Raíces para determinar una función cuadrática

Aquí aprenderá a hallar la ecuación de una función cuadrática dadas sus raíces.

¿Qué función cuadrática tiene raíces $2$ y $7$ ? ¿Hay más de una función que tenga estas raíces?

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James Sousa: Find a Quadratic Function with Fractional Real Zeros (Hallar una función cuadrática con ceros reales fraccionarios) *Este video solo está disponible en inglés

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Guía

Si $x=2$ y $x=5$ son raíces de una función cuadrática, entonces $(x - 2)$ y $(x-5)$ deben haber sido factores de la ecuación cuadrática. Por lo tanto, una función cuadrática con raíces $2$ y $5$ es:

$y&=(x-2)(x-5)\\\y&=x^2-7x+10$

Observe que hay muchas otras funciones con raíces de $2$ y $5$ . Todas estas funciones serán múltiplos de la función anterior. La siguiente función también satisfaría esas raíces:

$y&=2(x-2)(x-5)\\\y&=2x^2-14x+20$

Si no conoce las soluciones de una ecuación cuadrática pero conoce la suma y el producto de las soluciones, puede hallar la ecuación. Si $r_1$ y $r_2$ son las soluciones de la ecuación cuadrática $ax^2+bx+c=0$ , entonces

${\color{red}r_1 + r_2 = -\frac{b}{a} \ and \ r_1 \times r_2 = \frac{c}{a}}$ .

La expresión cuadrática se puede volver a escribir como:

${\color{red}x^2 - \text{(sum of the solutions)}x + \text{(product of the solutions)}=0}$

${\color{red}x^2 - \left(-\frac{b}{a}\right)x + \left(\frac{c}{a}\right)=0}$

¿De dónde provienen esta suma y estos productos? Considere la suma de las dos soluciones obtenidas de la fórmula cuadrática:

$& r_1 + r_2 = \left(\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right) + \left(\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right) \\\& r_1 + r_2 = -\frac{b}{2a} + \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} -\frac{b}{2a} - \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\\& r_1 + r_2 = -\frac{b}{2a} + \cancel{\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}} -\frac{b}{2a} - \cancel{\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}} \\\& r_1 + r_2 = -\frac{b}{2a} -\frac{b}{2a} \\\& r_1 + r_2 = -\frac{2b}{2a} \\\& \boxed{r_1 + r_2 = -\frac{b}{a}}$

Ahora considere el producto de las dos soluciones obtenidas de la fórmula cuadrática:

$& r_1 \times r_2 = \left(\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right) \times \left(\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right) \\\& r_1 \times r_2 = \left(-\frac{b}{2a} + \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right) \times \left(-\frac{b}{2a} - \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)$

$& r_1 \times r_2 = \frac{b^2}{4a^2} - \frac{b^2-4ac}{4a^2} \\\& r_1 \times r_2 = \frac{b^2-b^2 {\color{red}+}4ac}{4a^2} \\\& r_1 \times r_2 = \frac{4ac}{4a^2} \\\& \boxed{r_1 \times r_2 = \frac{c}{a}}$

Puede usar estas ideas para determinar una ecuación cuadrática con las soluciones $2+\sqrt{3}$ y $2-\sqrt{3}$ .

La suma de las soluciones es: $2+\sqrt{3}+ 2-\sqrt{3}=4$ .
El producto de las soluciones: $(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=4-3=1$ .

Por lo tanto, la ecuación es:

${\color{red}x^2 - \text{(sum of the solutions)}x + \text{(product of the solutions)}=0}$

$x^2-4x+1=0$

Ejemplo A

Sin resolver, determine la suma y el producto de las soluciones para las siguientes ecuaciones cuadráticas:

i) $x^2+3x+2=0$

ii) $3m^2+4m-3=0$

Solución: Recuerde que la suma de las soluciones es $-\frac{b}{a}$ y el producto de las soluciones es $\frac{c}{a}$ .

i) Para $x^2+3x+2=0$ ,? $a=1, b=3, c=2$ ? . Entonces, la suma de las soluciones es: $-\frac{3}{1}=-3$ . El producto de las soluciones es $\frac{2}{1}=2$ .

ii) Para $3m^2+4m-3=0$ ,? $a=3, b=4, c=-3$ ? . Entonces, la suma de las soluciones es: $-\frac{4}{3}$ . El producto de las soluciones es $\frac{-3}{3}=-1$ .

