbol?”
“¿Cuán alto llega la pelota de fútbol?”

Si conoce la ecuación para la función que representa la situación, puede hallar el vértice. Si la función es $f(x)=ax^2+bx+c$ , la coordenada x del vértice será $-\frac{b}{2a}$ . La coordenada y del vértice se puede hallar reemplazando la coordenada x en la función. En el caso de la pelota de fútbol:

La coordenada x del vértice indicará el tiempo cuando la pelota de fútbol está a mayor altura.
La coordenada y indicará la altura máxima.

Un modo de entender de dónde se origina $-\frac{b}{2a}$ es considerar dónde está el vértice en una parábola.

Debido a la simetría de las parábolas, la coordenada x del vértice está directamente entre las dos intersecciones con x. Las dos intersecciones con x son, según la fórmula cuadrática:

$x=\frac{-b}{2a} + \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$x=\frac{-b}{2a} - \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Entonces, $x=-\frac{b}{2a}$ está en el medio. Una intersección con x está $\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ unidades hacia la derecha y la otra intersección con x está $\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ unidades hacia la izquierda.

Ejemplo A

Un cohete de juguete se lanzó al aire desde el techo de un granero. Su altura $(h)$ sobre el suelo en yardas después de $t$ segundos está dada por la función $h(t)=-5t^2+10t+20$ .

a) ¿Cuál era la altura inicial del cohete?

b) ¿Cuándo alcanzó mayor altura el cohete?

Solución: Bosqueje una representación de la función. Puede utilizar una calculadora gráfica para producir el gráfico.

a) La altura inicial del cohete es la altura desde la que se lanzó. El tiempo es cero.

$& h(t)=-5t^2+10t+20\\\& h(t)=-5(0)^2+10(0)+20\\\&\boxed{h(t)=20 \ yd}$

La altura inicial del cohete de juguete es 20 yardas. Esta es la intersección del gráfico con $y$ . La intersección con $y$ de una función cuadrática escrita en forma general es el valor de “ $c$ ’.

b) El momento en que el cohete alcanzó mayor altura es la coordenada $x$ del vértice.

$& t=-\frac{b}{2a}\\\& t=-\frac{10}{2(-5)}\\\&\boxed{t=1 \ sec}$

El cohete de juguete necesita 1 segundo para alcanzar su altura máxima.

Ejemplo B

La suma de un número y su cuadrado es 272. Halle el número.

Solución: En este caso, $n$ representa al número. Escriba una ecuación para representar el problema.

$n^2+n=272$

Puede resolver esta ecuación utilizando algunos métodos diferentes. Aquí, resuelva usando completar el cuadrado.

$n^2+n{\color{red}+\frac{1}{4}}=272{\color{red}+\frac{1}{4}}$

$& n^2+n+\frac{1}{4}=\frac{1089}{4}$

$\left(n+\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1089}{4}$

$&\sqrt{\left(n+\frac{1}{2}\right)^2}=\sqrt{\frac{1089}{4}} \\\& n+\frac{1}{2}=\pm \frac{33}{2}$

$& n=\frac{32}{2} \ or \ n=-\frac{34}{2}\\\& n=16 \ or \ n=-17$

Éstas son ambas soluciones del problema. En el problema no figuran restricciones acerca de la solución.

Ejemplo C

El producto de dos números enteros impares positivos consecutivos es 195. Halle los números enteros.

Solución: En este caso, $n$ representa al primer número entero impar positivo. Además, $n+2$ representa al segundo número entero impar positivo. Escriba una ecuación para representar el problema.

$& n(n+2)=195\\\& n^2+2n=195$

Puede resolver esta ecuación con algunos métodos diferentes. Aquí, use la fórmula cuadrática.

$n^2+2n-195&=0$

$n=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$n=\frac{-({\color{red}2}) \pm \sqrt{({\color{red}2})^2 -4({\color{red}1}) ({\color{red}-195})}}{2({\color{red}1})}$

$& n=\frac{-2 \pm \sqrt{784}}{2} \\\& n=\frac{-2 \pm 28}{2}$

$n=\frac{-2+28}{2} \ or \ n=\frac{-2-28}{2}$

$& n=13 \ or \ n=-15$

En este problema se presentó una restricción sobre la solución. La solución debe ser un número entero positivo impar. Por lo tanto, $13$ es la solución que puede usar. Los dos números enteros impares positivos son $13$ y $15$ .

Revisión del problema de concepto

a) El cohete alcanzó la altura máxima en 1 segundo, como vio en el Ejemplo A.

$& h(t)=-5t^2+10t+20\\\& h(t)=-5(1)^2+10(1)+20\\\&\boxed{h(t)=25 \ yd}$

La altura máxima que alcanzó el cohete fue 25 yardas.

b) Cuando el cohete llegue al suelo, la altura será cero.

$h(t)&=-5t^2+10t+20\\\0&=-5t^2+10t+20$

Use la fórmula cuadrática para hallar “ $t$ ’. Considerando que $a=-5, b=10, c=20$ .

