Números imaginarios

Aquí aprenderá sobre los números imaginarios.

Las soluciones de una ecuación cuadrática se muestran como las intersecciones con x de la función cuadrática correspondiente. La parábola $y=x^2-2x+3$ se muestra a continuación.

¿Qué le dice este gráfico sobre las soluciones de $x^2-2x+3=0$ ?

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James Sousa: Complex Numbers (Números complejos) *Este video solo está disponible en inglés

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Guía

Cuando el hombre creó inicialmente el concepto de los números, solo tenía los números para contar (números naturales) $\{1,2,3,...\}$ porque los números se usaban para contar objetos físicos. Pasó mucho tiempo (más de 700 años) para que se inventara tan solo el concepto de $0$ en India en el año 500 d.C. Desde entonces, el hombre ha ido ampliando nuestro sistema numérico para que pudiera sernos útil. Las fracciones, los decimales y los números negativos son ahora una parte importante de nuestra vida. Durante mucho tiempo se aceptó que la raíz cuadrada de los números negativos no existían. Para que existiera una solución a la ecuación $x^2=-1$ , los matemáticos inventaron una solución. La solución se llama número imaginario y se lo representa con la letra $i$ :

$\sqrt{-1}=i$ y $i^2=-1$

Los números imaginarios no fueron aceptados comúnmente en las matemáticas hasta el siglo XVIII, pero desde entonces se han convertido en un elemento importante de nuestro sistema numérico y son especialmente importantes en la física. Se les llama imaginarios porque no se pueden hallar en una recta numérica convencional de números reales. La raíz cuadrada de cualquier número negativo se puede escribir en términos del número imaginario $i$ :

$\sqrt{-4}=\sqrt{4\cdot -1}=\sqrt{4}\sqrt{-1}=2i$
$\sqrt{-5}=\sqrt{5\cdot -1}=\sqrt{5}\sqrt{-1}=\sqrt{5}i$
$\sqrt{-16}=\sqrt{16\cdot -1}=\sqrt{16}\sqrt{-1}=4i$

Puede realizar sumas, restas y multiplicaciones con números imaginarios de la misma forma que con números normales (también puede hacer divisiones, pero eso es un poco más complicado y no lo consideraremos aquí). Al hacer una multiplicación, recuerde que $i^2=-1$ . Siempre debe expresar las respuestas de modo tal que $i$ no tenga exponente.

$2i+1-3i+4$ se simplifica y se obtiene $-i+5$ o $5-i$
$3i\cdot 2i$ se puede multiplicar como $6i^2=6(-1)=-6$

Los números que son una combinación de números imaginarios y reales, tal como $5-i$ , se llaman números complejos . Estudiará los números complejos en mucha mayor profundidad en cursos posteriores.

Ejemplo A

Exprese $\sqrt{-49}$ como un número imaginario simplificado.

Solución: $\sqrt{-49}=\sqrt{49\cdot -1}=\sqrt{49}\sqrt{-1}=7i$

Ejemplo B

Exprese $\sqrt{-40}$ como un número imaginario simplificado.

Solución: $\sqrt{-40}=\sqrt{4\cdot 10\cdot -1}=\sqrt{4}\sqrt{10}\sqrt{-1}=2\sqrt{10}i$

Ejemplo C

Simplifique la siguiente expresión: $(4+3i)+(6-5i)$

Solución: Simplifique combinando los números reales con los números reales y los números imaginarios con los números imaginarios:

$(4+3i)+(6-5i)=10-2i$

Revisión del problema de concepto

La parábola $y=x^2-2x+3$ no tiene intersecciones con x, como se muestra a continuación.

Esto significa que las soluciones de la ecuación $x^2-2x+3=0$ no son números reales. Las soluciones son números complejos. Todavía puede hallar las soluciones usando la fórmula cuadrática, pero el resultado serán 2 soluciones de números complejos.

Vocabulario

Número complejo: Un número complejo es un número de la forma $a + bi$ donde $a$ y $b$ son números reales y $i^2=-1$ .

Número imaginario: Un número imaginario es un número tal que su cuadrado es un número negativo.; $\sqrt{-16}$ es un número imaginario porque su cuadrado es –16.; $\sqrt{-16}=i\sqrt{16} = 4i$

Práctica guiada

Simplifique cada una de las siguientes expresiones:

1. $(5-3i)-(2+4i)$

2. $3i(4i^2-5i+3)$

3. $(7+2i)(3-i)$

4. $\sqrt{-12}$

Respuestas:

1. $(5-3i)-(2+4i)=5-3i-2-4i=3-7i$

$3i(4i^2-5i+3)&=3i(4\cdot -1-5i+3)\\\&=3i(-4-5i+3)\\\&=3i(-1-5i)\\\&=-3i-15i^2\\\&=-3i-15(-1)\\\&=-3i+15$

$(7+2i)(3-i)=& 21-7i+6i-2i^2 \\\&= 21-i-2i^2 \\\& =21-i-2({\color{red}-1}) \\\& =21-i{\color{red}+2} \\\& =23-i$

4. $\sqrt{-12}=\sqrt{4\cdot 3\cdot -1}=2i\sqrt{3}$

Práctica

Exprese cada expresión como un número imaginario simplificado.

$\sqrt{-300}$
$\sqrt{-32}$
$4 \sqrt{-18}$
$\sqrt{-75}$
$\sqrt{-98}$