Ejemplo B

Halle una función cuadrática con las raíces: $3 \pm \sqrt{5}$ .

Solución: Las soluciones de la ecuación cuadrática son:

$x=3+\sqrt{5}$ y $x=3-\sqrt{5}$

Los factores son $(x-(3+\sqrt{5}))$ y $(x-(3-\sqrt{5}))$ . Una función posible en forma factorizada es:

$y=\left(x-3-\sqrt{5}\right)\left(x-3+\sqrt{5}\right)$

Multiplique y simplifique:

$y=x^2-3x+\sqrt{5}x - 3x+9 -3\sqrt{5} - \sqrt{5}x + 3\sqrt{5} - \sqrt{25}$

$& y= x^2-3x + \cancel{\sqrt{5}x} - 3x+9 -\cancel{3\sqrt{5}} -\cancel{\sqrt{5}x} + \cancel{3\sqrt{5}} -{\color{red}5} \\\& y=x^2-3x-3x+9-5 \\\& \boxed{y=x^2-6x+4}$

Tenga en cuenta que cualquier múltiplo del lado derecho de la función anterior también tendría las raíces dadas.

Ejemplo C

Utilice las soluciones indicadas a continuación para determinar la ecuación cuadrática usando la suma y el producto de las soluciones:

$3+2\sqrt{2}$ y $3-2\sqrt{2}$

Solución: La suma de las soluciones es $3+2\sqrt{2}+3-2\sqrt{2}=6$ .

El producto de las soluciones es $(3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})=9-8=1$ .

${\color{red}x^2 - \text{(sum of the solutions)}x + \text{(product of the solutions)}=0}$

$x^2-6x+1=0$

Revisión del problema de concepto

¿Qué función cuadrática tiene raíces $2$ y $7$ ? Hay múltiples funciones con estas raíces. El ejemplo básico es $y=(x-2)(x-7)$ que es $y=x^2-9x+14$ . Sin embargo, cualquier función de la forma $y=a(x-2)(x-7)$ con $a\ne 0$ funcionaría.

Vocabulario

Raíces de una función cuadrática: Las raíces de una función cuadrática también son las intersecciones de la función con $x$ . Estos son los valores de la variable “ $x$ ” que darán como resultado $y = 0$ .

Producto de las raíces: Producto de las raíces es una expresión que se usa para hallar el producto de las raíces de una ecuación cuadrática determinada escrita en forma general. La expresión que se usa para determinar el producto de las raíces es:; $r_1 \times r_2 = \frac{c}{a}$

Suma de las raíces: Suma de las raíces es una expresión que se usa para calcular la suma de las raíces de una ecuación cuadrática determinada escrita en forma general. La expresión que se usa para determinar la suma de las raíces es:; $r_1 + r_2 = -\frac{b}{a}$

Práctica guiada

1. Resuelva la ecuación dada y halle una ecuación cuyas soluciones sean, cada una, una unidad menos que las soluciones de:

$y^2-3y-6=0$

2. Sin resolver la ecuación dada, halle una ecuación cuyas soluciones sean las recíprocas de las soluciones de:

$2x^2-3x+5=0$

3. Sin resolver la ecuación dada, halle una ecuación cuyas soluciones sean los negativos de las soluciones de:

$m^2-4m+9=0$

Respuestas:

1. Determine las soluciones de la ecuación cuadrática con la fórmula cuadrática. Debe obtener como soluciones de la ecuación cuadrática:

$y=\frac{3 + \sqrt{33}}{2} \ or \ y=\frac{3 - \sqrt{33}}{2}$

Las soluciones de la nueva ecuación deben ser una unidad menos que cada una de las soluciones anteriores.

$& y=\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{33}}{2} \ or \ y=\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{33}}{2} \\\& y=\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{33}}{2} {\color{red}-1} \ or \ y=\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{33}}{2} {\color{red}-1} \\\& y=\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{33}}{2} {\color{red}-\frac{2}{2}} \ or \ y=\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{33}}{2} {\color{red}-\frac{2}{2}} \\\& y=\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{33}}{2} \ or \ y=\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{33}}{2}$

Las soluciones de la nueva ecuación son:

$& y = \frac{1 + \sqrt{33}}{2} \ or \ y = \frac{1 - \sqrt{33}}{2}$

La suma de las soluciones es $1$ . El producto de las soluciones es $-8$ . Una ecuación cuadrática posible es $y^2-1y-8=0$ .