$t=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$t=\frac{-({\color{red}10}) \pm \sqrt{({\color{red}10})^2-4({\color{red}-5})({\color{red}20})}}{2({\color{red}-5})}$

$& t=\frac{-10 \pm 10\sqrt{5}}{-10}\\\& t=1 \pm \sqrt{5}$

$& t=1+\sqrt{5} \ or \ t=1-\sqrt{5}$

$& t=3.24 \ s \ or \ t=-1.24 \ s$

$\boxed{t=3.24 \ s}$ Acepte esta solución

$\boxed{t=-1.24 \ s}$ Rechace esta solución. El tiempo no puede ser una cantidad negativa.

El cohete de juguete estuvo en el aire aproximadamente 3.24 segundos.

c) El cohete alcanzó una altura máxima de 25 yardas en un tiempo de 1 segundo. El cohete debe estar a una altura de 22 yardas antes y después de 1 segundo. Recuerde el viejo dicho: “Todo lo que sube, baja”.

Use la fórmula cuadrática para determinar estos tiempos.

$h(t)&=-5t^2+10t+20\\\22&=-5t^2+10t+20$

$0&=-5t^2+10t-2$

$t=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$t=\frac{-({\color{red}10}) \pm \sqrt{({\color{red}10})^2-4({\color{red}-5})({\color{red}-2})}}{2({\color{red}-5})}$

$& t=\frac{5 +\sqrt{15}}{5} \ or \ t=\frac{5-\sqrt{15}}{5}$

$& t=1.77 \ s \ or \ t=0.23 \ s$

$\boxed{t=1.77 \ s}$ Acepte esta solución

$\boxed{t=0.23 \ s}$ Acepte esta solución.

El cohete alcanzó una altura de 22 yardas a los 0.23 segundos en la subida y nuevamente en el segundo 1.77 en la bajada.

Vocabulario

Ecuación cuadrática: Una ecuación cuadrática es una ecuación de segundo grado. La forma estándar de una ecuación cuadrática es $ax^2+bx+c=0$ donde $a\ne 0$ .

Función cuadrática: Una función cuadrática es una función que se puede escribir de la forma $f(x)=ax^2+bx+c$ con $a\ne 0$ . La representación de una función cuadrática es una parábola .

Completar el cuadrado: Completar el cuadrado es un método que se usa para resolver ecuaciones cuadráticas. Este método utiliza el principio de completar el cuadrado de una expresión algebraica para convertirla en un trinomio cuadrado perfecto.

Fórmula cuadrática: La fórmula cuadrática es la fórmula $\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ que se usa para determinar las soluciones de una ecuación cuadrática.

Práctica guiada

1. Una pieza rectangular de cartón que mide 40 pulgadas por 30 pulgadas será convertida en una caja abierta con una base (fondo) de $900 \ in^2$ cortando cuadrados iguales de las cuatro esquinas y luego plegando los lados. Halle, redondeando a la decena de pulgada más cercana, la longitud del lado del cuadrado que se debe recortar de cada esquina.

2. El parque local tiene un lecho de flores rectangular que mide 10 pies por 15 pies. El cuidador piensa duplicar el área agregando una franja de ancho uniforme alrededor del lecho de flores. Determine el ancho de la franja.

3. $h(t)=-4.9t^2+8t+5$ representa la altura de Jeremiah $(h)$ en metros por encima del agua $t$ segundos después de saltar del trampolín.

i) ¿Cuál es la altura inicial del trampolín?

ii) ¿En qué momento Jeremiah alcanzó mayor altura?

iii) ¿Cuál fue la mayor altura que alcanzó Jeremiah?

iv) ¿Cuánto tiempo estuvo Jeremiah en el aire?

Respuestas:

1. Bosqueje un diagrama para representar el problema.

La variable $x$ representará la longitud del lado del cuadrado.

$L=40-2x$

$W=30-2x$

El área de un rectángulo es el producto del largo por el ancho. El área de la base del rectángulo debe ser $900 \ in^ 2$ , una vez que se han quitado los cuadrados.

$L \cdot W&=Area\\\(40-2x)(30-2x)&=900$

$1200-80x-60x+4x^2&=900\\\4x^2-140x+1200&=900$

Ahora puede resolver la ecuación usando la fórmula cuadrática.

$x&=32.7 \ or \ x=2.3$

La solución de 32.7 se debe rechazar ya que haría que la longitud y el ancho del rectángulo sean valores negativos. La longitud del lado del cuadrado que se recortó del cartón fue 2.3 pulgadas.

2. Bosqueje un diagrama para representar el problema.

La variable $x$ representará la longitud del lado de la franja uniforme.

$L&=15+2x \qquad \quad L \cdot W=Area\\\W&=10+2x \qquad (15)(10)=150 \ ft^2$

El área de un rectángulo es el producto del largo por el ancho. El área del lecho de flores original es de $150 \ ft^2$ . El nuevo lecho de flores debe tener el doble de esta área, que es $300 \ ft^2$ .