2. La suma de las soluciones es $\frac{3}{2}$ . El producto de las soluciones es $\frac{5}{2}$ . Las soluciones de la nueva ecuación deben ser las recíprocas de las soluciones de la ecuación original. Por lo tanto, la suma de las soluciones de la nueva ecuación será:

$& R_1 + R_2 = \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} \\\& R_1 + R_2 = \frac{1}{r_1} \left({\color{red}\frac{r_2}{r_2}}\right) + \frac{1}{r_2} \left({\color{red}\frac{r_1}{r_1}}\right) \\\& R_1 + R_2 = \frac{r_2}{r_1r_2} + \frac{r_1}{r_1r_2} \\\& R_1 + R_2 = \frac{r_2 + r_1}{r_1r_2} \\\& R_1 + R_2 = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{5}{2}} \\\& R_1 + R_2 = \frac{3}{2} \times \frac{2}{5} \\\& \boxed{R_1 + R_2 = \frac{3}{5}}$

El producto de las soluciones de la nueva ecuación será:

$& R_1 \times R_2 = \frac{1}{r_1} \times \frac{1}{r_2} \\\& R_1 \times R_2 = \frac{1}{r_1r_2} \\\& R_1 \times R_2 = \frac{1}{\frac{5}{2}} \\\& R_1 \times R_2 = 1 \left(\frac{2}{5}\right) \\\& \boxed{R_1 \times R_2 = \frac{2}{5}}$

La nueva ecuación es:

$& x^2 - {\color{red}(r_1+r_2)}x + {\color{red}(r_1 \times r_2)} = 0 \\\& x^2 - {\color{red}\left(\frac{3}{5}\right)}x + {\color{red}\left(\frac{2}{5}\right)} = 0 \\\& 5 \left(x^2 - {\color{red}\left(\frac{3}{5}\right)}x + {\color{red}\left(\frac{2}{5}\right)} = 0 \right) \\\& \boxed{5x^2-3x+2=0}$

3. La suma de las soluciones es $4$ y el producto de las soluciones es $9$ . Las soluciones de la nueva ecuación deben ser los negativos de las soluciones de la ecuación original. Por lo tanto, la suma y el producto de las nuevas soluciones son:

$\boxed{R_1+R_2=-r_1+(-r_2)=-(r_1+r_2)=-4} \ and \ \boxed{R_1 \times R_2 =(-r_1)\times (-r_2)=r_1\times r_2=9}$

La nueva ecuación es:

$& m^2 - {\color{red}(r_1 + r_2)}m + {\color{red}(r_1 \times r_2)} = 0 \\\& m^2 - {\color{red}(-4)}m + {\color{red}(+9)}= 0 \\\& \boxed{m^2 +4m +9 =0}$

Práctica

Sin resolver, determine la suma y el producto de las raíces de las siguientes ecuaciones cuadráticas.

$2y^2-8y+3=0$
$3e^2-6e=4$
$0=14-12x+18x^2$
$5x^2+6=7x$
$2(2x-1)(x+5)=x^2+4$

Para las siguientes sumas y productos de las soluciones, establezca una posible ecuación cuadrática.

suma: 4; producto: 3
suma: 0; producto: –16
suma: –9; producto: –7
suma: –6; producto: –5
suma: $-\frac{2}{3}$ ; producto: $\frac{5}{3}$

Para las raíces dadas, determine los factores de la función cuadrática:

$-\frac{3}{2}$ y 5
$\frac{1}{4}$ y $\frac{3}{2}$
–5 y 3
$-\frac{5}{2}$ y $-\frac{4}{3}$
$\pm \frac{5}{2}$

Para las raíces dadas, determine una posible función cuadrática:

–2 y –4
–3 y $-\frac{1}{3}$
$2+ \sqrt{3}$ y $2- \sqrt{3}$
$\pm 2\sqrt{5}$
$-3 \pm \sqrt{7}$

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