$L \cdot W&=Area\\\(15+2x)(10+2x)&=300$

$150+30x+20x+4x^2&=300\\\4x^2+50x+150&=300$

Ahora puede resolver la ecuación usando la fórmula cuadrática.

$x&=2.5 \ ft \ and \ x=-15 \ ft$

$\boxed{x=2.5 \ ft}$ Acepte esta solución.

$\boxed{x=-15 \ ft}$ Rechace esta solución. El ancho de la franja no puede ser un valor negativo.

El ancho de la franja que se agregará al lecho de flores es de 2.5 pies.

3. Bosqueje una representación de la función.

i) La altura inicial del trampolín es cuando el tiempo es cero.

$& h(t)=-4.9 t^2+8t+5\\\& h(t)=-4.9(0)^2+8(0)+5\\\& h(t)=0=0+5\\\&\boxed{h(t)=5 \ m}$

La altura inicial del trampolín es 5 m.

ii) El momento en que Jeremiah alcanzó la altura máxima es la coordenada $x$ del vértice.

$& t=-\frac{b}{2a}\\\& a=-4.9\\\& b=8\\\& t=-\frac{8}{2(-4.9)}\\\& t=\frac{-8}{-9.8}\\\&\boxed{t=0.82 \ sec}$

A Jeremiah le llevó 0.82 segundos alcanzar la altura máxima.

iii) Jeremiah alcanzó la altura máxima a los 0.82 segundos.

$& h(t)=-4.9t^2+8t+5\\\& h(t)=-4.9(0.82)^2+8(0.82)+5\\\& h(t)=-3.29+6.56+5\\\&\boxed{h(t)=8.27 \ m}$

La mayor altura que alcanzó Jeremiah fue 8.27 m.

iv) Cuando Jeremiah toque el agua, su altura será cero.

$h(t)&=-4.9t^2+8t+5\\\0&=-4.9t^2+8t+5$

Use la fórmula cuadrática para hallar “ $t$ ’.

$t&=-0.48 \ s \ or \ t=2.12 \ s$

$\boxed{t=2.12 \ s}$ Acepte esta solución

$\boxed{t=-0.48 \ s}$ Rechace esta solución. El tiempo no puede ser una cantidad negativa.

Jeremiah estuvo en el aire aproximadamente 2.12 segundos.

Práctica

Resuelva los siguientes problemas usando su conocimiento de funciones cuadráticas.

El producto de dos números enteros pares consecutivos es 224. Halle los números enteros.
La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 26 pulgadas. La suma de los catetos es 34 pulgadas. Halle la longitud de los catetos del triángulo.
El producto de dos números enteros consecutivos es 812. ¿Cuáles son los números enteros?
El ancho de un rectángulo es 3 pulgadas mayor que el largo. El área del rectángulo mide 674.7904 pulgadas cuadradas. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo?
El producto de dos números enteros impares consecutivos es 3135. ¿Cuáles son los números enteros?
Josie desea embellecer su jardín rectangular trasero plantando arbustos y flores a lo largo de un borde con un ancho uniforme como se muestra en el diagrama. Determine el ancho del borde si las dimensiones del cerco externo son 28 yardas por 25 yardas y el jardín restante debe ser $\frac{3}{4}$ del tamaño original.
El año pasado, Gregory corrió la carrera de 1800 yardas pero sabe que si corriera 0.5 yardas por segundo más rápido, mejoraría su tiempo 30 segundos. ¿Cuál fue el tiempo de Gregory cuando corrió la carrera el año pasado?

Durante un torneo de béisbol de la escuela secundaria, Lexie batea la pelota y ésta permanece en el aire durante 4.42 segundos. La función describe la altura en el tiempo, donde $h$ es la altura en yardas y $t$ es el tiempo en segundos desde el instante en que se batea la pelota.

$h = -5t^2 + 22t + 0.5$

Determine de forma algebraica la altura máxima que alcanza la pelota.
¿Cuándo alcanzará mayor altura la pelota?
¿Por cuánto tiempo la pelota estará a una altura de menos de 20 metros mientras está en el aire?

Se arroja al agua una roca desde un acantilado de 75 metros de altura. La altura de la roca en relación con el acantilado después de $t$ segundos está determinada por $h(t)=-5t^2+20t$ .

¿Dónde estará la roca después de cinco segundos?
¿Cuánto tiempo transcurrió antes de que la roca alcance la altura máxima?
¿Cuándo llegará la roca al agua?

Usted salta del extremo de una pista de salto de esquí. Su altura en metros en relación con la altura de la pista de salto después de $t$ segundos está determinada por $h(t)=-5t^2+12t$ .

¿A qué altura estará usted después de 2 segundos? En ese punto, ¿estará subiendo o bajando?
Si permanece 6.1 segundos en el aire, ¿a qué distancia por debajo del extremo de la pista de salto aterriza? (¿Cuál es la distancia vertical?)

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